文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线与圆的位置关系.........................................................................................................4
知识点2：圆与圆的位置关系.............................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：直线与圆的位置关系的判断................................................................................................6
题型二：弦长与面积问题....................................................................................................................6
题型三：切线问题、切线长问题........................................................................................................7
题型四：切点弦问题............................................................................................................................8
题型五：圆上的点到直线距离个数问题............................................................................................9
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题......................................................................10
题型七：圆与圆的位置关系..............................................................................................................12
题型八：两圆的公共弦问题..............................................................................................................13
题型九：两圆的公切线问题..............................................................................................................13
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................14
05课本典例·高考素材........................................................................................................................15
06易错分析·答题模板........................................................................................................................16
易错点：求与圆的切线有关的问题..................................................................................................16
答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数..................................................................17考点要求 考题统计 考情分析
高考对直线与圆、圆与圆的位置关系
2024年甲卷（文）第12题，5分
的考查比较稳定，考查内容、频率、题型
（1）直线与圆的位置
2023年乙卷（理）第12题，5分 难度均变化不大，但命题形式上比较灵
关系
2023年I卷第6题，5分 活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，
（2）圆与圆的位置关
2023年II卷第15题，5分 除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断
系
2022年I卷第14题，5分 外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长
及相切所得切线的问题．
复习目标：
（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1：直线与圆的位置关系
1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【诊断自测】已知圆C： ，直线 ： ，则直线 与圆C的位置关系为
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
知识点2：圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【诊断自测】（2024·广东广州·二模）若直线 与圆 相切，则圆 与圆
（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点
解题方法总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
题型一：直线与圆的位置关系的判断
【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线 ，圆 ，则该
动直线与圆的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【典例1-2】已知集合 ， ，则 的子集个数为
（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
【方法技巧】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1-1】已知圆 经过三点 ，则直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交且直线 过圆心 D．相交且直线 不过圆心
【变式1-2】直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式1-3】集合 ，集合 ，若 中有8个元素，则
值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-4】已知 ，则圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
题型二：弦长与面积问题
【典例2-1】（2024·江西上饶·模拟预测）直线 被圆 截得最大弦长为
．
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆
交于A，B两点，若钝角 的面积为 ，则实数a的值是 ．
【方法技巧】
弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这也是求弦长最常
用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数关系得弦长： ．
【变式2-1】（2024·高三·北京·开学考试）直线 被圆 所截得的弦长为 .
【变式2-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线 与圆C： 相交于
A，B两点，且 ，则实数 .
【变式2-3】在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，过点 的动直线 与圆 交于点
， ，若 的面积最大值为 ，则 的最大值为 .
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与圆
相交于M，N两点，若 ，则直线l的斜率为 .
【变式2-5】直线 与圆 ： 交于 ， 两点，若 ，则 .
【变式2-6】已知直线 与圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，则 ，
.
【变式2-7】（2024·江苏南京·三模）已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 ， 两点，且
，则直线 的方程为 .
题型三：切线问题、切线长问题
【典例3-1】圆 在点 处的切线方程为 .
【典例3-2】已知圆C： ，过直线 上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当
ABC的面积最大时，点P的坐标为 ．
△
【方法技巧】
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即 ．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式： ，因为
与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有
一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过圆 上一点 的切线方程是 ．
【变式3-1】（2024·河北邢台·一模）已知 ，过点 恰好只有一条直线与圆E：
相切，则 ，该直线的方程为 ．
【变式3-2】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系 中，一条光线从点 时出，经直线
反射后，与圆 相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
【变式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲线 与曲线 在第一象限交于点A，
记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为 ，则 ．
【变式3-4】关于曲线 有以下五个结论：
①当 时，曲线C表示圆心为 ，半径为 的圆；
②当 ， 时，过点 向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为 ；
③当 ， 时，过点 向曲线C作切线，则切线方程为 ；
④当 时，曲线C表示圆心在直线 上的圆系，且这些圆的公切线方程为 或 ；
⑤当 ， 时，直线 与曲线C表示的圆相离.
以上正确结论的序号为 .
【变式3-5】圆 ，直线 ，若直线上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点是
，使得 ，则实数 的取值范围是 ．
题型四：切点弦问题
【典例4-1】已知点P是直线 上的动点，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为
，则点 到直线 的距离的最大值为 .
【典例4-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·期中）过原点 作圆 的两条切线，设切
点分别为 ，则直线 的方程为 .
【方法技巧】
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换为 ， 替
换为 即可，因此可得到上面的结论．
【变式4-1】（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆 ，过直线
上任意一点 ，作圆的两条切线，切点分别为 两点，则 的最小值为 .
【变式4-2】（2024·重庆·统考模拟预测）若圆 关于直线 对称，动点 在
直线 上，过点 引圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则直线 恒过定点 ，点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知圆 ， 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 和 ，当四边形 的面积最小时，则直线 的方程为 .
【变式4-4】已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C的两条切
线，切点分别为A和B， 的中点为Q，若点T的坐标为 ，则 的最小值为 .
【变式4-5】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线 上的动点，过P作圆 的两条
切线，切点分别为A，B，若点M为圆 上的动点，则点M到直线AB的距离的最大
值为 ．
【变式4-6】（2024·四川·模拟预测）已知点 在抛物线 上运动，过点 的两直线 与圆
相切，切点分别为 ，当 取最小值时，直线 的方程为 .
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【典例5-1】（2024·广东·一模）已知直线 与直线
相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】若圆 上仅有4个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
临界法【变式5-1】已知圆 上到直线 的距离等于1的点恰有3个，则实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
【变式5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）圆C： 上恰好存在2个点，它到直线
的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】设点P是函数 图象上任意一点，点Q的坐标 ，当 取得
最小值时圆C： 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数r的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·山西·二模）已知 是坐标原点，若圆 上有且仅有2个点到
直线 的距离为2，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知 为圆 上两点，且 ，点 在直线
上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的
最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式6-1】直线 与直线 交于 点，当 变化时，点 到直线 的
距离的最大值是 ．
【变式6-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）直线 ，与圆 相交于 、 两点，点 为直线 上一动点，则 的最小值是 .
【变式6-3】已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为 ．
【变式6-4】已知A(x ,y )、 满足： ， ， ，则代数式
1 1
的取值范围是 .
【变式6-5】若 ，则 的最小值为 .
表示点 到点 的距离，
表示点 到直线 的距离，设点 在直线 上的射影点为 ，
【变式6-6】（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线 相切，
函数 过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积
的最大值为 .
，
【变式6-7】（2024·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． －1 B． C．2 D．1
题型七：圆与圆的位置关系
【典例7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则
这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【典例7-2】（2024·山东·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 的距离是，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【方法技巧】
已知两圆半径分别为 ，两圆的圆心距为 ，则：
（1）两圆外离 ；
（2）两圆外切 ；
（3）两圆相交 ；
（4）两圆内切 ；
（5）两圆内含 ；
【变式7-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 ， ，若圆 上存在
点P满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C： 和两点 ， ，
若圆C上存在点P，使得 ，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江西鹰潭·三模）已知 ，直线 与 的交点 在
圆 ： 上，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2024·北京·三模）已知圆 和两点 ，若圆 上存
在点 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆 上存在唯一点 ，使得 ，
其中 ，则正数 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：两圆的公共弦问题
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆 ，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于A，B两点，且 ，则圆 和圆 的公共弦所在的直线方程为 .
【典例8-2】（2024·四川·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为
.
【方法技巧】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式8-1】圆 与圆 的公共弦所在直线被圆 ：
所截得的弦长为 ．
【变式8-2】已知圆 与圆 相交于 两点，则
.
【变式8-3】已知以1为半径的圆 的圆心 在 轴上，以2为半径的圆 的圆心 在 轴上，且两圆公共
弦所在直线为 ，则这两个圆的公共弦长为 .
题型九：两圆的公切线问题
【典例9-1】（2024·高三·山东·开学考试）圆 和圆 的
公切线方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【典例9-2】圆 和圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【方法技巧】
待定系数法
【变式9-1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆 和圆 ，则两圆公切线
的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式9-2】若直线 与圆 ，圆 都相切，切点分别为 、 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·山东聊城·二模）若圆 与圆 恰有一条公切线，则
下列直线一定不经过点 的是（ ）A． B．
C． D．
【变式9-4】（2024·高三·全国·单元测试）若直线 是 与
的公切线，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-5】已知圆 ，圆 ，下列直线中不能与圆 ， 同时相
切的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆
交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．4 C． D．7
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．1．已知 ， ， 三点，点P在圆 上运动，求 的最大值
和最小值．
2．已知点 和以点Q为圆心的圆 ．
（1）画出以 为直径，点 为圆心的圆，再求出圆 的方程；
（2）设圆Q与圆 相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
3．如图，圆 内有一点 ，AB为过点 且倾斜角为 的弦．
（1）当 时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点 平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
4．已知圆 ，直线 ，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？5．求圆 与圆 的公共弦的长．
易错点：求与圆的切线有关的问题
易错分析： 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上
（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在
的情况．
【易错题1】写出一个过点 且与圆 相切的直线方程 ．
【易错题2】已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，若直线 与两坐标轴交点分
别为 、 ，则 ．
答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数
1、模板解决思路
对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆
心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。
2、模板解决步骤
第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式；
第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值；
第三步：验证解的正确性。
【典型例题1】已知直线 与曲线 有公共点，则实数k的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【典型例题2】已知点 ，圆 ，若圆 上存在点 使得 ，则实数 的最小
值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
