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第 39 讲 章末检测六
一、单选题
1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
即复数 的虚部是1
故选：D.
2、（2023·广东茂名·统考一模）在 中， ， ，若点M满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得： .
故选：A.
3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若复数 的共轭复数 满足 （其中 为虚数单
位），则 的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．25
【答案】D
【解析】：由题意 ，则 ，所以， ，
∴
故选：D.4、（2023·云南红河·统考一模）已知向量 ， ，且 ，则实数
（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】由题意得 ， ，
由 ．得 ，所以 .
故选：D．
5、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知 ， ，若向量 在向量 上的
投影向量为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设向量 与向量 的夹角为 ，则 .
故选：C.
6、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 中， ､ 分别在边 ､ 上，
， 与 相交于点 ，记 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】过点 作 平行于 ，交 于点 ，
因为 ，则 为 的中点，所以 且 ，
因为 ，所以 ，
由 可得： ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选： .
7、(2022·江苏南京市高淳高级中学高三10月月考)已知点 ， ， 均在半径为 的圆上，若 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】根据圆 半径为 ， 得到 ，以 为 轴建立直角坐标系，
则 ， ，设 ，则 ，当
时有最大值 为.
故选：B.
8、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，
一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线
称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花
曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别
向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中
的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【解析】在图③中，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
， ，
，即 ，，由分形知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
二、多选题
9、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）若复数z满足： ，则（ ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z在复平面上对应的点位于第一象限
【答案】ABD
【解析】设 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ， ，所以 ， ，所以 ，所以z的实部为
3，虚部为1，故A，B正确； ，故C不正确；z在复平面上对应的点 位于第一象限，故D
正确．
故选:ABD．
10、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）设 ， ， 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 不与 垂直 D． 不与 垂直
【答案】AB
【解析】 ， ， 是三个非零向量，
A选项， 两边平方得： ，即 ，
故 ，则 ，A正确；
B选项， ，因为 ，所以 ，
故 ，B正确；
C选项， ，故 ，则 与 垂直，C错误；
D选项， ，故 与 垂直，D错误.
故选：AB
11、（2023·安徽宿州·统考一模）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】若 ，根据平面向量共线性质可得 ，即 ，所以A正确；
若 ，可得 ，即 ，解得 ，所以B正确；
若 ， ，由投影向量定义可知向量 在 上的投影向量为 ，即C错误；
若 ，则 ，所以 ；但当 时， ，即此时向量 与 的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB.
12、（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定
理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 ，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的
是（ ）
A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值
D． 时， 的最大值为12
【答案】ACD
【解析】如图，设直线PO与圆O于E，F．则
，故A正确．取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故 的取值范围是 故B错误；
当 时，
，故C正确．
当 时，圆O半径 取AC中点为 ， 中点为 ，
则
，
最后等号成立是因为 ，
不等式等号成立当且仅当 ，故D正确．
故选:ACD.
三、填空题
13、（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知平面向量 ， ，若 与 垂直，则实数
__________．
【答案】2
【解析】因为 与 垂直，所以 ，即 ，解得 ．
故答案为：2
14、（2021·广东高三模拟）复数 的虚部是______．【答案】
【解析】 ，
∴ 的虚部为 ，
故答案为： ．
15、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知点D为△ABC的边BC的中点， ，
， ， ， 的夹角为 ，则 ______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：
16、（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形 中，已知 ， ， ， ，
动点E和F分别在线段 和 上，且 ， ，当 __________时，则 有最
小值为__________．
【答案】
【解析】因为在等腰梯形 中，已知 ， ， ， ，可知 ，
所以 ， ，， ，
则
.
当且仅当 ，即 时取等号，即最小值 ．
故答案为： ； .
四、解答题
17、(2022·江苏泰州市泰兴期中)(本题满分12分)已知向量．
(1)若，求的坐标；
(2)若(5－2)⊥(＋)，求与的夹角．
【解析】
(1)设＝(x，y)，由且||＝，得，……………2分
∴，或，∴＝(4，6)，或＝(－4，－6)．………………5分
(2)∵，∴(5－2)·(＋)＝0，
∴52＋3·－22＝0，…………………………………………………7分
∴·＝13，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝，
又θ∈[0，π|，∴，∴与的夹角为．……………………………12分
18、（2021·湖北武汉市期中）计算下列各题：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
【解析】(1)
.
(2)因为 ， ，
所以 .
(3)
.
(4)
.
19、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)已知 ，函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调减区间；
（3）求 在区间 上的最大值．【解析】（1）由 ＝2sinx（cosx﹣sinx）+1＝2sinxcosx﹣2sin²x+1＝sin2x+cos2x＝ sin（2x+
），T＝ ＝π，所以f(x)的最小正周期为π．
（2）要求 的单调减区间，只需2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，所以 的单调递减区间为 ， ．
（3）因为x∈[﹣ ， ]，所以2x∈[﹣ ， ]，所以2x+ ∈[0，π]，
当2x+ ＝ ，即x＝ 时，f(x)在区间[﹣ ， ]上的最大值为 ．
20、(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)(12分)已知点D，P在锐角△ABC所在的平面内，且满足，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)已知，其中S为△ABC的面积．
①求证：tanB＋tanC＝tanBtanC；
②求tanBtanC的最小值，并求此时tanA的值．
【解析】
（1）如图，因为 ， ．所以 ，
所以 ，所以 ， ，所以 ，
，又 ，所以 ．（2）①由（1） ， ，
，由正弦定理得 ，
所以 ，即
又 ，所以 ．
② ，所以 ，
解得 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为4．
此时 ．
21、（2020·福建省福州第一中学高一期末）在等腰梯形 中，已知 ， ， ，
，动点 和 分别在线段 和 上（含端点），且 ， 且（ 、
为常数），设 ， .
（Ⅰ）试用 、 表示 和 ；（Ⅱ）若 ，求 的最小值.
【解析】（Ⅰ）如下图所示，过点 作 ，交 于点 ，
由于 为等腰梯形，则 ，且 ，
，即 ，又 ，所以，四边形 为平行四边形，
则 ，所以， 为等边三角形，且 ，
， ，
，
；
（Ⅱ） ， ， ，
由题意可知， ，由 得出 ，
所以， ，
，
令 ，则函数 在区间 上单调递减，
所以， ，因此， 的最小值为 .
22、(2022·江苏无锡期中)(12分)在△ABC中，已知，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O．设．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
【解析】
(1)设，
因为＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋2＝＋，
所以＝λ(＋)，
因为A，O，D三点共线，
所以λ(＋)＝1，解得λ＝，
所以＝，
所以＝4．
(2)由题意知，·＝||||cos∠BAC＝2××＝5，
设＝μ＝(＋)＝(＋)，
因为C，O，E三点共线，所以(＋1)＝1，解得μ＝，
所以＝(＋)＝(＋)，
所以·＝(＋)·(＋x)＝[x2＋(x－1)·－2]
＝[4x＋5(x－1)－11]
＝＝
＝9(x＋1)＋－34≥2－34＝－4，
当且仅当9(x＋1)＝，即x＝时，等号成立，
所以·的最小值为－4．
