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17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数
一．选择题
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三
角形是直角三角形．
【解答】解：A、∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项
不符合题意．
B、若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不
符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选：C．
2．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．AB2＝BC2+AC2
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得
∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、不妨设AB＝3x，BC＝4x，AC＝5x，此时AB2+BC2＝25x2＝AC2，故△ABC是直角三
角形；
C、∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
D、AB2＝BC2+AC2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故选：A．
3．已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，三个角分别为∠A，∠B，∠C，则不能证明
△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．a2+b2＝c2
C．∠C＝90° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】本题为选非题，根据三角形三边的关系以及有个角等于90°即可得到答案．
【解答】解：A、由∠A+∠B＝90°，得到∠C＝90°，可以推出△ABC为直角三角形，故
不符合题意；
B、由a2+b2＝c2，满足勾股定理，可以推出△ABC为直角三角形，故不符合题意；C、由∠C＝90°可以推出△ABC为直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，不能推出△ABC
为直角三角形，故符合题意．
故选：D．
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为3：4：5
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为7：24：25
D．三内角之比为1：2：3
【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和为180°进行判断能否构成直角三角形即可．
【解答】解：A、3+4≠5，不能构成直角三角形，故此选项合题意；
B、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
5．给出下列命题
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的两边长为3和4，那么另一边长的平方必是25；
③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，那么a2：b2：c2＝
2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的
命题的序号，即可得到答案．
【解答】解：①如果a、b、c为一组勾股数，则a2，b2，c2符合勾股定理，则（4a）2＝
16a2，（4b）2＝16b2，（4c）2＝16c2也符合勾股定理，即4a、4b、4c仍是一组勾股数，
①正确，
②如果直角三角形的三边两边长为3和4，则另一边的长可能为： ＝ ，且
符合三角形的两边之和大于第三边，即②错误，
③122＝144，252＝625，212＝441，144+441≠625，即③错误，
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，b＝c，a2＝b2+c2＝
2b2，即a2：b2：c2＝2：1：1，即④正确，
故选：C．
6．下列命题：①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
【解答】解：①正确，∵a2+b2＝c2，∴（4a）2+（4b）2＝（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b＝c，c2+b2＝2b2＝a2，∴a2：b2：c2＝2：1：1，
故选：C．
7．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝ ： ： ；④∠A：
∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝ ： ： ，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝ ×180°＝（ ）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
8．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B． ， ， C．1， ， D．2，3，4
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方
和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、122+52＝132，能构成直角三角形，故符合题意；
B、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形且都不是整数，故不符合题意；
C、12+（ ）2＝（ ）2，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
9．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接AB，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出AB、AM、BM的长度，
根据勾股定理的逆定理得出△ABM是直角三角形，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，
∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
二．填空题
10．如果△ABC的三边分别为a、b、c，满足a2+b2＝c2，则这个三角形是 三角形，
其中斜边为 ．
【分析】勾股定理逆定理，三角形中两边的平方和等于第三边的平方，三角形即为直角
三角形，
【解答】解：如果△ABC的三边分别为a、b、c，满足a2+b2＝c2，则这个三角形是 直
角三角形，其中斜边为c．
故答案为：直角，c．
11．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若三角形的三边满足 c：b：a＝
7：24：25，则这个三角形中最大的角的度数是 ．
【分析】由条件c：b：a＝7：24：25可设c＝7x，b＝24x，a＝25x，则满足c2+b2＝a2，
可得△ABC为直角三角形，则最大角为90°．
【解答】解：
∵c：b：a＝7：24：25，
∴设c＝7x，b＝24x，a＝25x，
∵（7x）2+（24x）2＝49x2+576x2＝625x2＝（25x）2，
∴c2+b2＝a2，∴△ABC为直角三角形，
∴最大角为90°，
故答案为：90°．
12．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝ 时，∠C＝90°．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出当AC2+BC2＝AB2时，∠C＝90°，代入求出k即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，
∴（k﹣1）2+32＝k2，
解得：k＝5，
故答案为：5．
13．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝ 度．
【分析】根据勾股定理分别求出AD2、DE2、AE2，根据勾股定理的逆定理得到△ADE为
等腰直角三角形，得到∠DAE＝45°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，AD2＝22+12＝5，DE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
则AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠GAD+∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45．
14．有两根木棒，分别长6cm、5cm，要再在7cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做
成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 ．
【分析】分2种情况：①6cm是直角边；②6cm是斜边；根据勾股定理求出第三根木
棒的长即可求解．
【解答】解：①6cm是直角边，
第三根木棒要取的长度是 ＝ cm（舍去）；②6cm是斜边，
第三根木棒要取的长度是 ＝ cm．
故答案为： cm．
15．已知一个三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形最长边上的高是
．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积
公式计算出斜边上的高即可．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为hcm，
×5×12＝ ×13×h，
解得：h＝ ．
故答案为： ．
16．观察下列一类勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； …请你根据规律写
出第4组勾股数为 ．
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写
出第4组勾股数．
【解答】解：通过观察得：
第1组勾股数分别为：2×1+1，2×12+2×1，2×12+2×1+1；
第2组勾股数分别为：2×2+1，2×22+2×2，2×22+2×2+1；
第3组勾股数分别为：2×3+1，2×32+2×3，2×32+2×3+1；
所以第4组勾股数为：2×4＝1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41．
故答案为：9，40，41．
17．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以
BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理可求△ABC是直角三角形，再根据面积的和差关系可求
阴影部分的面积．
【解答】解：∵52+122＝169＝132，∴△ABC是直角三角形，
S阴影 ＝ （ ）2+ （ ）2﹣[ （ ）2﹣ ×5×12]＝30．
故答案为：30．
π π π
18．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交
点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根
据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
三．解答题
19．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数可得：（3m+2）
2+（4m+8）2＝（5m+8）2，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的
形状，并说明理由．
【分析】先根据勾股定理求出AC2，BC2以及AB2的值，再根据勾股定理的逆定理得出结论即可．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：
由题可得，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．
21．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，已知AB＝8，BC
＝6，CD＝2 ，AD＝2 ．
（1）请判断△ACD的形状并说明理由．
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC＝10，再根据勾股定理的逆定理即可判定△ACD
的形状；
（2）根据△ABC的面积不变即可求出线段DE的长．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：
在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝ ＝ ＝10，
∵CD＝2 ，AD＝2 ，
∴CD2+AD2＝（2 ）2+（2 ）2＝60+40＝100＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）由（1）知，△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∵S△ABC ＝ AC•DE＝ AD•DC，
∴DE＝ ＝ ＝2 ．
22．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四
边形ABCD的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三
角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【解答】解：连接AC，
在△ABC中，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
S△ABC ＝ AB•BC＝ ×3×4＝6，
在△ACD中，
∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD ＝ AC•CD＝ ×5×12＝30．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC +S△ACD ＝6+30＝36．
23．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，则AE＝4，由SAS证明△ABD≌△ECD，得出
BE＝AC＝3，利用勾股定理逆定理证得△ABE是直角三角形，得出△ABC的面积＝
△ABE的面积，即可得出结果．【解答】解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，如图所示：
则AE＝4，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△ACD中，
，
∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝ ×3×4＝6．
