第08讲函数的概念及其表示方法（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 08 讲 函数的概念及其表示方法 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集 合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)， x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． 3．函数的表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量x，y之间的关系 就是把x，y之间的关系绘制 就是将变量x，y的取值列成 用一个关系式 y＝f(x)来表 成图象，图象上每个点的坐 表格，由表格直接反映出两 示，通过关系式可以由 x的 标就是相应的变量x，y的值. 者的关系. 值求出y的值. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数． 5.常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为. (6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}. 【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，若 ，则 ________． 【答案】-7 【解析】 【详解】 分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得到 ，从 而求得 ，得到答案.详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 . 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中， 需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 1、下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( ) 【答案】 C 【解析】 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确. 2、下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝，g(x)＝x－2 C．f(x)＝，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝ 【答案】D 【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D. 3x2 f x lg3x1 3、函数 1x 的定义域是（ ）  1   1   1 1  1   ,    ,1    ,   ,  A． 3  B． 3  C． 3 3 D． 3 【答案】B 【解析】3x2 f x lg3x1 由函数 1x ，知 1x0 1    x1 3x10解之得： 3 故选：B 4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( ) A. 式子y＝＋可表示自变量为x，因变量为y的函数 B. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C. 若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1 D. f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数 【答案】 BCD 【解析】 对于A，对于函数y＝＋，有此不等式组无解，故A错误；对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定 义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直 线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；对于C，因为 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f＝0，故f＝f(0)＝1，故C正确；对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均 为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确．故选BCD. 考向一 函数的概念 例1、（1）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( ) 【答案】 C 【解析】 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足. （2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( ) A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)＝x－1，g(x)＝ C.f(x)＝，g(x)＝D.f(x)＝，g(x)＝x 【答案】 AC 【解析】 同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足. 变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ． A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|； C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2. 【答案】 BD 【解析】 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同 一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与 g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同， 是同一函数． 变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________． (填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 【答案】：③ 【解析】：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数． 方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定 义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然； (2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数， 而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数． 考向二 函数的定义域 例1、 求下列函数的定义域： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝. 【解析】 (1) 因为f(x)＝， 所以lg (5－x2)≥0且5－x2>0， 所以lg (5－x2)≥lg 1，－0，解得x>1，且x≠2， 所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞). 变式1、（1）函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( ) A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4] C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞) 【答案】 C 【解析】 要使函数有意义， 则 解得0＜x＜4且x≠2. （2）.函数f(x)＝ ·lg的定义域是( ) A.[1，2] B.[2，＋∞) C.[1，2) D.(1，2] 【答案】 C 【解析】根据函数f(x)的解析式， 有解得1≤x＜2， 所以函数f(x)的定义域为[1，2). 变式3、.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是( ) A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1] 【答案】 B 【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由 g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1). 方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或 不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 考向三 函数的解析式 例2、 (1) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式； (2) 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0 时，函数f(x)的解析式； (3) 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，求函数f(x)的解析式． 【解析】 (1) 因为f(x)为二次函数， 所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以解得 所以f(x)＝x2＋x. (2) 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1， 所以f(x)＝＝(x＋1)(1－x－1)＝－(x＋1). (3) 因为3f(x)＋5f＝＋1，① 所以3f＋5f(x)＝3x＋1.② 由①＋②，得8f(x)＋8f＝3x＋＋2，③ 由②－×③，得2f(x)＝x－＋， 所以f(x)＝x－＋. 变式1、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 【解析】 (1)(换元法)令＋1＝t，得x＝， 代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg， x∈(1，＋∞)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以 解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x，x∈R. (3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②， 得3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R. 变式2、求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 【解析】(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t. ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f＝x2＋ ＝－2， ∴f(x)＝x2－2， x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b] ＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 方法总结：函数解析式的常见求法 函数解析式的求法主要有以下几种： (1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析 式； (3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等， 可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 考向四 分段函数 例3、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知 则f(7） =______. （3）已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________． （4）、已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________． 【答案】（1）0 2－3；（2）6（3） log 3（4） [－4,2] 2 【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f(f(－3))＝f(1)＝0， 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x) ＝2－3<0； min 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x) ＝0.∴f(x)的最 min 小值为2－3. （2）∵7＜9， ∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8＜9， ∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6. （3）当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log (4－a)＝， 2 解得a＝4－(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝， 解得a＝log 3. 2 （4）当x≤0时，不等式f(x)≥－1可以化为x＋1≥－1， 解之得x≥－4，此时－4≤x≤0；当x>0时，不等式f(x)≥－1可以化为－(x－1)2≥－1， 解之得0