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第 38 讲 复数
1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实
部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝．
(3)复数相等：z＝a＋bi，z＝a＋bi，z＝z，则a＝a，b＝b．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，
虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．4√5 B．4√2 C．2√5 D．2√2
【答案】D
【解析】因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．
故选：D.
z
2、【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则 =（ ）
zz−1
1 √3 1 √3
A．−1+√3i B．−1−√3i C．− + i D．− − i
3 3 3 3
【答案】C
【解析】z=−1−√3i,zz=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.
z −1+√3i 1 √3
= =− + i
zz−1 3 3 3
故选 ：C
3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）A．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1
【答案】A
【解析】因为a,b∈R，(a+b)+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．
故选：A.
4、【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2
【答案】A
【解析】z=1+2i，z+az+b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i
由z+az+b=0,得¿,即¿
故选:A
5、【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】D
1 i
【解析】由题设有1−z= = =−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，
i i2
故选：D
6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i
【答案】D
【解析】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，
故选：D.
7、（2021·全国高三专题练习（理））已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复数
对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，由题意知 ，则复数 对应点的轨迹方程为.
故选：C．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数 （其中i为虚数单位， ）在复平面内
对应的点为 ，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【解析】因为 ，
又因为复数在复平面内对应的点为 ，所以 ，
解得
故选：A
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
故选：A.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 为虚数单位，则 （ ）．
A．1 B． C．I D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足 ，其中 为虛数单位，则复数z在复平面内
所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】 ，
则复数z在复平面内所对应的点坐标为 ，在第一象限.
故选：A
5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数 ， 为虚数单位，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
.
故选：C
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
【解析】：(1) 当z为实数时，
则有 所以
所以m＝6，即m＝6时，z为实数．
(2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1．
∴ m≠±1且m≠6．所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3) 当z为纯虚数时，则有
所以故不存在实数m使z为纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数 ，则z的虚部为（ ）
A．0 B．－1 C．－i D．1
【答案】B
【解析】
.则z的虚部为－1.
故选：B.（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数， 是实数，则 （ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【答案】B
【解析】
由题意设 ，
则 ，
因为 是实数，所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
（3）（2022·江苏常州·高三期末） 是虚数单位，已知复数 满足等式 ，则 的模 ________．
【答案】
【解析】
由 ，可得
则有 ，即 ，故有
故答案为：
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数 （ 且 ）， 是z的共扼复
数，则下列命题中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
解：对于A选项， ， ，所以 ，故正确；对于B选项， ， ， ，故错误；
对于C选项， ， ， ，故正确；
对于D选项， ， ， ，
所以当 时， ，当 时， ，故错误.
故选：AC
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于
复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和
虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，若复数 的实部为 ，则实数 （ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】由题可得 ，
则 ，解得 或 ，
故选：B.
（2） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
故选：A．（3）已知i是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知：
所以
故选：D
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .
故选：B
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因复数 满足 ，则 ，
所以 .
故选：C
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若 ．设 ，则 （ ）
A．2i B．2 C． D．
【答案】B【解析】由 ，得 ，
所以 .
故选：B
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为____
【答案】
【解析】∵|z－2|＝
＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知 ＝＝.
max
变式1、设复数z＝log (m2－3m－3)＋ilog (m－2)，m∈R对应的向量为OZ.
2 2
(1) 若OZ的终点Z在虚轴上，求实数m及|OZ|的值；
(2) 若OZ的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得log (m2－3m－3)＝0，
2
所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.
因为
所以m＝4，此时z＝i，OZ＝(0，1)，|OZ|＝1.
(2) 由题意，得
解得
