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第 63 讲 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
设圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0)，
1 1 1 1
圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0).
2 2 2 2
方法 代数法：两圆方程联立组成方程
几何法：圆心距d与r ，r 的关系
位置关系 1 2 组的解的情况
外离 d>r ＋r 无解
1 2
外切 d＝r ＋r 一组实数解
1 2
相交 |r －r |<d<r ＋r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r －r |(r ≠r ) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r －r |(r ≠r ) 无解
1 2 1 2
2、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)
＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C 是否满足题意，以防丢解)．
1 2 2 2 2 2
1、（2022•新高考Ⅰ）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
【答案】 （填 ， 都正确）．
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
如图：， 两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
， 的斜率为 ，设直线 ，即 ，
由 ，解得 （负值舍去），则 ；
由图可知， ； 与 关于直线 对称，
联立 ，解得 与 的一个交点为 ，在 上取一点 ，
该点关于 的对称点为 ， ，则 ，解得对称点为 ， ．
，则 ，即 ．
与圆 和 都相切的一条直线的方程为：
（填 ， 都正确）．
故答案为： （填 ， 都正确）
1、若圆 与圆 外切，则A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ， ，所以
．
2、圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】 圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C (－1,2)，半径为2，圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为
1 1 2
C (3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C C |＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，
2 1 2
故公切线的条数为3.
3、圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－4)2＝9的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 相离
【答案】 C
【解析】 由题意，得两圆心距离d＝5，r＋r＝2＋3＝5，所以两圆外切．
1 2
4、 已知圆C ：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C ：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，则圆C 和圆C 的公共弦所在直
1 2 1 2
线的方程为_______________________________．
【答案】 4x＋3y－23＝0
【解析】 圆C 和圆C 的方程相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23
1 2
＝0.
考向一 圆与圆的位置关系
例1、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，
N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦长为2＝2.
变式1、（1）已知圆C ：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C ：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为
1 2
________．
【答案】
【解析】 由圆C 与圆C 相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式，得ab≤＝，当且仅当
1 2
a＝b时等号成立．故ab的最大值为.
（2）已知圆C ：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C ：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1， 则 a2＋b2的最小值为__________．
1 2
【答案】
【解析】 由圆C 与圆C 内切，得＝1，即(a＋b)2＝1.又由基本不等式≥，可知a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b
1 2
时等号成立，故a2＋b2的最小值为.
变式2、(1)已知两圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线
1 2
方程是____________．
(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切
线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
【答案】：(1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)x＝
【解析】：(1)两圆的方程相减得：x－2y＋4＝0．
(2)两圆圆心距d＝＜＋，∴两圆相交，故有2条公切线，
(3)⊙O的圆心为(0，0)，半径为，⊙O′的圆心为(4，0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切
线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝
方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代
数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，
利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
考向二 圆与圆的综合问题
例2、（2022·山东临沂·高三期末）已知圆 ： ，圆 ： ， 在圆 上，
在圆 上，则（ ）
A． 的取值范围是 B．直线 是圆 在 点处的切线C．直线 与圆 相交 D．直线 与圆 相切
【答案】ABD
【解析】圆 ： 的圆心为 ，半径为1，圆 ： 的圆心为 ，半径为2，
观察图象可得 ，所以 的取值范围是 ，A对，
∵ ，∴ 点 在直线 上，
又 到直线 的距离 ，又圆 的半径为1，
∴直线 是圆 在 点处的切线，B对，
∵ 点 在圆 上， ∴ ，
∴ 到直线 的距离 ，又圆 的半径为2，
∴直线 与圆 相离，C错，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
点 到直线 的距离 ，
∴直线 与圆 相切，D对，
故选：ABD.变式、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为 ，P是圆C： 上一点，过
P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图，
设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=|PB|= ，
∴ ．
P是圆C： 上一点，，
，
令 ,
则 在 上递减，
所以当 时， ，此时P的坐标为 ，
当 时， ，此时P的坐标为 ，
∴ 的范围为 ．
故答案为： .
方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的
关系，然后转化为函数的思想进行解决
1、 （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）圆 关于直线 对
称的圆为 ，若圆 和圆 有公共点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
.
得 .又设 关于 的对称点为 ，则 ，故 ： .
又两圆有公共点，则 .
故答案为： .
2、（2022·山东枣庄·高三期末）设 与 相交于 两点，则
________．
【答案】
【解析】
将 和 两式相减：
得过 两点的直线方程： ，
则圆心 到 的距离为 ，
所以 ，
故答案为：
3、（深圳市罗湖区期末试题）圆 与圆 公共弦长为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】联立两个圆的方程 ，
两式相减可得公共弦方程 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到公共弦的距离为 ，
公共弦长为 .
故选: .
4、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）若过点 的圆 与两坐标轴都相切，且与过点
和点 的直线相离，设 为圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心 的坐标为 或
B. 面积的最大值为22
C. 当 最小时，
D. 不存在点 使
【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 ，由题意可得 ，解得 或 ，
当 时，圆心 到直线 ： 的距离为 ，当 时，圆心 到直线 ： 的距离为 ，
又圆 与 ： 相离， 所以圆心的坐标为 ，A错误；
因为点 到直线 的距离的最大值为 ，
所以 ，B正确；
当 最小时， 与圆 相切，由对称性或勾股定理可得 ，C正确；
假设存在点 使 ，则 的外接圆圆 的半径为 ，
设圆 方程为 ，则
，解得 或
又因为 为圆 上的动点，当圆心 时， ，
当圆心 时， ，所以圆 与圆 相离，点 不存在，D正确，
故选：BCD
5、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）圆M： 关于直线 对称，
记点 ，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点
C． 的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则
【答案】ABD
【解析】圆M： 配方得： ，
圆M关于直线 对称，
直线 过圆心 .
,即
点P的轨迹方程为 ，A正确.
由 ，则 ，则以PM为直径的圆过定点 ，B正确.
的最小值即为 到直线 的距离，由于 ,则
，C错误.
由于 ，要使 取最小，即 取最小值， ,
，则D正确.
故选：ABD
