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第 24 课 正多边形和圆
课程标准
(1)了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
(2)理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正
多边形；
(3)会进行正多边形的有关计算.
知识点01 正多边形的概念
1．概念
相等， 也相等的多边形是正多边形．
2．判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件
(1) 相等；
(2) 相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点02 正多边形的重要元素
1．正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ．
3．正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
【注意】
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点03 正多边形的性质
1.正多边形都 外接圆，圆有 个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 个全等的直角三角形.
3.正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是 图形，它的 就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比
的平方．
5.任何正多边形都有 外接圆和 内切圆，这两个圆是
【注意】
(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；
(2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点04 正多边形的画法
1．用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；
根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2．用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对
的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为
圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….【注意】
画正n边形的方法：(1)将一个圆 ，(2)顺次连结各等分点.
考法01 求正多边形的中心角
【典例1】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是( )
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【即学即练】若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【典例2】如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【即学即练】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为( )
A．30° B．32° C．36° D．40°
考法02 已知正多边形的中心角求边数
【典例3】如图， 和 分别为 内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是( )．
A．六 B．八 C．十 D．十二
【即学即练】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，
若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是( )A．6 B．12 C．24 D．48
【典例4】一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【即学即练】一个正多边形的中心角为 ，这个正多边形的边数是( )
A．8 B．12 C．3 D．6
考法03 正多边形和圆
【典例5】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为( )
A． B．3 C． D．6
【即学即练】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
【典例6】如图，正方形ABCD内接于 ，点E为 上一点，连接BE，若 ， ，则正
方形ABCD的边长为( )
A．7 B． C． D．【即学即练】如图，正六边形 内接于⊙ ，若⊙ 的周长等于 ，则正六边形的边长为( )
A． B． C．3 D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形
3．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为( )
A．3 B．3 C．3 D．6
4．如图，正五边形 内接于 ，点 为 上一点(点 与点 ，点 不重合)，连接 ， ，
，垂足为 ，则 等于( )
A．72° B．54° C．36° D．64°
5．圆内接四边形 中，四个角的度数比可顺次为( )
A． B． C． D．
6．如图，在 中，四边形 测得 ，连接 ，若 的半径为4，则 的长为( )
A．2 B． C．4 D．7．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是__________．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是
同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
10．如图， 为正五边形 的外接圆，已知 ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要
的画图痕迹．
(1)在图1中的边 上求作点 ，使 ；
(2)在图2中的边 上求作点 ，使 ．
题组B 能力提升练
1．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个
旋转角可能是( )
A． B． C． D．
2．半径为2的圆内接正六边形的边心距是( )A．1 B． C． D．
3．如图， 的外切正六边形 的边心距的长度为 ，那么正六边形 的周长为( )
A．2 B．6 C．12 D．
4．如图，将正六边形 放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若 ，则点 的坐标
是( )
A． B． C． D．
5．如图，在正六边形 的内部以 为边作正方形 ，连接 ，则 的值为( )
A． B． C． D．1
6．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则 的面积为
( )
A． B． C． D．7．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG
的长为 __．
8．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，
如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．
9．如图，四边形 是圆的内接四边形，延长 、 相交于点 ，已知 ．
(1)求证： ；
(2)若 是四边形 外接圆的直径，求证： ．
10．如图， 是 上的三个点， ，点 在 上运动(不与点 重合)，连接 ， ，
．
(1)如图1，当点 在 上时，求证： ；
(2)如图2，当点 在 上时，求证： ；
(3)如图2，已知 的半径为 ， ，求 的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，有一个直径为 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边
形纸片的边心距是( )A．1 B． C．2 D．4
2．把边长为2+ 的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边
形的边EF的长为( )
A．1 B．2 C． D．2
3．如图，边长为2的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边 在x轴正半轴上，顶点F在y轴
正半轴上，将正六边形 绕原点O旋转 ，则旋转后顶点D的坐标为( )
A． B． C． D．
4．如图，点 是正六边形 的中心， 的两边 ， 分别与 ， 相交于点 ， ．
当 时，下列说法错误的是( )
A． B．
C． D． 与 相等
5．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线 的长为( )A． B．4 C． D．6
6．如图，有一张菱形纸片 ，分别把 沿着两条平行于 的直线 进行对折，得
到一个六边形 ，如果这个六边形是正六边形，则菱形 的对角线长的比 ( )
A． B． C． D．
7．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是 _____．
8．如图，已知点G是正六边形 对角线 上的一点，满足 ，联结 ，如果 的
面积为1，那么 的面积等于_______.
9．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S，六边形ABCDEF的面积为S，求 的值(结果保留π)．
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10．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
(1)如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE= AE．请说明理由；
(3)如图②，若点E在 上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
