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期中试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·河北保定市·九年级期末）图书馆的标志是浓缩图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，是中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、不是中心对称图形
B、不是中心对称图形
C、不是中心对称图形
D、是中心对称图形
故选：D．
2．（2020·广西玉林市·七年级期末）x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．0＜x＜5 B．0＜x≤5 C．0≤x≤5 D．x≤5
【答案】B
【详解】解：根据题意，x为大于0且小于等于5的数，
可表示为：0＜x≤5.
故选B.
3．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 ，那
么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【详解】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．
故选：A．
4．（2020·四川成都市·成都七中八年级月考）下列不等式一定成立的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【详解】解：A、 ，则 ， ，故原不等式不成立；
B、 ，则 ，故原不等式不成立；
C、 ，则 ，故原不等式不成立；D、 ，则 ，一定成立；
故选：D．
5．（2021·广东深圳市·八年级期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．10，15，20 C．5，12，13 D．7，24，25
【答案】B
【详解】解：A．∵62+82=102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵102+152≠202，
∴以10，15，20为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵72+242=252，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2020·浙江七年级期末）如图，在 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与
三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
【答案】D
【详解】解：观察图形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格．
故选：D．
7．（2021·浙江宁波市·八年级期末）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前
面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足3本，则共有学生（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人
【答案】C
【详解】解：设共有学生x人，
，解得： ，
故共有学生6人，
故选：C．
8．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在 中，将 绕点A按逆时针方向
旋转得到 ．若点 恰好落在BC边上，且 ， ，则 的度数为（ ）．
A．72° B．108° C．144° D．156
【答案】B
【详解】解：∵ 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
9．（2020·北京海淀区·人大附中七年级期末）制作某产品有两种用料方案，方案1用4块A型钢板，8块
B型钢板；方案2用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，
应选（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案1和方案2均可 D．不确定
【答案】B
【详解】
解：设A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，其中x＞y，
方案1的面积为：4x＋8y；
方案2的面积为：3x＋9y；
∴（4x＋8y）﹣（3x＋9y）＝4x＋8y﹣3x﹣9y
＝x﹣y＞0，
∴4x＋8y＞3x＋9y，
∴从省料的角度考虑，应选方案2，
故选：B．
10．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分
别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点
D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】∵ ， ，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
由作图知MN是BC垂直平分线，
∴BD=CD=4．
故选：C．
11．（2020·浙江杭州市·八年级期末）若不等式组 的解为 ，则下列各式正确的是
（ ）
A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n
【答案】A
【详解】∵不等式组 的解为 ，
∴ ， ，
故选：A．
12．（2021·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）如图，在锐角 中， ， ， 是
内的两点， 平分 ， ，若 ， ，则 的长度是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，如图，
， 平分 ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：D．13．（2020·浙江杭州市·八年级期末）一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：①对
于函数 来说，y随x的增大而增大．②函数 不经过第二象限．③不等式
的解集是 ． ④ ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【详解】解：由图象可得：对于函数 来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正
确；
由图象可知，a＞0，d＞0，所以函数 的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②
错误，
由图象可得当 时，一次函数 图象在 的图象上方，
不等式 的解集是 ，
移项可得， ，解集是 ，故③正确；
∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为4，
∴
∴ ，
∴ ，故④正确，
故选：B．
14．（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方
向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E
到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段
AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为
（ ）A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm
【答案】B
【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．
由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm），
∴BH＝ BE＝t（cm），
∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm），
∴DH＝EC．
∵△DEF，△ABC是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝∠DBE =60°．
∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°，
∴∠HDE＝∠CEF．
在△DHE和△ECF中，
，
∴△DHE≌△ECF（SAS），
∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF，
作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FN＝FK+FN≥KJ，
∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小，
∵M是BC的中点，
∴MC=CK=3，
∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm），∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝BN= BK＝9× ＝4.5（cm），
当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，三角形 中， ，将三角形 沿 方向
平移 的长度得到三角形 ，且 ， ， ，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】26
【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC=EF=8，AD=BE=4
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∵S +S =S +S ，
阴影部分 DBG DBG 梯形BEFG
△ △
∴S =S = （5+8）×4=26．
阴影部分 梯形BEFG
故答案为：26．
16．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级月考）在 中， ， 的垂直平分线分别交
， 于点D，E，若 的周长为17，则 的长为___________．
【答案】8
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
由题意得，BC+CE+BE=17，
则BC+CE+AE=17，即BC+AC=17，又BC=9，
∴AC=8，
故答案为：8．
17．（2021·浙江金华市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝
_____．
【答案】42°或24°．
【详解】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PDC＝∠BDC＝48°时，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A＝ ∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
18．（2020·浙江杭州市·八年级期末）对于任意实数p，q，定义一种运算： 例如：
，请根据上述定义解决问题，若关于 的不等式组 有3个整数解，则
的取值范围为___．
【答案】【详解】解：根据题意得 ，
化简得 ，
解得： ，
∴不等式组的解集是
∵不等式组有3个整数解，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·广西贵港市·八年级期末）解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，画图见解析；（2） ，画图见解析
【详解】解：（1）整理得： ，
∴ ，
则： ，
在数轴上表示为：
．
（2）解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式的解集为 ．
在数轴上表示为：．
20．（2021·河南南阳市·七年级期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四
边形 的四个顶点A、B、C、D都在格点（网格中每两条线的交点）上．
（1）求四边形 的面积：
（2）把四边形 先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出第二次平移后的四边形；
（3）线段 的端点M、N也在格点上，以线段 为一边画出一个 ，使其面积等于四边形
的面积，且第三个顶点P也在格点上．
【答案】（1）8；（2）见讲解（3）见详解
【详解】
（1）由图可知：
（2）如图所示：（3）
设以MN为底 的高为
如图所示： 即为所求
21．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末）抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防
护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和
售价如下：
84消毒液 酒精
进价（元/瓶） 25 20售价（元/瓶） 40 28
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和
酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，
而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4900元，
则每瓶酒精最多打几折？
【答案】（1）销售84消毒液300瓶，酒精200瓶；（2）每瓶酒精最多打7.5折．
【详解】
解：（1）设84消毒液和酒精各销售了x，y瓶，
根据题意得： ，解得： ，
答：销售84消毒液300瓶，酒精200瓶；
（2）设酒精打m折，
由题意得： ，
解得：m≥7.5，
答：每瓶酒精最多打7.5折．
22．（2021·福建厦门市·八年级期末）如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，设∠APB=α．
（1）尺规作图：在边PA上作点N，使得∠ANM=2α；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若边PA上存在点Q，使得∠QMB=3α．
①证明△MNQ是等腰三角形；
②直接写出α的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0°＜α≤60°．
【详解】解：（1）如图1，作PM的垂直平分线交PA于点N．
点N即为所求点．（2）①证明：点Q在PA上，且存在以M，N，Q为顶点的三角形时，有如下三种情况：
i）当点Q在射线NA上（不含端点N）时，如图2．
∵∠PQM=∠QMB﹣∠APB=3α﹣α=2α，
由（1）得∠ANM=2α，
∴∠ANM=∠PQM，
∴NM=QM．
即△MNQ是等腰三角形；
ii）当点Q在线段PN上（不含端点P）时，如图3．
同理可得∠PQM=2α．
由（1）得∠ANM=2α，
∴180°﹣∠ANM=180°﹣∠PQM，
∴∠MNQ=∠MQN，
∴NM=QM．
即△MNQ是等腰三角形；
iii）当点Q在点P处，3α=180°，
即α=60°，此时△MNQ是等边三角形；②由①可知点Q与点P重合时，α=60°，
∴α的取值范围是0°＜α≤60°．
23．（2020·太原市·山西实验中学八年级月考）已知，如图1，等腰直角三角形 中， ，
是外角平分线，交 边的延长线于点 ， ，垂足为 ．
（1）请你猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）任意三角形 ， ， 是 的外角平分线，交 边的延长线于点 ，如图
2，请直接你写出线段 、 、 之间的数量关系．
【答案】（1）BD=AB+AC，证明见解析；（2）BD=AB+AC．
【详解】(1) ∵AD平分∠EAB，DE⊥AC，AB⊥BC，
∴EA=BA，
在Rt EAD和Rt BAD中，
EA= BA，AD= AD，
△ △
∴Rt EAD≌Rt BAD(HL)．
∴ DB= DE，
△ △
∵AB= BC，∠ABC = 90°，
∴∠C= 45°，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠C，DE= EC，
∴ BD= EC．
∵ EC= AE+ AC，
∴BD= AE+ AC
∴ DB= AE+ AC= AB+ AC．
（2）BD=AB+AC，理由如下，
在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接DE，∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
EA= BA，∠EAD= ∠BAD，AD= AD，
∴△EAD≌△BAD(SAS)．
∴∠AED=∠ABD， DB= DE．
∵∠AED+ ∠FED= 180°，∠ABD+∠ABC= 180°，
∴ ∠FED=∠ABC．
∵∠ABC= 2∠C，
∴∠FED= 2∠C．
∵∠FED=∠EDC+∠C，
∴ 2∠C=∠EDC +∠C，
∴∠C=∠EDC，DE= CE．
∴ BD= EC．
∵EC= AE+ AC，
∴ BD= AE+ AC
∴DB= AE+ AC= AB+ AC．
24．（2020·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级月考）已知等边△ABC的边长为6，点D在BC上，且
BD=2，点E是AB上的动点．连接DE，将DE绕点E逆时针旋转60°到EF位置，连接DF；CF．
（1）求△DEF周长的最小值；
（2）求AD的长；
（3）当点E在AB运动时，△CDF的面积是否发生变化，若不变求出这个面积的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） （或 ）；（3）不变，
【详解】解：（1）当DE⊥AB时DE最小，即△DEF周长最小，
由旋转的性质得，DE=EF，∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，∴ ，
∴ = ，
∴△DEF周长的最小值为3 ；
（2）作AG⊥BC于G，
∵等边△ABC的边长为6，
∴ ，
∴DG=3-2=1， ，
∴ = （或 ）；
（3）△CDF的面积不变化，作DM⊥AB于M，作FN⊥BC于N，
∵∠B=60°，
∴∠BDM=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDM+∠FDN=180°-30°-60°=90°，
∵∠DFN+∠FDN=90°，
∴∠EDM=∠DFN．
在△DEM和△FDN中
，
∴△DEM≌△FDN，
∴NF=DM，
由（1）可知，DM= ，
∴NF= ．∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴ ．
25．（2020·北京海淀区·人大附中七年级期末）居家学习期间，小明坚持每天做运动．已知某两组运动都
由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，小
明花了5分钟，其中做了20个波比跳，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，小明花了7分钟30秒，
其中也做了20个波比跳，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）小明在第一组运动中，做了 个深蹲；小明在第二组运动中，做了 个深蹲．
（2）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（3）若小明想只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，小明至少要做多少个波比跳？
【答案】（1）40；70；（2）每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡；（3）25个
【详解】解：（1）（60×5﹣5×20）÷5＝40（个），
（60×7＋30﹣5×20）÷5＝70（个）．
故答案为：40；70.
（2）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意，得：
，
解得： ．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡．
（3）设小明要做m个波比跳，则要做 ＝（120﹣m）个深蹲，
依题意，得：5m＋0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24 ．
又∵m为正整数，
∴m可取的最小值为25.
答：小明至少要做25个波比跳．
26．（2020·四川成都市·成都实外八年级月考）如图， 和 都是以 为直角顶点的等腰直角三角形，连接 ， ．
（1）如图1，试判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若点 哈好在 上，且 为 的中点， ，求 的面积．
（3）如图3，设 与 的交点为 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1） ， ，见解析；（2） ；（3） ．
【详解】
（1）如图，设 交 于点 ， 交 于点 ，图1
所以 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ≌ （SAS），
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，作 于点 ，
图2
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，在 中，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍），
∴ ， ，
∵ ≌ ，
．
（3）如图，连接 ，
图3
作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，
，
∴ ，∵ ，
∴ ．
