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17.2.2勾股定理的应用
一．选择题
1．小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家直线距离为250m远的地
方，那么小明向正东方向走的路程是（ ）
A．250m B．200m C．150m D．100m
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示：AB＝150m，AC＝250m，
则BC＝ ＝ ＝200（m）．
答：小明向正东方向走了200m，
故选：B．
2．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C
正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为
（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．10米
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出DC，进而利用含30°角的直角三角形的
性质BC，进而解答即可．
【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，
∴CD＝ AC＝5 （米），
∵∠CDB＝60°，
∴BC＝ DC＝ （米），
∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），
故选：D．
3．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高12cm．若这
支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝ ＝ ＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
4．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计
算两圆孔中心A和B的距离为（ ）
A．80mm B．100mm C．120mm D．150mm
【分析】根据勾股定理：AC2+BC2＝AB2，即可求得．
【解答】解：如图，分别过点A、点B作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，
∴AB＝ ＝150（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．
故选：D．
5．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树
顶部落在离大树底部12m处，则大树折断前的高度是（ ）A．14m B．16m C．18m D．20m
【分析】作BO⊥DC于点O，首先由题意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，然后根据
DC＝6米，得到OC＝8米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．
【解答】解：如图，作BO⊥DC于点O，
由题意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，
∵DC＝12m，
∴OC＝8m，
∴由勾股定理得：BC＝ （m），
∴大树的高度为10+10＝20（m），
故选：D．
6．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面
并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为 1米，再将绳子拉直
（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．
A．5 B．12 C．13 D．17
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的
长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
7．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意
图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离
都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：B．
二．填空题
8．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离
为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，
则商店C与车站D之间的距离是 米．
【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD＝ ＝400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
9．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙 DE时，梯子底端A到左
墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，
将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之
间的安全通道的宽BE为 m．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度BE为2.7米，
故答案为：2.7．
10．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯
米．
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，已知斜边和一条直
角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，
由勾股定理得BC＝ ＝ ＝8（米），
则AC+BC＝14（米），
故答案为：14．
三．解答题
11．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN
的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时
130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出
CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解答】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝130m，
在Rt△ABC中，CB＝ ＝50（m），
∴CD＝2CB＝100（m），
则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．
答：该学校受影响的时间为20s，12．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想
一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个
矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答
案．
【解答】解：将台阶展开，如下图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2+BC2＝169，
所以AB＝13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
13．如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC
落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断AC2+BC2＝52+122＝AB2是否成立即可．
（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．在Rt△EBD中，根据勾股定理即可得到一个
关于DE的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）
∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）
∴∠C＝90°；
∴△ABC是直角三角形．（1分）（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．
设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；
∵∠AED＝∠C＝90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，
解得：x＝ ，（3分）
∴AD＝ ＝ ．（3分）
