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专题 24.1 圆（2 大知识点 8 类题型）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】圆的概念
1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形
叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作
“圆0”.
2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合
由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等
于半径的点都在圆上.
【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰
三角形.
【知识点2】与圆有关的概念
1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；
直径：经过圆心的弦叫做直径；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧
AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【题型目录】
【题型1】圆的概念的理解....................................................2；
【题型1】与圆相关概念的理解................................................2；
【题型2】与圆及相关概念的求值..............................................3；
【题型3】与圆及相关概念的证明..............................................4；
【题型4】利用直径是圆中最长的弦求值........................................5；
【题型5】利用直径是圆中最长的弦求最值......................................6；
【题型6】直通中考..........................................................7；
【题型7】拓展练习..........................................................7.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆的概念的理解
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果
某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式】（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
【题型2】与圆相关概念的理解
【例2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下列命题中，正确的有（ ）
①直径是弦，但弦不一定是直径； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆； ④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；
⑤长度相等的两条弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）以下说法：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；（3）弦是直径；（4）直径是圆中最长的弦；（5）直径不是弦；（6）优弧大于劣弧；（7）以O为圆心可以画无数个圆．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB， ，CD都是 的弦
B．线段 经过圆心O，线段 是直径
C．
D．弦AB把圆分成两条弧，其中 是劣弧
【题型3】与圆及相关概念的求值
【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 交
于点 ， ，且 ．若 ，求 的度数．
【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图， 是 的直径，点 ， 在圆上，且 经过
中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，以平行四边形 的一边 为直径作 ，若 过点C，且 ， 则
【题型4】与圆及相关概念的证明
【例4】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在 中， ， 分别是 ， 边上的
高，求证： ， ， ， 四点在同一个圆上．
【变式1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图， 为半圆 的一条弦（非直径），连结 、 ，分别
以 、 为圆心，大于 一半的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 ，交 于点 ，下列结论不一
定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O
为圆心画圆（直径小于 ），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线 ，点P为圆上一个动点，
连接 ，下列说法正确的有（ ）
①当点P运动到第一象限，则
②当点P运动到第二象限，则
③当点P运动到第三象限，则
④当点P运动到第四象限，则A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【题型5】利用直径是最长的弦求值与证明
【例5】（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）如图1，点 是以点 为圆心， 为直径的半圆上的一
个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 于 ．设弦 的长为 ，线段 的长为 ，
与 的函数图象如图2所示，则 的直径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式1】（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点， ，圆上一动点P从
点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是 ，线段AP的长度是 ．图（b）是y随x
变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的半径为3，且A，B是 上不同的两点，则弦的范围是 ．
【变式3】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是 内一点 点P不与圆心O重合 ，点P到
圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则
的半径为 ．
【题型6】利用直径是最长的弦求最值
【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点C是以点 为圆心，1
个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为 ，连接 ，D是 的中点，连接 ，求 最大
值．
【变式1】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且
，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，
求 的最大值.
【变式2】（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是以点
C(0,−3)为圆心，2为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型7】直通中考
【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重
物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【例2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，
C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作
直线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1【题型8】拓展延伸
【例1】（2024·陕西汉中·二模）如图，在 中，利用尺规作图法求作 ，使得 与 的交点C
到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 、 是 的弦，连接 、 并延长，分别交
弦 、 于点 、 ， ．求证： ．
