文档内容
七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
期末全真模拟试卷01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．下列图形中，一定是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解析】A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、一定是轴对称图形，本选项正确；
C、不是轴对称图形，本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解析】（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项A错误；
2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项D错误；
故选：C．
3．一箱饮品（每箱12瓶）中有2瓶的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的饮品，但连续
打开2瓶均未中奖，此时小明在剩下的饮品中任意拿一瓶，那么他拿出的这瓶饮品中奖的机会是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】让2除以剩余瓶数即为所求概率．【解析】∵剩下的啤酒共有12﹣2＝10（瓶），盖内印有“奖”字的有2瓶，
∴他拿出的这瓶饮品中奖的机会是2÷10＝ ．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BA延长线上一点，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论错误的是
（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
【分析】根据平行线的判定和性质解决问题即可．
【解析】由作图可知，∠DAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
5．将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠ 与∠ 之间的关系一定正确的是（ ）
α β
A．∠ ＝∠ B．∠ ＝ ∠ C．∠ +∠ ＝90° D．∠ +∠ ＝180°
【分析α】如果β 两个角的和等于α 90°（β直角），就说这α两个β角互为余角，由α题意β可知∠ 与∠ 互余，即
∠ +∠ ＝90°． α β
【α解析】β ∠ +∠ ＝180°﹣90°＝90°，
故选：C． α β
6．2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下
面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据开始库存量与销量持平，后来脱销即可确定库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系．
【解析】根据题意：库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为
0．
故选：D．
7．如图，D在△ABC的BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠EAC＝
50°，即可得到∠BAD的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可求出结
果．
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠DAB＝50°，
∴△ABD中，∠B＝ （180°﹣∠BAD）＝65°，
∴∠ADE＝∠B＝65°，
故选：C．8．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】求出AB，根据含30°角直角三角形性质得出BD＝ AB，代入求出即可．
【解析】∵AB＝AC，AC＝8，
∴AB＝8，
∵BD是高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BD＝ AB＝4，
∴△ABC的面积＝ ×8×4＝16，
故选：B．
9．已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．3或5
【分析】本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此
要分类讨论．最后要根据三角形三边关系将不合题意的解舍去．
【解析】本题可分两种情况：
①当腰长为7时，底边长＝17﹣2×7＝3；经检验，符合三角形三边关系；
②底边长为7，此时腰长＝（17﹣7）÷2＝5，经检验，符合三角形三边关系；
因此该等腰三角形的底边长为3或7．
故选：C．
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【分析】先证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠ABD，再根据外角的性质，
即可求出∠3．
【解析】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1＝∠ABD，
∵∠1＝25°，∠2＝35°，
∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°，
故选：C．
11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的角平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
则∠MCD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】利用三角形的内角和先求出∠ACB，再通过角平分线求出∠ACM，最后利用三角形的高、三角形外角与内角的关系求出∠CMB与∠MCD．
【解析】∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝60°．
∵CM是∠ACB的角平分线，
∴∠ACM＝ ∠ACB＝30°．
∴∠CMB＝∠CAB+∠ACM＝75°．
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°．
∵∠CDB＝∠MCD+∠CMB．
∴∠MCD＝∠CDB﹣∠CMB
＝90°﹣75°
＝15°．
故选：A．
12．如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的
C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB＝∠CAB，根据角平分线性质得
出BN＝BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
【解析】如图：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB＝∠CAB，
∴BN＝BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC＝3，
∴ ×AC×BN＝6，
∴BN＝4，
∴BM＝4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．若2a+6＝9，则2a＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】因为2a+6＝2a×26＝9，
所以 ，
故答案为：
14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝
CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，此时测得DE＝13米，则AB的长为 13 米
．【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合 BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出
△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED．
【解析】∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B＝∠EDC＝90°．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝13．
答：AB的长为13米．
15．若把如图所示网格设计成一个投镖靶子，使得随意投掷一次飞镖击中红色区域的概率为 ，那么需要
在网格中涂成红色的小正方形的个数为 6 ．
【分析】直接利用几何概率公式得出涂成红色的小正方形的个数．
【解析】∵随意投掷一次飞镖击中红色区域的概率为 ，总数为16个正方形，
∴在网格中涂成红色的小正方形的个数为：6．
故答案为：6．16．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠B＝∠C，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你
添加的条件是 答案不唯一，如 BE ＝ CF 或 AE ＝ AF 或∠ BED ＝∠ CFD 或∠ AED ＝∠ AFD 或∠ BDE ＝
∠ CDF 等． （不再添加辅助线和字母）．
【分析】根据条件有BD＝CD，∠B＝∠C，若添加的条件是BE＝CF，根据SAS证出△BED和△CFD
全等，若添加的条件是AE＝AF，可证出BE＝CF，可得出△BED和△CFD全等；若添加∠BED＝
∠CFD，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠BED＝∠CFD，根据
AAS证△BED≌△CFD即可；若添加的条件是∠BDE＝∠CDF，根据ASA即可推出△BED和△CFD全
等．
【解析】答案不唯一，如BE＝CF或AE＝AF或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD或∠BDE＝∠CDF等．
①条件是BE＝CF，
在△BDE和△CDF中
，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF；
②条件是AE＝AF，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AE＝AF，
∴BE＝CF，
由①可得结论DE＝DF；
③条件∠BED＝∠CFD，
在△BDE和△CDF中，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
④条件∠AED＝∠AFD
∵∠AED＝∠AFD，
∴∠BED＝∠CFD，
由③可得结论DE＝DF；
⑤条件∠BDE＝∠CDF
在△BDE和△CDF中
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF；
故答案为：答案不唯一，如BE＝CF或AE＝AF或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD或∠BDE＝∠CDF
等．
17．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重
合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．
小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC≌△ADC，②∠BCA＝∠DCA，③∠ABC＝
∠ADC，④∠BAE＝∠ACD，则正确的结论有 ①②③ ．（填序号）
【分析】利用SSS证明△ABC≌△ADC．进而可以逐一判断．
【解析】在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故①正确；
∴∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC，故②③正确；
∵∠BAE＝∠DAE，故④错误．
所以正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
18．已知x≠1，（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣
x4，…
观察上式，猜想计算：（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ﹣ 6 3 ．
【分析】直接利用已知得出：（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26，进而得出答案．
【解析】由题意可得：
（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）
＝1﹣26
＝﹣63．
故答案为：﹣63．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算： ；
（2）先化简，再求值：[（2x﹣y）²﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2y），其中x＝ ，y＝2．
【分析】（1）先化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，然后再计算；
（2）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的计算法则计算括号里面的，然后再算括号外面的，最后
代入求值．
【解析】（1）原式＝ +5﹣1+3
＝ ；
（2）原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+2xy）÷（﹣2y）
＝（﹣2xy+y2）÷（﹣2y）
＝x﹣ y；当x＝ ，y＝2时，
原式＝ ﹣1＝﹣ ．
20．（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
【分析】（1）延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B＝∠EFD，则能证明AB∥CD；
（2）延长BA交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠EFA，再根据三角形外角性质证明
即可．
【解析】（1）如图1，延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图②，延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．21．疫情期间，全民检测，人人有责．安安小区某时段进行核酸检测，居民有序排队入场，医务人员开始
检测后，现场排队等待检测人数y（人）与时间x（分钟）之间的关系式为y＝10x+a，用表格表示为：
时间x/分钟 0 1 2 3 4 5 6 …
等待检测人数y/人 40 50 60 70 80 90 100 …
医务人员已检测的总人数（人）与时间（分钟）之间的关系如图所示：
（1）图中表示的自变量是 时间 ，因变量是 总人数 ；
（2）图中点A表示的含义是 检测 5 分钟后，已检测的总人数为 8 0 人 ；
（3）在医务人员开始检测4分钟时，现场排队等待检测的人数有 8 0 人；
（4）关系式y＝10x+a中，a的值为 4 0 ；
（5）医务人员开始检测 6 分钟后，现场排队等待检测人数与医务人员已检测的总人数相同；
（6）如果该小区共有居民1000人，那么医务人员全部检测完该小区居民共需 5 2 分钟．
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；（2）根据点的实际意义解答即可；
（3）根据图象信息解答即可；
（4）把y＝10x+a代入其中一个相应的点求解即可；
（5）根据图象信息解答即可；
（6）把y＝1000代入关系式y＝10x+40即可解答．
【解析】由图象，结合题意可知：
（1）自变量是检测时间，因变量是已检测的总人数；
故答案为：时间；总人数；
（2）图中点A表示的含义是：检测5分钟后，已检测的总人数为80人；
（3）在医务人员开始检测4分钟时，现场排队等待检测的人数有80；
故答案为：80；
（4）根据表格可知，60＝10×2+a，
解得a＝40．
故答案为：40；
（5）医务人员开始检测6分钟后，现场排队等待检测人数与医务人员已检测的总人数相同；
故答案为：6；
（6）由题意，得：（1000﹣20）÷20+2＝51（分钟），
即医务人员全部检测完该小区居民共需51分钟．
故答案为：51．
22．如图所示，转盘被等分成八个扇形，并在上面依次标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被8整除的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为 ．
（注：指针指在边缘处，要重新转，直至指到非边缘处）．
【分析】（1）根据正好被8整除的数在整个圆盘中所占的份数即可解答；
（2）根据几何概率的意义，只需是满足条件的区域有6个即可，如当自由转动转盘停止时，指针指向
区域的数小于7的概率（答案不唯一）．【解析】（1）根据题意分析可得：转盘被等分成八个扇形，并在上面依次标有数字1，2，3，4，5，
6，7，8；
正好能被8整除的有1个，故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被8整除的概率是
；
（2）根据随机事件概率的求法：当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为 ，只需是满足
条件的区域有6个即可；如当自由转动转盘停止时，指针指向区域的数小于7的概率（答案不唯一）．
23．在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在下图中画出你的3种方案．（每
个4×4的方格内限画一种），要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）；
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转
后能够重合，视为一种方案）
【分析】直接利用轴对称图形的性质以及结合平移的性质、旋转的性质分别分析得出答案．
【解析】如图所示：
．
24．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段BC的垂直平分线，垂足为D，交线段BE于点F；（保留作图
痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接CF，若∠ABC＝50°，∠BAC＝70°，求∠ECF的度数．【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，根据角平分线的定义得到
∠FBC＝ ∠ABC＝25°，根据线段垂直平分线的性质得到BF＝CF，于是得到结论．
【解析】（1）如图所示，直线DF即为所求；
（2）∵∠ABC＝50°，∠BAC＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC＝ ∠ABC＝25°，
∵DF是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝25°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝35°．
25．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2；得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）请直接写出下列问题答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝ ± 1 ；
②若（2﹣m）（5﹣m）＝3，则（2﹣m）2+（5﹣m）2＝ 1 5 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB＝5，两正方形的面积和
S +S ＝15，求图中阴影部分面积．
1 2
【分析】（1）根据公式变形（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn代入计算，再求2m﹣n的值；
（2）设a＝2﹣m，b＝5﹣m，则a﹣b＝﹣3，ab＝（2﹣m）（5﹣m）＝3，由（2﹣m）2+（5﹣m）2＝
a2+b2＝（a﹣b）2+2ab再代入计算即可；
（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AB＝5，S +S ＝p2+q2＝15，求出pq即可．
1 2
【解析】（1）∵2m+n＝3，mn＝1，
∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn
＝9﹣8
＝1，
∴2m﹣n＝±1，
故答案为：±1；
（2）设a＝2﹣m，b＝5﹣m，则a﹣b＝﹣3，ab＝（2﹣m）（5﹣m）＝3，
所以（2﹣m）2+（5﹣m）2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝9+6
＝15，故答案为：15；
（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AB＝5，S +S ＝p2+q2＝15，
1 2
所以S阴影部分 ＝pq
＝
＝
＝5，
答：阴影部分的面积为5．
