文档内容
第 12 讲 拓展五：利用洛必达法则解决导
数问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：洛必达法则的简单计算
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
一、 型及 型未定式
1、定义：如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零（或都趋于无穷大），那么极
限 （或 ）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为 型及 型未定式.
2、定理1（ 型）：（1）设当 时， 及 ；
（2）在 点的某个去心邻域内（点 的去心错误!超链接引用无效。 内）都有 ，
都存在，且 ；
（3） ；
则： .
3、定理2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
(3) ，那么 .
4、定理3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2)在点 的去心错误!超链接引用无效。 内， 与 可导且 ；
(3) ，
那么 = .
5、将上面公式中的 , , , 洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、 型 、 、 、 型
1、 型的转化：
或 ；
2、 型的转化：
3、 、 型的转化：幂指函数类
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：洛必达法则的简单计算1、判断下列计算是否正确
；
解：由于 中分子记为 ，分母记为 ， 不是未定式，不能直接使用
洛必达法则.
2、求 （本题属于 型；）
解：原式= （属于 型，继续使用洛必达法则）
= （不属于未定型，直接将 代入分子分母）
=
3、求 （本题属于 型；可使用洛必达法则）
解：原式= （不属于未定型，直接将 代入分母）
=0
4、求 （本题属于 型，可使用洛必达法则）
解：原式= （不属于未定型，直接将 代入分子）
=0
5．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：
当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】，
故选：D
6．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，
比如：当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必
达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ________．
【答案】 ##0.5
【详解】
故答案为：
7．（2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比
如：当 时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，
洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ______．
【答案】2
【详解】
由题可得 .
故答案为：2.
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
1．（2021·全国·高三专题练习）若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围？
【答案】
【详解】当 时，原不等式等价于 .记 ，
则 .
当 时，令 ，则 ，可知 在 上单调递增，所以
，即 ，
所以 .因此 在 上单调递减.
； .
所以 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，且曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
解： ,
；
函数 在 处取得极值，
；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
；
解得： ；
(2)
不等式 恒成立可化为 ，
即 ；当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
得 在 是减函数，
故 ，
进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，
当 时， 没有意义，由洛必达法得 ，
．
3．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数 ，曲线 在点
处的切线方程为 ．
（1）求 、 的值；
（2）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， （2）（- ，0]
【详解】
（1）由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ， ．
（2）当 ，且 时， ，即 ，
也即 ，记 ， ，且
则 ，
记 ，则 ，
从而 在 上单调递增，且 ，因此当 时， ，当 时，
；当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增.
由洛必达法则有 ，
即当 时， ，即当 ，且 时， .因为 恒成立，
所以 .综上所述，当 ，且 时， 成立， 的取值范围为 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，且曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
解： ,；
函数 在 处取得极值，
；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
；
解得： ；
(2)
不等式 恒成立可化为 ，
即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
得 在 是减函数，
故 ，
进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，当 时， 没有意义，由洛必达法得 ，
．
5．（【区级联考】天津市北辰区2019届高考模拟考试数学（理）试题）已知函数 ，
，
（I）求函数 的单调区间；
（II）若 在 恒成立，求 的取值范围；
（III）当 ， 时，证明：
【答案】（I）见解析（II） （III）见解析
【详解】
（I）由题意知：
（1）当 时， 恒成立 在定义域 上单调递增
（2）当 时，令 ，解得：
则 ， ， 变化情况如下表：
极小值
的单调减区间为： ，单调增区间为：
（II）（1）当 时，原不等式化为： 恒成立，可知
（2）当 时，则 ，令
则
令 ，则
当 时， ，则
在 上单调递减即 在 上单调递减
当 时，
综上所述：
（III）（1）当 时， ，则
由（II）可得 时，
则只需证明： 成立
令
当 时，
在 上单调递增
【点睛】
本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常
用方法为分离变量的方式，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时，通常将所证不等
式进行转化，通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.
