17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数(精讲)-重要笔记八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)（原卷版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_07专项讲练

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数 勾股定理的逆定理 a，b，c a2 b2 c2 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否 为直角三角形. 题型1：勾股定理的逆定理 1.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10 【变式1-1】以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（ ） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝ ，b＝ ，c＝ D．a＝5，b＝6，c＝7 【变式1-2】已知a、b、c为△ABC的三边，旦满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的 形状为 三角形． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外 一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 如何判定一个三角形是否是直角三角形 c （1） 首先确定最大边（如 ）. c2 a2 b2 c2 a2 b2 （2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的 c2 a2 b2 直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形. a2 b2 c2 a2 b2 c2 注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三 c 角形，其中 为三角形的最大边. 题型2：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数）2.现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一 个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的 面积分别是（ ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D． 3，4，5 【变式2-1】如图，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．问△ABC是直 角三角形吗？并说明理由． 【变式2-2】有一块薄铁片ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示（单位：cm），如果沿 着对角线AC剪开，那么得到的两块三角形铁皮的形状都是“直角三角形”吗？请说明 理由． 【变式2-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整 数． 互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命 题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 题型3：互逆命题 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【变式3-1】下列命题中，正确的个数是（ ） （1）三边长分别为 、 、 的三角形是直角三角形； （2）三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形； （3）有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形； （4）有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】下列命题正确的是（ ） A．若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5，第三边上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB：AC：BC＝1：2：3 C．三边长为1：1： 的三角形是等腰直角三角形 D．因为（ ）2+（ ）2≠（ ）2，所以 为边的三角形不是直角三 角形 勾股数 x2  y2  z2 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯 x、y、z 数），显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必 为直角三角形. n2 1，2n，n2 1 n1,n 注意：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 2n2 2n,2n1,2n2 2n1 n （2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长；m2 n2,m2 n2,2mn mn,m、n （3） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾 股数； 如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数. 题型4：勾股数 4.下列各组数中，为勾股数的是（ ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12 【变式4-1】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或 【变式4-2】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， 40 ， 41 ； 并 寻 找 规 律 ， 请 你 写 出 有 以 上 规 律 的 第 ⑤ 组 勾 股 数 ： ，第n组勾股数是 ． 【变式 4-3】满足 a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数 a，n满足 a2+n2＝ （n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组 “完美勾股数”，当n＜150时， 共有 组这样的“完美勾股数”． 题型5：勾股定理逆定理的应用 5如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角 形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网 格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组 成 个直角三角形． 【变式5-2】若一个三角形的三边长分别为25cm、15cm、20cm，则这个三角形最长边上的 高为 cm． 【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）试说明AD⊥BC； （2）试求点D到直线AC的距离． 【变式5-4】如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中 阴影部分的面积． 【变式5-5】如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B 以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B 出发． （1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？ （2）填空：出发 秒后，△BEF为直角三角形？