文档内容
第 12 讲 拓展五：利用洛必达法则解决导
数问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：洛必达法则的简单计算
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
一、 型及 型未定式
1、定义：如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零（或都趋于无穷大），那么极
限 （或 ）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为 型及 型未定式.
2、定理1（ 型）：（1）设当 时， 及 ；
（2）在 点的某个去心邻域内（点 的去心错误!超链接引用无效。 内）都有 ，
都存在，且 ；
（3） ；
则： .
3、定理2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
(3) ，那么 .
4、定理3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2)在点 的去心错误!超链接引用无效。 内， 与 可导且 ；
(3) ，
那么 = .
5、将上面公式中的 , , , 洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、 型 、 、 、 型
1、 型的转化：
或 ；
2、 型的转化：
3、 、 型的转化：幂指函数类
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：洛必达法则的简单计算1、判断下列计算是否正确
；
2、求 （本题属于 型；）
3、求 （本题属于 型；可使用洛必达法则）
4、求 （本题属于 型，可使用洛必达法则）
5．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：
当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
6．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，
比如：当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必
达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ________．7．（2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比
如：当 时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，
洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ______．
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
1．（2021·全国·高三专题练习）若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围？
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，且曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数 ，曲线 在点
处的切线方程为 ．（1）求 、 的值；
（2）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，且曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
5．（【区级联考】天津市北辰区2019届高考模拟考试数学（理）试题）已知函数 ，
，
（I）求函数 的单调区间；
（II）若 在 恒成立，求 的取值范围；
（III）当 ， 时，证明：
