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17.2.2勾股定理的应用
题型1：勾股定理的应用-求树/旗杆的高度
1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面
成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C．4米
D．6米
【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成 60°角，则拉线
AC的长是（ ）
A．12m B．2 m C．4 m
D．6 m
【变式1-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m的墙上，装有一个由传
感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动
发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动
响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．
20米
题型2：勾股定理的实际应用-梯子问题
2如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端 0.7m，
如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距
离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能
到达C处，估计云梯的长度至少为（ ）
A．8m B．9m C．10m
D．12m
【变式2-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根
芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端
恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺．
A．8 B．10 C．13 D．
12
【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为 5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子
BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
题型3：勾股定理的实际应用-九章算术3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折
者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离
竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
【变式3-1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10
尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地
面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三
尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，
竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 尺．
题型4：勾股定理的实际应用-影响范围
4如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台
风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）
都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 BC＝500km，此时
台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么
从接到警报开始，经过（ ）小时它就会进入台风影响区．
A．10 B．7 C．6 D．12
【变式4-1】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范
围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 AB由A向B移动，已知
点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝
800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式4-2】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，
∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影
响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若
受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
题型5：勾股定理的实际应用-速度问题
5如图所示，甲渔船以 8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以 6海
里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半
小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【变式5-1】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开
港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向
行驶，如图所示，离开港口 1.5 小时后两船相距 30 海里，则 B 舰艇的航行方向是
（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．
北偏东30°【变式5-2】一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点的直
线距离有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
【变式5-3】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C偏离欲到达
点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．
题型6：勾股定理的实际应用-立体图形的最短路径问题
6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 、
、 ． 和 是这个台阶上两个相对的端点，点
处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿
着台阶面爬行到点 的最短路程为
A．15 B．17 C．20 D．25
【变式6-1】如图，一圆柱高 为 ，底面周长是 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处
吃食，且 ，则最短路线长为
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，长方体的底面边长为 和 ，高为 ．如果用一根细线从点 开
始经过4个侧面缠绕一圈到达 ，那么所用细线最短需要
A． B． C．
D．【变式6-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯
口内壁离杯口1.5厘米的 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁， 的相对方向有一小虫
，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖 处的最短距离是
A． 厘米 B．10厘米 C． 厘米 D．
8厘米
题型7：折叠问题
7如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，
BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．
【变式7-1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′
处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
【变式7-2】矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D
重合，折痕为EF，则DE＝ cm．
【变式7-3】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，
BC＝13cm，则FC的长度是 ．
