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第 49 讲 平面的性质与点线面的位置关系
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐
角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么
这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
3、知识必备
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
1、【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD−A B C D ，则（ ）
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90° B．直线BC 与C A 所成的角为90°
1 1 1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45° D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1 1 1 1
2、(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 所成的角为( )
1 1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
3、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(
)
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC3、如图所示，ABCD－ABC D 是长方体，O是BD 的中点，直线AC交平面ABD 于点M，则下列结论
1 1 1 1 1 1 1 1 1
正确是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A 不共面
1
C．A，M，C，O不共面
D．B，B，O，M共面
1
4、 在正方体ABCD－ABC D 中，E 为棱CC 的中点，则异面直线AE与CD所成角
1 1 1 1 1
的正切值为( )
A. B. C. D.
考向一 平面的基本性质及应用
例1、以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
变式1、平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面．
变式2、如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且
CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) 直线FH，EG，AC共点．
变式2、 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若
EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
考向二 判断空间直线的位置关系
例2、若直线l 和l 是异面直线，l 在平面α内，l 在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中
1 2 1 2
正确的是________．(填序号)
①l与l，l 都不相交；
1 2
②l与l，l 都相交；
1 2
③l至多与l，l 中的一条相交；
1 2
④l至少与l，l 中的一条相交．
1 2
变式1、如图，在正方体 ABCD-ABC D 中，M，N分别是BC ，CD 的中点，则下列判断中错误的是
1 1 1 1 1 1
________．(填序号)
①MN与CC 垂直；
1
②MN与AC垂直；
③MN与BD平行；
④MN与AB 平行．
1 1
变式2、 (1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下
列说法正确的是( )
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
(2)如图，在正方体 ABCD－ABC D 中，点 E，F分别在 AD，AC上，且 AE＝
1 1 1 1 1 1
2ED，CF＝2FA，则EF与BD 的位置关系是( )
1
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行方法总结：1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，
导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观
感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考向三 异面直线所成的角
例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDABC D 中，AA ＝2AB＝2，则异面直线
1 1 1 1 1
AB与AD 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B.
C. D.
变式、 (1)在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为(
1 1 1 1 1 1 1
)
A. B. C. D.
(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－ABC 中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D
1 1 1
是BC的中点，若AA＝，则异面直线AC与AD所成角的大小为( )
1 1
A.30° B.45° C.60° D.90°
方法总结：方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝
角，则它的补角才是要求的角
1、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是( )
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
2、(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
3、已知在直三棱柱ABC-ABC 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC ＝1，则异面直线AB 与BC 所成角的
1 1 1 1 1 1余弦值为( )
A. B. C. D.
4、如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．
