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第 81 讲 章末检测十
一、单选题
1、（2023·云南·统考一模）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每
组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“甲、乙在同一组”为事件 ，
教师随机分成三组，每组至少一人的分法为 ，
而甲、乙在同一组的分法有 ，故 ，
故选：A.
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
【答案】B
【解析】：二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，
所以常数项为 .
故选：B.
3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴正态曲线的对称轴是 ，
∵ ，∴ .
故选：D.
5、（2023·河北唐山·统考三模）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10
件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件
次品是从第一箱中取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件 表示从第一箱中取一个零件，事件 表示取出的零件是次品，
则 ，
故选：D
6 、 (2022· 江 苏 南 京 市 二 十 九 中 学 高 三 10 月 月 考 ) 若 多 项 式
，则 （ ）
A. 56 B. C. D. 120
【答案】D【解析】： ，则 由 的展开式的系数确定，因为
的通项为 ，所以
故选：D
7、（2023·山西·统考一模）已知随机变量 的分布列如下：
0 1 2
其中 ，2，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】：由表中数据可知 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， .
故选：B.
8、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记
有 共六个数字，记事件 “骰子向上的点数是 和 ”，事件 “骰子向上的点数是 和 ”，事
件 “骰子向上的点数含有 ”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 是相互独立事件 B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．【答案】C
【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有 种；
满足事件 的有 ， ，共 种；满足事件 的有 ， ，共 种；满足事件 的有 ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种；
，C正确； ，D错误；
， 不是相互独立事件，A错误；
事件 和事件 可能同时发生， 不是互斥事件，B错误.
故选：C.
二、多选题
9、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知随机变量 服从正态分布 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． ， B．若 ，则
C． D．随机变量 满足 ，则
【答案】ABC
【解析】因为 ,所以 ， ，A正确；
因为 ，所以 ，B正确；
因为 ，所以 ，C正确；
因为 ，所以 ，
所以 ,D错误，
故选：ABC.
10、(2022·江苏海安中学期初)袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有
放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
【答案】BC
【解析】由题意可知，甲与乙的发生与否不影响，可以同时发生，即甲与乙相互独立但不对立，故选项C
正确，选项A、D错误；而乙与丙不可能同时发生，即乙与丙互斥，故选项B正确；综上，答案选BC
11、（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋
中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，则
（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
【答案】AC
【解析】 正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”， 不互斥， 错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
12、（2022·广东揭阳·高三期末）已知二项式 的展开式中各项的
系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
【答案】BCD
【解析】令 代入二项式可得各项的系数和为 ，即可得 正确；对于 ，设展开式的通项为 ，
当 为常数项时，则有 ，则可得 .
代入二项式，可得展开式的常数项为 ，故 错误；
对于 ，因为 ，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 正确；
对于 ，该展开式的通项为 ，可得展开式中 的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
三、填空题
13、（2022·山东德州·高三期末）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词
表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊
猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单
车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个
“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）.
【答案】164
【解析】把12个的关键词分为两组：高铁、移动支付、网购、共享单车一组，余下的为一组，
从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的情况有
种.
故答案为： .
14、（2023·云南玉溪·统考一模）已知随机变量 ，若 ，则p＝_____．
【答案】
【解析】已知X～B（2，p），
则 ，
∴ ，解得 或 （因为0＜p＜1，故舍去）．
故答案为： ．15、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这
个展开式中， 项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【解析】在 中，令 得所有项的系数之和为 ，依题意， ，解得 ，
因此 的展开式的通项为 ，
令 得： ，
所以 项的系数是135.
故答案为：135.
16、（2023·浙江温州·统考三模）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 “第 次命中目标”
， ， ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意， ， ，
则 ；
， ，
则 ；
故答案为： .
四、解答题
17、（2022栟茶中学开学初考试）2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，
在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该
医院现有3名护理专家 ， ， ，5名外科专家 ， ， ， ， ，2名心理治疗专家 ， .
（1）求 人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选的概率.
【解析】由题意知：人民医院从 名专家中选出 人参加救助工作共有 种情况；
（1）设选出的 人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件 ，
则满足事件 的情况共有 种；
所以 人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率为：
；
（2）设选出的 人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选为
事件 ，
则满足事件 的情况为：
①当选择 时，
当有 位外科专家时，共有 种情况；
当有 位外科专家时，共有 种情况；
当有 位外科专家时，共有 种情况；
②当不选择 时，
当有 位外科专家时，共有 种情况；
当有 位外科专家时，共有 种情况；
当有 位外科专家时，共有 种情况；
综上：满足事件 的情况共有 种情况；
所以至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选的概率：.
18、（2022江苏高三期中）在二项式 的展开式中，________．给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项．
（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）
【解析】解：选择①： ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 （舍去）
选择②： ，即 ，解得 ．
选择③： ，则有 ，所以 ．
因为展开式中第7项为常数项，即 ，所以 ．
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，
，
．
（2）展开式通项为： ，令 ，∴ ，
∴展开式中常数项为第7项，常数项为 ．
19、（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子
里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条
件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，
求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【解析】（1）依题意，记事件 表示第 次从第一个盒子里取出红球，记事件 表示两次取球中有红球，
则 ，
.
（2）记事件 表示从第一个盒子里取出红球，记事件 表示从第一个盒子里取出白球，记事件 表示从
第二个盒子里取出红球，
则
20、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子
卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10
元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片
是其他情况，则不获得任何奖励．
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参
加该项抽奖活动？请说明理由．【解析】（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，
则P（A）＝ ＝ ，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为 ；
（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝10）＝ ＝ ，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
所以E（X）＝10× +5× +0× ＝ ；
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，
则Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝ ﹣2＝ ＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动
21、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，
学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项
目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设
在项目A中甲班每一局获胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则 ，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，则 ，
X的可能取值为0，1，2，
则 ，
，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为 .
22、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党
史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸
箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或
乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，
两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支
部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲
箱中取出的是2个选择题的概率.
【解析】（1）设 表示“第 次从乙箱中取到填空题”， ，2，
， ，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则 ､ ､ 彼此互斥，且 ，
，
，
，
， ， ，
所求概率即是 发生的条件下 发生的概率： .
