文档内容
第 19 讲 弧长和扇形面积（4 个知识点+4 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点2．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影π面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点3．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ 侧 ＝ πr2+ rl
π π
（5）圆锥的体积＝ ×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
知识点4．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
题型强化
题型一．弧长的计算
1．（2024•兖州区一模）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的
长为半径画弧，交 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．2．（2024•成都）如图，在扇形 中， ， ，则 的长为
3．（2023秋•张掖期末）如图， 的直径 ，半径 ， 为 上一动点（不包括 ，
两点）， ， ，垂足分别为 ， ．
（1）求 的长．
（2）若点 为 的中点，
①求劣弧 的长度；
②若点 为直径 上一动点，直接写出 的最小值．
题型二．扇形面积的计算
4．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在 △ 中， ， ， ．以 为圆心为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是
A． B． C． D．
5．（2024秋•江宁区校级月考）一个扇形的半径为 ，弧长为 ，则此扇形的面积为 ．
6．（2023秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形 内接于 ， 为 的直径， ，
与 交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，点 经过的路径为弧 ，若 ，求图中
阴影部分的面积．
题型三．圆锥的计算
7．（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为 ，高是 ，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是A． B． C． D．
8．（2023秋•营口期末）已知圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则这个圆锥的侧面积是 ．
9．（2024•天河区校级一模）已知 ．
（1）化简 ；
（2）如图， ， 分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥的侧面积为 ，求 的值．
题型四．圆柱的计算
10．（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原
理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏
到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与
时间 的数据：
时间 1 2 3 4 5
6 10 14 18 22
圆柱体容器液面高度
如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那么当圆柱体容器液面高度达到 时是
A． B． C． D．
11．（2022•肇州县模拟）圆柱的底面周长为 ，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为 ．
12．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由
一个高为 的圆柱和一个同底面的高为 圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度
为 ，注满为止．整个注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的函数关系如图②所示．（1）圆柱形容器的高为 ．
（2）求线段 所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面 时 的值．
分层练习
一、单选题
1．如图，点 ， ， 是 上的点， ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，则扇形OBMC的面积为（ ）
A．24π B．12π C．8π D．6π
3．如图，菱形 的边长为 ， ，弧 是以点 为圆心、 长为半径的弧，弧 是以
点 为圆心、 长为半径的弧，则阴影部分的面积为A． B． C． D．
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2， ， 分别与优弧 所在圆相切于点 ， ．若该圆半
径是 ， ，则优弧 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（ ）
A．15π B．24π C．30π D．39π
6．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，
点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A． B．2 C． D．1
8．数学课上，老师将一根长为 的铁丝围成一个以点 为圆心， 长为半径的扇形（铁丝的粗细忽
略不计），如图所示，则所得扇形 的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心， 为半径作弧，交 于点 ，连接 、
，若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕 逆时针旋转 交 于 ，取
的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某扇形的半径为 ，圆心角为 ，则该扇形的弧长为 ．12．已知一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为
．
13．如图，边长为2的正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，则图中阴影部分的面积
是 ．
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径
为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留 ）
15．如图，正五边形 内接于半径为2的 ．则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图， 中， ， ， ，以C为圆心， 为半径的圆弧分别交 、
于点D、E，则图中阴影部分面积之和为 ．17．如图，等边 边长为 ，将 绕 的中点 顺时针旋转 得到 ，其中点 的运动
路径为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB所在圆的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB
上，CD//OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是 ．（保留根号）
三、解答题
19．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形 ，经过测量， ，
．小方同学站在1号楼梯口 处，她想走到2号楼梯口 处，三栋楼都有通道可以走．请你
帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（ 取3）20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1） ABC 与 ABC关于原点O对称，画出 ABC 并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
（2）△A
2
B
2
C
2
是△ABC绕原点O顺时针旋转90△°得到的，画出 A
2
B
2
C
2
并写出点A
2
的坐标；
（3）△连接OA、O△A
2
，在 ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△ A
2
B
2
C
2
的过程中，计算线段OA变换到
OA 过程中扫过区域的面△积是多少？（直接写出答案） △
2
21．已知：
(1)化简 ；
(2)如图， 、 分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为 ，求 的值．22．如图，四边形ABCD是 的内接四边形， ，BD是 的直径，DB的延长线交 的切线
AE于点E．
(1)求证： ；（角用阿拉伯数字表示）
(2)若 ，则图中由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积是_______．（结果保留无理数）
23．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为 ，最
低点距离地面 ，摩天轮的圆周上均匀地安装了 个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距
离地面最近的位置进舱．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______ ；
(2)在小明进座舱后间隔 个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于 ， 两点），求两人所
在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）和直线距离（线段 的长）．24．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点分别是 ， ．
(1)请画出将 绕点O顺时针旋转 后得到的 ．
(2)在（1）的条件下，求扇形 的面积（结果保留π）．
25．综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为 、高为 的锥形草帽（如图（ ））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、
足够大的卡纸．
步骤 ：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形．
步骤 ：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、
不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：（ ）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（ ）如图（ ），根据（ ）的计算过程，直接写出圆锥的高 、母线长 与侧面展开图的圆心角度数
之间的数量关系： ．
26．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形
，如图1，求 的长；
（2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如
图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正
方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______.
