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第 12 讲 指数与指数函数
一、指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
[常用结论]
二、指数函数图象的画法
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象， 底数 a，b，
c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝
ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研
究．
1、【2020年新课标2卷理科】若 ，则（ ）A． B． C． D．
2、【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K
为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再
0
生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近
0
似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
0 0
例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
4、【2018年新课标1卷文科】设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
[ π π]
5、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．C． D．
1、已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
A．c1，b>1 B．a>1,01 D．00，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A.或 B.或2
C. D．2
4、 (多选)下列结论中，正确的是( )
A. 函数y＝2x-1是指数函数
B. 函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)
C. 若am>an(a>0，a≠1)，则m>n
D. 函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过点(2，－2)
4. 化简 的结果是________.
考向一 化简下列各式：(1) ；
(2) ；
(3) .
考向二 指数函数的性质与应用
例2、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log 3)，b＝f(log 5)，c
0．5 2
＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c．
（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或．
（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
变式1、过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点
C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
变式2、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点 的直线与函数 的图象交
于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，
点 的横坐标是
变式3、已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2) 若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围．考向三 指数函数的综合运用
例3、已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R).
(1) 若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)＞1的解集；
(2) 若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．
变式1、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
变式2、(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]
时，，若f(0)＋f(1)＝－4，则 ．
变式3、已知函数 ，则（ ）．
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
1、已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 倍，
得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合，
则a的值是（ ）A． B． C． D．
2、(2022·江苏省第一次大联考)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K．E．Tsiolkovsky)于1903年给出
火箭最大速度的计算公式v＝Vln(1＋)．其中，V 是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m 是
0 0 0
火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V ＝2km/s，则当火箭的最大速度v
0
可达到10km/s时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的( )倍
A．e5 B．e5－1 C．e6 D．e6－1
3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当
x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是( )
A．当x∈[－2，0]时， B．f(2019)＝1
C．y＝f(x)的图像关于点(2，0)对称 D．函数g(x)＝f(x)－log x有3个零点
2
4、（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
