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第 03 讲 圆的方程
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解确定圆的几何要 高考对圆的方程的考查比较稳定，
素，在平面直角坐标系中， 考查内容、频率、题型难度均变化
2023年乙卷（文）第11题，5分
掌握圆的标准方程与一般方 不大，备考时应熟练掌握圆的标准
2023年上海卷第7题，5分
程． 方程与一般方程的求法，除了待定
2022年甲卷（文）第14题，5分
（2）能根据圆的方程解决一 系数法外，要特别要重视利用几何
2022年乙卷（文）第15题，5分
些简单的数学问题与实际问 性质求解圆的方程．
题．
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为
参数， 为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
题型一：求圆多种方程的形式
例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过 、 两点，且与直线 相切的圆的方程可以是
（ ）
A． B．
C． D．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为 ，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则
这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为 的圆与直线 相切，则该圆的标准方程是
（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆 与直线 相切，则圆
关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A、B
两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为 两点，以线段 为直径的圆C过点 ，则
圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点 ，且圆心在直线 上的圆的标准
方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线
恒过定点P，则与圆C： 有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C： 关于直线 对称的圆的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也
称“米勒定理”）：若点 是 的 边上的两个定点，C是 边上的一个动点，当且仅当
的外接圆与边 相切于点C时， 最大．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点
F是y轴负半轴的一个动点，当 最大时， 的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，
B，则 的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则 外接圆的
方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，
b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，
半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的
交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0例5．（2023·高二课时练习）过圆 与 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程是 ．
例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线 与 的四个交点所在圆的方程是 ．
变式9．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线 与圆 的交点，
且过点 的圆的方程为 .
变式10．（2023·高二校考课时练习）过两圆 与 的交点和点
的圆的方程是 .
变式11．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线 与圆
的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
变式12．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆 和 的交点，且圆
心在直线 上的圆的方程为
变式13．（2023·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆 过直线 和圆 的交点，
且原点在圆 上．则圆 的方程为 ．
【解题方法总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用
它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线 与直线 相交于点P，则过点P的直
线系方程为：
简记为：
当 时，简记为： （不含 ）
（2）圆系方程：若圆 与圆 相交于A，B
两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为： ，不含当 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的
轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是 ： 上的两个动点，P是线段
的中点，若 ，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一
种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯
圆．已知点P到 的距离是点P到 的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆 内的一点 是圆上两动点，且满足
，求矩形 顶点Q的轨迹方程．
变式15．（1977·福建·高考真题）动点 到两定点 和 的距离的比等于2，求动点P的
轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．变式16．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C： .
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(2)从圆C外一点 向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有 ，求点P的轨迹方程.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）由圆 外一点 引圆的割线交圆于 两点，求弦
AB的中点M的轨迹方程.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，平面上一动点 满足： 且
， ．求动点 的轨迹方程；
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、
R，且 ．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知 的斜边为 ，且 .求：
(1)直角顶点 的轨迹方程；
(2)直角边 的中点 的轨迹方程.
变式21．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的
动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.变式22．（2023·高二课时练习）已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为
圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或
转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例10．（2023·河南·高三阶段练习）“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例11．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆 的方程为 ，点 不在圆 上，也
不在圆 的圆心上，方程 ，则下面判断正确的是（ ）
A．方程 表示的曲线不存在
B．方程 表示与 同心且半径不同的圆
C．方程 表示与 相交的圆
D．当点 在圆 外时，方程 表示与 相离的圆
例12．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 表示圆，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
变式25．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆 ：
过坐标原点，则实数 的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
变式26．（2023·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是
（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
变式27．（2023·高二课时练习）若 ，使曲线 是圆，则
（ ）
A． B． C． 或 D．
【解题方法总结】
方程 表示圆的充要条件是 ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为 ，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
变式28．（2023·全国·高二专题练习）点 与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定
变式29．（2023·全国·高二专题练习）若点 在圆 的内部，则a的取值范围是
（ ）.
A． B． C． D．
变式30．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则
（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他
约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．题型六：数形结合思想的应用
例16．（2023·高二校考单元测试）若直线 与曲线 有两个不同的交点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线 与直线 有两个不同
的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线 与曲线 有两个
不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式31．（2023·全国·高二专题练习）直线 与曲线 的交点个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式32．（2023·高二单元测试）若两条直线 ： ， ： 与圆 的四
个交点能构成矩形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式33．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线 ，要使直线
与曲线 有四个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式34．（2023·吉林白山·统考二模）若过点 且斜率为k的直线l与曲线 有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
变式35．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与曲线 有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式36．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于点
对称，当 时， ，若方程 的所有根的和为6，则实数k的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式37．（2023·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称
为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域 ．其
中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数 ，则当 时，
下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需
对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例19．（2023·高二单元测试）圆 关于直线 对称，则 ．
例20．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆 关于直线 对称，圆
交 于 、 两点，则
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．
变式38．（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D： 关于直线
对称，则圆C的方程为 ．
变式39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图像上有且仅有两个不同的点关
于直线 的对称点在 的图像上，则实数k的取值范围是 ．
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的标准方程是 ，圆
关于直线 对称，则圆 与圆 的位置关系为 ．
变式42．（2023·全国·高三专题练习）若圆 关于直线 和直线
都对称，则D＋E的值为 ．
变式43．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知直线 与曲线 交于两点，且这
两点关于直线 对称， .【解题方法总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，
则 的外接圆恒过的定点坐标为
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交
点，经过这三个交点的圆记为 ，则圆 经过定点的坐标为 （其坐标与 无关）
例24．（2023·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过
点 ．
变式44．（2023·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，
则此动圆必过定点____
变式45．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点
坐标为 ．
变式46．（2023·江西·高考真题）设有一组圆 ： ．下列四个命题其
中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
变式47．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒过定点，则其坐
标为 .
【解题方法总结】
特殊值法1．（2023•乙卷）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是
A． B．4 C． D．7
2．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2020•新课标Ⅲ）在平面内， ， 是两个定点， 是动点．若 ，则点 的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
