文档内容
第 19 讲 弧长和扇形面积（4 个知识点+4 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点2．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影π面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点3．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ侧 ＝ πr2+ rl
π π
（5）圆锥的体积＝ ×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
知识点4．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
题型强化
题型一．弧长的计算
1．（2024•兖州区一模）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的
长为半径画弧，交 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，根据 ， 可以得到 的度数，再根据 以及 的度数即可得到 的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：连接 ，如图所示：
， ， ，
， ，
由题意得： ，
为等边三角形，
，
的长为： ，
故选： ．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
2．（2024•成都）如图，在扇形 中， ， ，则 的长为
【分析】利用弧长公式计算即可求解．
【解答】解： 的长为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查弧长的计算，正确记忆弧长公式是解题关键．
3．（2023秋•张掖期末）如图， 的直径 ，半径 ， 为 上一动点（不包括 ，
两点）， ， ，垂足分别为 ， ．
（1）求 的长．
（2）若点 为 的中点，
①求劣弧 的长度；
②若点 为直径 上一动点，直接写出 的最小值．【分析】（1）连接 ，由 ， ， 知四边形 是矩形，据此可得
；
（2）①先求出 的度数，再利用弧长公式求解可得；
②延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，则 的最小值为 ，再根据勾股定理及
求解可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接 ，
的直径 ，
圆的半径为 ．
， ， ，
，
四边形 是矩形，
．
（2）① 点 为 的中点，
，
，
，劣弧 的长度为 ．
②延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，
则 的最小值为 ．
设 ，
则 ，
， ，
，
解得 ，
，
的最小值为 ．
【点评】本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的
相关性质．
题型二．扇形面积的计算
4．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在 △ 中， ， ， ．以 为圆心
为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是
A． B． C． D．
【分析】在 △ 中，根据直角三角形的性质可得 、 ，再根据勾股定理可得
，最后根据 计算即可解答．
【解答】解：在 △ 中， ， ， ．， ，
由勾股定理得 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是
解题的关键．
5．（2024秋•江宁区校级月考）一个扇形的半径为 ，弧长为 ，则此扇形的面积为 ．
【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积 也
可以．
【解答】解：设扇形圆心角度数为 ，则 ，
解得 ，
扇形的面积为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．
6．（2023秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形 内接于 ， 为 的直径， ，
与 交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，点 经过的路径为弧 ，若 ，求图中
阴影部分的面积．【分析】（1）证明△ △ ，推出 ，推出 即可解决问题．
（2）证明 即可解决问题．
【解答】（1）证明： ， ， ，
△ △ ，
，
．
．
（2）解： ．
【点评】本题考查扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型三．圆锥的计算
7．（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为 ，高是 ，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是
A． B． C． D．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长 展开图的弧长可得．
【解答】解： 圆锥的母线长为 ，高是 ，
圆锥底面圆的半径为： ，
，
解得 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是有确定底面周长 展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
8．（2023秋•营口期末）已知圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则这个圆锥的侧面积是 ．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面展开图面积 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
9．（2024•天河区校级一模）已知 ．
（1）化简 ；
（2）如图， ， 分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥的侧面积为 ，求 的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则化简即可；
（2）根据扇形面积公式求出 ，代入计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）由题意得： ，
则 ，
．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，掌握扇形面积公式是解题的关键．
题型四．圆柱的计算10．（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原
理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏
到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与
时间 的数据：
时间 1 2 3 4 5
6 10 14 18 22
圆柱体容器液面高度
如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那么当圆柱体容器液面高度达到 时是
A． B． C． D．
【分析】根据表格中的数据，可知 与 的关系为一次函数关系，利用待定系数法可得 ，将
代入解析式，求出相应的 值即可．
【解答】解：设 与 的关系式为 ，
点 ， 在该函数上，
，
解得： ，
与 的函数表达式为 ；
当 时，即 ，
解得： ，
即当圆柱体容器液面高度达到 时是 ．
故选： ．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意．
11．（2022•肇州县模拟）圆柱的底面周长为 ，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为 ．
【分析】圆柱的侧面展开图的面积 圆柱的底面周长 圆柱的高，把相关数值代入即可求解．
【解答】解： 圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长，
圆柱的侧面展开图的面积为 ．
【点评】解决本题的关键是得到圆柱侧面展开图的计算公式．
12．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由
一个高为 的圆柱和一个同底面的高为 圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度
为 ，注满为止．整个注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为 ．
（2）求线段 所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面 时 的值．
【分析】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；
（2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面 时 的值．
【解答】解：（1）由题意和函数图象可得，
圆柱容器的高为 ，
故答案为：12；
（2） 过点 ， ，
设线段 所对应的函数表达式为 ，
将点 ， 代入，得
，解得 ，
所以线段 所对应的函数表达式为 ；
（3）以为“柱锥体”的高为： ，
所以顶端距离水面 位置有2个，
①当 时，在 上，
设 解析式为 ，过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 解析式为 ，
当 时， ；
②当 时，在 上，
将 代入 ，
解得 ．
综上所述：“柱锥体”顶端距离水面 时 的值为 或 ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数
形结合的思想解答．
分层练习
一、单选题
1．如图，点 ， ， 是 上的点， ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】圆周角定理、求弧长
【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出 ，代入弧长计算公式即可．
【详解】∵ 所对的圆周角 ，所对的圆心角为 ，
∴ ，
∴ 的长是 ，
故选：A
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求出 ．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，则扇形OBMC的面积为（ ）
A．24π B．12π C．8π D．6π
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质、求扇形面积
【分析】先根据∠OCA=60°，OA=OC，判断出 OAC是等边三角形，从而得扇形OBMC的圆心角及半径，
再利用扇形面积公式计算即可． △
【详解】解：∵∠OCA＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝6，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴扇形OBMC的面积为 ＝12π．
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题关键是掌握扇形面积计算公式，难度不大．
3．如图，菱形 的边长为 ， ，弧 是以点 为圆心、 长为半径的弧，弧 是以
点 为圆心、 长为半径的弧，则阴影部分的面积为A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆
【详解】试题分析：连接BD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD及
△BCD是等边三角形，∴ = BC•DE= ×2×2×sin60°=2× = ．故选B．
考点：①扇形的面积计算；②菱形的性质．
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2， ， 分别与优弧 所在圆相切于点 ， ．若该圆半
径是 ， ，则优弧 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求弧长、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、切线的性质及弧长的计算，熟知切线的性质及弧长的计算
公式是解题的关键．
连接 ， ，由切线的性质可得 ，进而可得 的度数，最后根据弧长公式即
可解决问题．
【详解】解：令图中的圆心为 ，连接 ， ，， 是 的切线，
，
又 ，
，
．
的半径为 ，
优弧 的长度为： ．
故选：B．
5．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（ ）
A．15π B．24π C．30π D．39π
【答案】B
【知识点】求圆锥侧面积
【详解】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，圆锥的侧面面积= ×6π×5=15πcm2，底面面积=9πcm2，
∴圆锥的表面积=15π+9π=24πcm2．
故选B．
6．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【知识点】求圆锥侧面积、求扇形面积
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根
据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10，
则底面周长为， ，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是， ．
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，
点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【知识点】求扇形半径
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD=AE=8，∠DAE=45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr= ，
解得r=1．
所以，该圆锥的底面圆的半径是1
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
8．数学课上，老师将一根长为 的铁丝围成一个以点 为圆心， 长为半径的扇形（铁丝的粗细忽
略不计），如图所示，则所得扇形 的最大面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求扇形面积、求弧长、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】
本题考查了二次函数的性质，求弧长，求扇形面积；设 ，则 ，根据弧长公式求得
，进而根据扇形面积公式可得扇形面积为 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ， ，
设 ，则 ， ，
扇形 的圆心角为： ，
∴扇形 的面积为 ，
∴扇形 的最大面积是 ，
故选：A．
9．如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心， 为半径作弧，交 于点 ，连接 、
，若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求其他不规则图形的面积、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定
和性质
【分析】根据菱形的性质及 ，可得 、 是等边三角形， ，再由勾股定理
可得 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，可得 ，然后根据阴影
部分的面积为 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 是等边三角形， ，
∵点E是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故选：B．【点睛】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练
掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键．
10．如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕 逆时针旋转 交 于 ，取
的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求弧长、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、垂径定理的推论
【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点 重合时，
，由 为 中点，则 ，当点 在运动过程中， 在以 为圆心， 为半径的
上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，取圆上一点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 重合时，∵ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直径，
当点 在运动过程中， 在以 为圆心， 长度为半径的 上运动，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴在 的运动过程中 的路径长为 ，
故选： ．
二、填空题
11．某扇形的半径为 ，圆心角为 ，则该扇形的弧长为 ．
【答案】
【知识点】求弧长
【分析】根据半径，先计算出圆的周长，再根据圆心角所占比例即可求解．
【详解】解：∵扇形的半径 ，
∴扇形所在圆的周长为 ，
∵圆心角为 ，
∴扇形占所在圆的比例为 ，∴扇形的弧长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆与扇形弧长的计算，掌握扇形与圆的关系是解题的关键．
12．已知一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为
．
【答案】
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答．
【详解】解：扇形面积 ，
则这个圆锥的侧面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关
键．
13．如图，边长为2的正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，则图中阴影部分的面积
是 ．
【答案】
【知识点】求其他不规则图形的面积
【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积解题即可．
【详解】解：∵正方形 ，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径
为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】求弧长
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】解：l= ，
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
15．如图，正五边形 内接于半径为2的 ．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角、求扇形面积【分析】由圆的内接四边形的性质可得 从而可得阴影部分的面积等于扇形 的面
积，从而可得答案.
【详解】解： 正五边形 内接于半径为2的 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，掌握“正多边形的性质”是解本题的关键.
16．如图， 中， ， ， ，以C为圆心， 为半径的圆弧分别交 、
于点D、E，则图中阴影部分面积之和为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积
【分析】连接 ，过点 作 ，过点 作 ，利用阴影部分的面积等于 的面积加
上扇形 的面积减去 再减去扇形 的面积，即可得解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵以C为圆心， 为半径的圆弧分别交 、 于点D、E，∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
∴图中阴影部分面积之和为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积，同时考查了等边三角形的判定和性质，含 的直角三角形，扇形
的面积．利用割补法，求阴影部分的面积，是解题的关键．
17．如图，等边 边长为 ，将 绕 的中点 顺时针旋转 得到 ，其中点 的运动
路径为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积
【分析】根据旋转的性质先证明 AA′D， CC′D， AB′E， BC′E均为等边三角形，连接BD，B′D，ED，
△ △ △ △则S ＝S BDB﹣S BDE﹣S BDE，分别计算面积即可得出答案.
阴 扇形 ′ ′
△ △
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC＝2，∠A＝60°，
又∵△A'B'C'是 ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴A′D＝C′D＝AD△＝CD＝2，∠A′＝60°，
∴△AA′D为等边三角形，
同理 CC′D， AB′E， BC′E也为等边三角形，边长都为2，
连接△BD，B′D，△ED， △
∵△A'B'C'是 ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴∠BDB′＝6△0°，
∴S ＝S BDB﹣S BDE﹣S BDE，
阴 扇形 ′ ′
△ △
∵△ABC与 A′B′C′为等边三角形，D为AC，A′C中点，
∴BD⊥AC，△B′D⊥A′C′，
∴BD＝B′D＝ ＝2 ，
S BDB＝ ＝2π，
扇 ′
S BDE与S BDE是底为DE，高的和为BB′＝AC′＝B′D＝2 ，
′
△ △
在 AED中，∠EAD＝60°，EA＝AD＝2，
∴△△ADE为等边三角形，DE＝2，
∴S BDE＋S BDE＝ × ＝2 ，
′
△ △
∴S ＝2π﹣2 ．
阴
故答案为：2π﹣2 ．【点睛】本题考查旋转的性质，以及扇形面积的计算，考核学生的计算能力，是一道综合性较强的题目，
解题时注意圆心的确定.
18．如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB所在圆的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB
上，CD//OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是 ．（保留根号）
【答案】 ．
【知识点】圆
【详解】试题分析：如图，连接OD．∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC= OA= ×6=3
米，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA，在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴CD= = =
米，∵sin∠DOC= = = ，∴∠DOC=60°，
∴S =S ﹣S = = （平方米）．故答案为 ．
阴影 扇形AOD DOC
△考点：扇形面积的计算．
三、解答题
19．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形 ，经过测量， ，
．小方同学站在1号楼梯口 处，她想走到2号楼梯口 处，三栋楼都有通道可以走．请你
帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（ 取3）
【答案】应该走 这条路比较近，理由见解析
【知识点】求弧长
【分析】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
根据弧长公式分别计算出 和 的长即可求解．
【详解】解： ， ，
∴ 的长为： ，
∴ ，
∵ ，
∴应该走 这条路比较近．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．（1） ABC 与 ABC关于原点O对称，画出 ABC 并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
（2）△A
2
B
2
C
2
是△ABC绕原点O顺时针旋转90△°得到的，画出 A
2
B
2
C
2
并写出点A
2
的坐标；
（3）△连接OA、O△A
2
，在 ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△ A
2
B
2
C
2
的过程中，计算线段OA变换到
OA 过程中扫过区域的面△积是多少？（直接写出答案） △
2
【答案】（1）图形见解析，点A 的坐标为（1，﹣4）；（2）图形见解析，点A 的坐标为（4，1）；
1 2
（3）
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形
【分析】(1)把 ABC的各个顶点关于原点的对称点画出来，连接起来，即可得到答案；
(2)把 ABC的各△个顶点绕原点O顺时针旋转90°的对应点画出来，连接起来，即可得到答案；(3)根据扇形
的面积△公式，即可求解.
【详解】（1）如图所示， ABC 即为所求，点A 的坐标为（1，﹣4）；
1 1 1 1
（2）如图所示， A
2
B
2
C
2
即△为所求，点A
2
的坐标为（4，1）；
△（3）∵线段OA变换到OA 过程中扫过区域是扇形，OA= ，
2
∴线段OA变换到OA 过程中扫过区域的面积= ．
2
【点睛】本题主要考查图形的中心对称变换和旋转变换，根据题意，画出图形，是解题的关键.
21．已知：
(1)化简 ；
(2)如图， 、 分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求圆锥侧面积、分式化简求值
【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得；
（2）根据圆锥的侧面积公式可得 的值，代入计算即可得．【详解】（1）解：
．
（2）解： 圆锥侧面积为 ，
，
解得 ，
则 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是解
题关键．
22．如图，四边形ABCD是 的内接四边形， ，BD是 的直径，DB的延长线交 的切线
AE于点E．
(1)求证： ；（角用阿拉伯数字表示）
(2)若 ，则图中由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积是_______．（结果保留无理数）
【答案】(1)证明见解析
(2)【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）连接OA，由在同圆中等弦所对的弧相等，进而得到 ，结合切线的性质
，利用半径相等得到 ，进而得到 ，再利用圆内接四边形的内
对角互补来求解；
（2）设AC与DE相交于点F，由等腰三角形的性质和 易得 ，结合 ，得到
， ， 得出 是等边三角形，由垂径定理求出OF的长度，勾股定理求出AF的长度，
进而求出 的面积，最后再用 来求解．
【详解】（1）证明：连接OA，如下图．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵AE为 的切线，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是 的内接四边形，
∴ ，
即 ，
∴ ；（2）解：设AC与DE相交于点F，如上图．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，BD是 的直径，
∴OB垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，扇形的面积公式，
等边三角形的判定和性质，理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
23．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为 ，最
低点距离地面 ，摩天轮的圆周上均匀地安装了 个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距
离地面最近的位置进舱．(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______ ；
(2)在小明进座舱后间隔 个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于 ， 两点），求两人所
在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）和直线距离（线段 的长）．
【答案】(1)
(2)在摩天轮上的距离（ 的长）为 ，直线距离（线段 的长）为
【知识点】求弧长、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求一点到圆上点距离的最值、等边三角形的判定和
性质
【分析】本题考查了点到圆上一点的距离，求弧长，等边三角形的性质与判定
（1）根据点到圆的距离可得最高点到地里的距离为 ；
（2）根据题意得出 ，进而根据弧长公式即可求解；证明 为等边三角形，即可求得
的长．
【详解】（1）解：如图，由题意可知 ，
当座舱转到点 时，距离地面最高，
此时 ；
（2） 圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ，的长为 ，
如图，连接 ，
且 ，
为等边三角形，
．
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）为 ，直线距离（线段 的长）为 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点分别是 ， ．
(1)请画出将 绕点O顺时针旋转 后得到的 ．
(2)在（1）的条件下，求扇形 的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】画旋转图形、求扇形面积、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点 、 、 ，再连接即可；
（2）根据旋转的性质可得 ，利用勾股定理求得 ，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；（2）解：由题意可得， ， ，
∵ ，
∴ ．
25．综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为 、高为 的锥形草帽（如图（ ））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、
足够大的卡纸．
步骤 ：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形．
步骤 ：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、
不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（ ）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（ ）如图（ ），根据（ ）的计算过程，直接写出圆锥的高 、母线长 与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
【答案】（ ） ；（ ） ．
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、求弧长、用勾股定理解三角形
【分析】（ ）设底面圆的半径为 ，由勾股定理可得 ，根据 ，求出 ，再根据
红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角 即可求解；
（ ）设底面圆的半径为 ，则 ，由 即可求解；
本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形
的弧长是解题的关键．
【详解】解：（ ）设底面圆的半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形，
∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为 ；
（ ）∵设底面圆的半径为 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
26．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形
，如图1，求 的长；
（2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如
图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B
重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3） ；（4） ；
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、求弧长
【分析】（1）由ΔABC、 是等边三角形， ， ， ，可证
即可；
（2）连接 ，ΔABC、 是等边三角形，可证 ，可得 ，又点 在 处
时， ，点 在A处时，点 与 重合．可得点 运动的路径的长 ；
（3）取 中点 ，连接 ，由ΔABC、 是等边三角形，可证 ，可得 ．
又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合．可求点 所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 上运动，由四边形
ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理 即，可求 ，点G所经过的路
径长为 长= ，点H所经过的路径长为 的长 ．
【详解】解:（1）∵ΔABC、 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，
∵ΔABC、 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又点 在 处时， ，点 在A处时，点 与 重合．
∴点 运动的路径的长 ；
（3）取 中点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ΔABC、 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合，
∴点 所经过的路径的长 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理 即 ，
∴ ，
点G所经过的路径长为 长= ，点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧 上运动，
点H所经过的路径长为 的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为 的长= ，
故答案为 ； ．
【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，
掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解
题关键.
