文档内容
第 49 讲 平面的性质与点线面的位置关系
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐
角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么
这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
3、知识必备
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
1、【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD−A B C D ，则（ ）
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90° B．直线BC 与C A 所成的角为90°
1 1 1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45° D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1 1 1 1
【答案】ABD
【解析】如图，连接B C、BC ，因为DA //B C，所以直线BC 与B C所成的角即为直线BC 与
1 1 1 1 1 1 1
DA 所成的角，
1
因为四边形BB C C为正方形，则B C⊥ BC ，故直线BC 与DA 所成的角为90°，A正确；
1 1 1 1 1 1
连接A C，因为A B ⊥平面BB C C，BC ⊂平面BB C C，则A B ⊥BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为B C⊥ BC ，A B ∩B C=B ，所以BC ⊥平面A B C，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又A C⊂平面A B C，所以BC ⊥C A ，故B正确；
1 1 1 1 1
连接A C ，设A C ∩B D =O，连接BO，
1 1 1 1 1 1
因为BB ⊥平面A B C D ，C O⊂平面A B C D ，则C O⊥B B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为C O⊥B D ，B D ∩B B=B ，所以C O⊥平面BB D D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以∠C BO为直线BC 与平面BB D D所成的角，
1 1 1 1
√2 C O 1
设正方体棱长为1，则C O= ，BC =√2，sin∠C BO= 1 = ，
1 2 1 1 BC 2
1
所以，直线BC 与平面BB D D所成的角为30∘，故C错误；
1 1 1因为C C⊥平面ABCD，所以∠C BC为直线BC 与平面ABCD所成的角，易得∠C BC=45∘，故D
1 1 1 1
正确.
故选：ABD
2、(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 所成的角为( )
1 1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图，连接C P，因为ABCD－ABC D 是正方体，且P为BD 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
所以 C P⊥BD ，又 C P⊥BB ，BD∩BB ＝B ，BD ，BB 平面 BBP，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C
1
P⊥平面B
1
BP.又BP 平面B
1
BP，所以有C
1
P⊥BP.连接BC
1
，⊂则AD
1
∥BC
1
，所以
∠PBC
1
为直线 PB 与 A⊂D
1
所成的角.设正方体 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为 2，则在
Rt△C PB中，C P＝BD＝，BC ＝2，sin ∠PBC＝＝，所以∠PBC＝.
1 1 1 1 1 1 1
3、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】 过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩
平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易知EQ＝，QN＝1，则EN＝＝
＝2，BE＝＝＝2.易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝＝＝，∴BM＝>2＝EN.∴BM≠EN.
又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直
线，故选B.
1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
【答案】C
【解析】 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，
则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；
由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(
)
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
【答案】C
【解析】 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
3、如图所示，ABCD－ABC D 是长方体，O是BD 的中点，直线AC交平面ABD 于点M，则下列结论
1 1 1 1 1 1 1 1 1
正确是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A 不共面
1
C．A，M，C，O不共面
D．B，B，O，M共面
1
【答案】A
【解析】 连接AC ，AC，则AC ∥AC，
1 1 1 1
∴A，C ，A，C四点共面，
1 1
∴AC⊂平面ACC A，
1 1 1
∵M∈AC，∴M∈平面ACC A，
1 1 1
又M∈平面ABD，
1 1
∴M在平面ACC A 与平面ABD 的交线上，
1 1 1 1
同理A，O在平面ACC A 与平面ABD 的交线上．
1 1 1 1
∴A，M，O三点共线．4、 在正方体ABCD－ABC D 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
1 1 1 1 1
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 如图，因为AB∥CD，
所以AE与CD所成角为∠EAB.
在Rt△ABE中，设AB＝2，
则BE＝，
则tan∠EAB＝＝，
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
考向一 平面的基本性质及应用
例1、以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ①显然是正确的，可用反证法证明；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一
定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面．故
正确命题的个数为1.
【答案】 B
变式1、平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面．
【解析】 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；
否则确定四个平面．
【答案】 1或4
变式2、如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且
CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) 直线FH，EG，AC共点．【解析】 (1) 因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又CG＝BC，CH＝DC，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 易知直线FH与直线AC不平行，但共面，
所以设FH∩AC＝M，
所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点
变式2、 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若
EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明 因为K∈EH，EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理⊂K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
考向二 判断空间直线的位置关系
例2、若直线l 和l 是异面直线，l 在平面α内，l 在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中
1 2 1 2
正确的是________．(填序号)
①l与l，l 都不相交；
1 2②l与l，l 都相交；
1 2
③l至多与l，l 中的一条相交；
1 2
④l至少与l，l 中的一条相交．
1 2
【解析】 若l与l ，l 都不相交，则l∥l ，l∥l ，所以l∥l ，这与l 和l 异面矛盾，所以l至少与l ，l 中
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的一条相交．
【答案】 ④
变式1、如图，在正方体 ABCD-ABC D 中，M，N分别是BC ，CD 的中点，则下列判断中错误的是
1 1 1 1 1 1
________．(填序号)
①MN与CC 垂直；
1
②MN与AC垂直；
③MN与BD平行；
④MN与AB 平行．
1 1
【解析】 如图，连接BC，BD ，则M是BC的中点，MN是△BCD 的中位线，所以MN∥BD.又
1 1 1 1 1 1 1 1
BD∥BD ，所以MN∥BD.因为CC ⊥BD ，AC⊥BD ，所以MN⊥CC ，MN⊥AC.又因为AB 与BD 相
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
交，所以MN与AB 不平行．故①②③正确，④错误．
1 1
【答案】 ④
变式2、 (1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下
列说法正确的是( )
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【答案】 ABD
【解析】 如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，
由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四
边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此
MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.
若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，
事实上AC∩CH＝C，C说法不正确；
因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确.
(2)如图，在正方体 ABCD－ABC D 中，点 E，F分别在 AD，AC上，且 AE＝
1 1 1 1 1 12ED，CF＝2FA，则EF与BD 的位置关系是( )
1
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行
【答案】 D
【解析】 连接DE并延长，与AD交于点M，由AE＝2ED，可得M为AD的中点，
1 1
连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD
1
共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD.
1
方法总结：1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，
导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观
感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考向三 异面直线所成的角
例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDABC D 中，AA ＝2AB＝2，则异面直线
1 1 1 1 1
AB与AD 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】连接BC ，易证BC ∥AD，则∠ABC 或其补角为异面直线AB与AD 所成的角．连接AC ，由AB
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1，AA＝2，易得AC ＝，AB＝BC ＝，故cos∠ABC ＝＝，即异面直线AB与AD 所成角的余弦值为.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
变式、 (1)在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1， AA ＝，则异面直线AD 与DB
1 1 1 1 1 1 1
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C【解析】 法一 如图，补上一相同的长方体 CDEF－C DEF ，连接DE ，BE.
1 1 1 1 1 1 1
易知 AD∥DE ，则∠BDE 为异面直线 AD 与DB 所成角.因为在长方体 ABCD－
1 1 1 1 1 1
ABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，所以DE＝
1 1 1 1 1 1
＝＝2，
DB＝＝，BE＝＝＝，在△BDE 中，由余弦定理，
1 1 1 1 1
得cos∠BDE＝＝，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1 1 1
法二 如图，连接BD ，交DB 于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为
1 1
BD 的中点，所以AD∥OM，则∠MOD为异面直线AD 与DB 所成角.因为在长方体
1 1 1 1
ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，AD＝＝2，DM＝＝，
1 1 1 1 1 1
DB＝＝，所以OM＝AD＝1，OD＝DB＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
1 1 1
得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－ABC 中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D
1 1 1
是BC的中点，若AA＝，则异面直线AC与AD所成角的大小为( )
1 1
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】 C
【解析】 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD∥AD ，∠CA D(或其补角)就
1 1 1 1 1 1 1 1 1
是异面直线AC与AD所成的角.
1
连接DC.
1
∵AB ＝AC ，∴AD⊥BC ，又AD⊥CC ，BC ∩CC ＝C ，∴AD⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵DC 平面BCC B，∴AD⊥DC，∴△ADC为直角三角形，
1 1 1 1 1 1 1 1
在Rt△ ⊂A
1
CD
1
中，A
1
C＝2，CD
1
＝，
∴∠CA D＝60°.
1 1
方法总结：方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝
角，则它的补角才是要求的角
1、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是( )
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
【答案】 C【解析】 两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；
如图1，直线DD 与BC 都是直线AB的异面直线，同样DD 与BC 也是异面直线，故B错误；
1 1 1 1 1 1
如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定
一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，
故C正确；
如图1，AB∥CD，而直线AA 与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．
1
图1 图2
2、(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
【答案】 ①②④
【解析】 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所
以①不正确；
对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不
正确；
对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；
对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，
所以④不正确．
3、已知在直三棱柱ABC-ABC 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC ＝1，则异面直线AB 与BC 所成角的
1 1 1 1 1 1
余弦值为( )
A. B. C. D.
【解析】 如图，将直三棱柱ABC-ABC 补成直四棱柱ABCD-ABC D ，连接AD ，则AD∥BC ，所
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
以∠BAD 或其补角为异面直线AB 与BC 所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC ＝1，所以AB
1 1 1 1 1 1
＝，AD ＝.在△BDC 中，∠BC D ＝60°，BC ＝1，DC ＝2，所以BD ＝＝，所以cos ∠BAD ＝＝，即
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为.
1 1【答案】 C
4、如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．
【解析】 (1) 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共
面，所以点A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．
故直线EF与BD是异面直线．
(2) 取CD的中点G，连接EG，FG，
则AC∥FG，BD∥EG，
所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，所以FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
