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第 71 讲 圆锥曲线中的最值问题
题型一 与线段、周长有关的最值问题
例1、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值
为________．
【答案】
【分析】设点 ，圆心 ， 的最小值即为 的最小值减去圆的半径，求出 的最小值
即可得解．
【详解】依题可设 ，圆心 ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为 的最小值减去半径．
因为 ， ，
设 ，
，由于 恒成立，
所以函数 在 上递减，在 上递增，即 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
变式1、（2023·山西·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一动点，
则 周长的最小值为______.
【答案】
【分析】过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知 ，准线方程为 .如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，
所以 周长 ，当且仅当 为 与抛物线的
交点 时等号成立.
故答案为： .
变式2、（2023·广东广州·统考一模）（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵
形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 中，
， ，动点P满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的横坐标的取值范围是
B． 的取值范围是
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围是
【答案】BC
【解析】设点 ，依题意， ，
对于A， ，当且仅当 时取等号，
解不等式 得： ，即点 的横坐标的取值范围是 ，A错误；对于B， ，则 ，
显然 ，因此 ，B正确；
对于C， 的面积 ，当且仅当 时取等号，
当 时，点P在以线段MN为直径的圆 上，由 解得
，
所以 面积的最大值为 ，C正确；
对于D，因为点 在动点P的轨迹上，当点P为此点时， ，D错误.
故选：BC
变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为 ，且经过点
．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的
切线，两切线交于点M，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2)2
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出 ，进而讨论最值.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，即椭圆方程为 ；
（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：
，
由 ，得 ．
， ， .
不妨设 在x轴上方，则 在x轴下方．
椭圆在x轴上方对应方程为 ， ，
则A处切线斜率为 ，得切线方程为 ，整理得 .
同理可得B处的切线方程为 ．
由 得 ，
代入①得 ，所以 ．因为 ，所以
设 ，则 ，则 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值是2．
另解：当直线l的斜率存在时，设l： ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
椭圆在x轴上方的部分方程为 ， ，
则过 的切线方程为 ，
即 ，
同理可得过 的切线方程为 .
由 得
设 ，则 ，所以直线l的方程为 ，所以 .
，
令 ，则 ，所以 ，
当 时，即 时， 取得最大值，为2
变式4、（2022·全国·江西师大附中模拟预测）已知抛物线C： （p＞0），抛物线C的焦点为F，
点P在抛物线上，且 的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且满足
，求｜AB｜的取值范围．
【解析】 (1)因为 ，则 ，所以 ；
(2)由（1）得 ，设 ，则
则 ，由 得 ，所以 ，
设 直线方程为
联立方程组 得 ，所以 则
故 过焦点
所以 ．题型二 与面积有关的最值问题
例2、（2022·广东广州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为4；
(1)求C的方程；
(2)过点 作两条相互垂直的直线上 和 ，直线 与C相交于两个不同点A，B，在线段 上取点
Q，满足 ，直线 交y轴于点R，求 面积的最小值．
【解析】 (1)由题可得 ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为 ；
(2)由题可知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，或 ，
∴ ，
由 及 四点共线，知 ，
∴ ，则 ，
∵ 和 相互垂直，则 的方程为 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
∴ 面积为 ，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 面积的最小值为1.
变式1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆 经过点 ，且
椭圆的长轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相
交于点 ，求 的面积 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出 的值，将点 的坐标代入椭圆 的方程，可得出 ，即可得出椭圆
的方程；
（2）分析可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直
线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，写出直线 的方程，可求得点 的坐标，利用三角形的
面积公式以及对勾函数的单调性可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆 的长轴长为 ，则 ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：若 与 轴重合，则 不存在，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
若 ，则点 与点 重合，不合乎题意，所以， ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
易知点 ， ，
直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
，
所以， ，
令 ，则函数 在 上为增函数，
所以， ，所以， .故 的面积 的取值范围是 .
变式2、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线 在 轴上方，它上面的每一点到点 的距
离减去到 轴的距离的差都是2.若点 分别在该曲线 上，且点 在 轴右侧，点 在 轴左侧，
的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 且满足 ，直线 交 轴于点 .记
的面积分别为
(1)求曲线 方程；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）曲线上每一点到点 的距离减去到 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点
的距离与到直线 的距离相等，
所以曲线 为抛物线，
；
（2）设点 ，
为 的重心
，
由相似三角形可知 且 ，
可得 ，
令
，因为 ，所以 ，故 ，
，
.
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆 经过点M ，离心率为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点 且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与
直线 的交点分别为P，Q，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程 ，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线 ， 的方程，进而求得
， ，求得 ，结合韦达定理即可求解.
(1)由题意知， ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
(2)
设过点 的直线方程为 ，
代入椭圆 的方程，整理得 ，
因为 ，
设 ， ，则 ， ①，
由（1）得 ，则直线 的方程为 ，
令 ，得 ，同理可得
将 ， 代入，
把①式代入，整理得 ，
由 ，知
所以 面积的最小值为
题型三 与向量有关的最值问题例3、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右
焦点分别 、 焦距为2，且与双曲线 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 交椭圆C于另一点
Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 ，求过P、Q、 三点的圆的方程；
(3)若 ，且 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）由焦距为2得到 ，再由双曲线的顶点求出 ，得到 ，椭圆方程；
（2）求出 的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；
（3）设 ， ，由向量共线得到 ，将 两点坐标代入椭圆方程中，求出
，从而表达出 ，结合基本不等式求出最值.
【详解】（1）双曲线 的顶点坐标为 ，故 ，
由题意得 ，故 ，
故椭圆的方程为 ．
（2）因为 ， ，所以 的方程为 ，
由 ，解得点Q的坐标为 ．
设过P，Q， 三点的圆为 ，则 ，解得 ， ， ，
所以圆的方程为 ；
（3）设 ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即 时，取等号． 最大值为
变式、（2022·安徽宣城·二模）已知椭圆 的左顶点是A，右焦点是 ，过点F
且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积
为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l为圆 的切线，且l与C相交于S，T两点，求 的取值范围.【解析】 (1)设椭圆C的右顶点是A'，连接PA'，
因为B，O分别是PA，AA'的中点，所以 ，
因为直线AP与BO的斜率之积为 ，所以 .
设 ，则 ，
因为 ， ，所以
，
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 .
(2)
设 ，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，联立
整理得 ，
则 ，则 ，
，
则
.又直线l为圆 的切线，
则 ，即 ，
则 ，
又因为
于是 ；
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为 ，则 ， ，
综上，
