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专题6不等式恒成立问题（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

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专题6不等式恒成立问题（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

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                            专题 6 不等式恒成立问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题
一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确
定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应
的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．
二、解题秘籍
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
①. x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x) >A；
min
②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x) g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x) >0；
min
④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) <0；
max
⑤. ∀x∈D, x∈E,均有f(x) >g(x)恒成立,则f(x) > g(x) ；
1 2 1 2 min max
⑥. ∀x∈D, ∀x∈E,均有f(x) 0恒成立,即 对x>0
恒成立.
令 ,所以 ,
.令 , ,
则 恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0, ,所以 使得 ,
即 ,（※）
所以当 时,G(x)<0,当 时,G(x)>0,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即F(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
由（※）式可知, , ,
令 , ,又x>0,所以 ,即s(x)在（0,+∞）上为增函数,所以 ,即
,所以 ,
所以
所以,实数m的取值范围为（－∞,1].
三、典例展示
【例1】（2023届山东省淄博市实验中学、齐盛高中高三上学期考试）已知函数
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解：由题意可得， ，故 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无减区间；
当 时，令 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）解：由题意得，只需 成立．
因为 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上递减， 递增，且
所以 ，故 ，即 在 上单调递增，
所以 在 上递增，所以 ．
由（1）知，当 时， 在 上递增，在 上递减．
①当 即 时， 在 上递减， ，
所以 ，所以 ；
②当 即 时， 在 递增， ，
所以 ，所以 ；
③当 即 时， 在 上递增，在 上递减，
可得 ，
又因为
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2】（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的最小值.
【解析】（1）由题当 时， ，
， ， ，
所以切线方程为 ，化简得 ，
即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由 可得 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
设 ，易知 在 上单调递增，
又 ， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
取对数得 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上单调递增，则 ，
又 对任意 恒成立， ，
所以 ，即 的最小值为-3.
【例3】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数 有两个极值点
．其中 ， 为自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由于 ，
由题知 有两个不同实数根，即 有两个不同实数根．
令 ，则 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调
递减，且 时， ， 时， ， ，故 的图象如图所示，
当 时， 有两个零点 且 ．则 或 ，故 在 上单
调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值点为 ，极小值点为 ．
故 有两个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若设 ，则上式即为
由（1）可得 ，两式相除得 ，即 ，
由 得
所以 ，令 ，
则 在 恒成立，由于 ，
令 ，则 ，
，
显然 在 递增，
又有 ，所以存在 使得 ，
且易得 在 递减， 递增，又有 ，
所以存在 使得 ，且易得 在 递减， 递增，
又 ，则 时， 时， ，所以易得 在 上
递减，在 上递增，则 ，
所以 的取值范围为 ．
【例4】（2023届河南省郑州外国语学校高三下学期4月月考）已知函数 ．（a，b为实
数）
(1)当 时，求过点 的 图象的切线方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设 ，若 恒成立，求b的取值范围．
【解析】（1）因为 ，则 ，
所以 ，设切线与 图象切于点 ，
则切线方程为 ，
令 ， 则 ， 即 ，
所以切线方程为 .
（2）由 ，
令 ， 则 ，故 ，
下面证明： 时符合题意.
当 时， ，
以下证明： ，
构造函数 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，
所以，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，实数b的取值范围 ．
四、跟踪检测
1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数 （ ）图象在点
处的切线与直线 垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在 ，使得 恒成立，求实数k的最大值．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∵切线与直线 垂直，∴切线的斜率为3，
∴ ，即 ，故 .
（2）由（1）知 ， ，
，
令 ， ，则 ， ，
由 对 恒成立，故 在 上单调递增，
又∵ ，而 ，
∴存在 ，使 ，
∵ 在 上单调递增，
∴当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
∴ 在 处取得最小值 ，
∵ 恒成立，所以 ；
由 得， ，所以 ，
∴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
又 ，∴ ，
∵ ，∴k的最大值为 ．
2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
若 是 的极值点，则 ，解得 ，
此时 ，
在区间 上 单调递增；
在区间 上 单调递减.
此时 是 的极小值点，符合题意.
综上所述， 的增区间为 ；减区间为 .
（2） ，
由 ，得 ①，
设
，
所以当 时， ，①不成立，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 在区间 上 单调递减；
在区间 上， 单调递增，
所以 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题，当 时， ， ，
， ，所以切线方程为 ，
化简得 ，即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，即 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 .
对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ，
则两个零点一正一负，设其正零点为 ，则 ，即 ，
且在 上时 则 ，此时 单调递减，
在 上， ，此时 单调递增，
因此当 时， 取最小值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，故 ，
显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，则 ，
所以实数 的取值范围为
4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数 ，已知直线 是
曲线 的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）设直线 与曲线 相切于点 处，
因为 ，则 ，即
而 ，所以 ，即
设函数 ， ，显然在 上单调递增，且 ，
则 有唯一零点 .
所以 ， ，即实数a的值等于1.
（2）由（1）知 ， ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 时， ， 显然不符合题意.
注意到 是增函数，在区间 上， ，
所以 不合题意.
接下来对 进行讨论，
令 ，
则 ，
注意到 ， ，
令 ，得 ，
注意到 在 上单调递增，且 ，
所以在 时，有唯一的实数 使得 ， ．
当 时， ， 单调递减，在 时， ， 单调递增.
所以 ，
注意到 ， ，
所以 ，
再设 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 .
因为 ， ，只能 .
综上所述，实数t的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数 （e为自然对数的底数）.
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求证：实数 .
【解析】（1）由 ，定义域为 ，
则 .
所以 在 处的切线l的斜率为 ，
又 ，则l的方程为 .
（2） 恒成立，
令 ，则 ，
令 ， ，则
所以 在 上单调递增，又 ，且 ，
则 在 上存在零点 且 ，即 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 .
，则
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 在 上单调递增，因此
所以 .
6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数 ， .
(1)若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）若不等式 的解集为 ，
即1，2是关于 的方程 的两个根，
则 ，即 ，
则 ，由 得 ，
即 ，得 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 ．
（2）不等式 对于任意的 恒成立，
即 对于任意的 恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，
当 时 ，当 时时
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，所以 ．
7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【解析】（1） ， .
当 时， 恒成立， 在 上单调递减；
当 时，由 ，解得 ，即 在 上单调递增，
由 ，解得 ，即 在 上单调递减.
（2）当 时，由（1）知 ，
， 恒成立， 在 上单调递增，所以 ，
由题意知 ，即 .
设 ，则 ，所以 为增函数，
又 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m为实数，函数 .
(1)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(2)已函数 有两个不同的零点 ， （ ），若 ，且 恒成立，
求实数 的范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）当 时， ，∴ ，
设切点为 ，则切线斜率 ，
∴切线方程为 ，∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ；由 ，可得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即 的最小值为 ；
（2）∵ 有两个不同的零点 ， （ ），
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
又 ，
∴ ，
将 代入上式可得： 恒成立，
又 ，则 ，∴ 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，
则 ， ，
（ⅰ）当 时， ，
∴ ，∴ 在 上单调递减， 恒成立，
∴ ；
（ⅱ）当 时，∵ ，
∴ 时， ， 在 上单调递减；
时， ， 在 上单调递增，
∴ 时， ，
综上可得 .
9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 是 的极值点，
所以 ，即 ，所以 ，经检验符合题意.
（2） .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减；
（3） 的定义域为 ，若 恒成立，则 恒成立，
即 恒成立，
令 ，只需 ，又 ，
令 得 ，
时， ，则 单调递增；
时， ，则 单调递减；
所以 ，解得： ；
10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数 ，其中
，且 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，过函数 图象对称中心C的直线与 图象交于A，B两点（异于点C），分别以A，
B两点为切点作 的切线，记切线的斜率分别为 ， ，若 恒成立，求实数m的取值范
围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由 ，可得 ，或 ．
当 时，令 得 ,
所以函数 单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ；
当 时，令 得 或 ,
所以函数 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
当 时，函数 单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 得 或 ,
函数 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
综上所述： 时， 单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ；
当 时， 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
当 时，函数 单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
（2）令A，B两点的横坐标分别为 ， ，由题意可知，函数 ，
由于函数 为奇函数，所以，函数 图象对称中心横坐标为0．
故 ，
，故 ，
因此， ，故 ，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ．
由此可得 ，即实数m的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】                        

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