文档内容
第25讲 空间向量与立体几何
【知识点总结】
一、空间向量的数量积运算
1.两向量夹角
已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹
角，记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互相垂直，记作 .
2.数量积定义
已 知 两 个 非 零 向 量 ， ， 则 叫 做 ， 的 数 量 积 ， 记 作 ， 即
.零向量与任何向量的数量积为0，特别地， .
3.空间向量的数量积满足的运算律：
， （交换律）；
（分配律）.
二、空间向量的坐标运算及应用
（1）设 ， ，则 ；
；
；
；
；
.
（2）设 ， ，则 .
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.
①已知 ， ，则 ；
；
；；
②已知 ， ，则 ,
或者 .其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.
（4）向量 在向量 上的射影为 .
（5）设 是平面 的一个法向量， ， 是 内的两条相交直线，则 ，由此
可求出一个法向量 （向量 及 已知）.
（6）利用空间向量证明线面平行：设 是平面的一个法向量， 为直线 的方向向量，证明 ，
（如图8-155所示）.已知直线 （ ），平面 的法向量 ，若 ，则 .
（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量 ， ，只要证明
，即 .
（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.
n
l
（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空间角公式.
①异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小
则 .
②线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 .③二面角公式：设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根
据具体情况判断相等或互补），其中 .
（11）点 到平面 的距离为 ， ， 为平面 的法向量，则 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中，侧棱 平面BCD，F为线段BD
中点， ， ， .
（1）证明： 平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角 的正弦值为 ，求 的值.
【详解】
解：（1）因为 ，F为线段BD中点，所以 .
因为 平面BCD， 平面BCD，
所以 .
又因为 平面ABD， 平面ABD， ，
所以 平面ABD.
（2）在三棱锥 中，在平面BCD内作 于E.
以B为原点建立如图空间直角坐标系.由题得 ， ， ， ，
， ， .
设 ，
所以 .
设 ， 分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量.
则 ， .
即 ， .
不妨取 ， .
因为二面角 的正弦值为 ，则余弦值为 ，
所以 ，
解得 （舍）或 .
因此， 的值为 .
例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ，
分别是 ， 上的点，且 ， ， 分别为 ， 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连结 .（1）证明： 平面 ；
（2）在翻折的过程中，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
（1）
在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点， ，
则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理可得， 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
故平面 平面 ，
因为 平面 ，
故 平面 ；
（2）因为在等腰直角三角形 中， ， ，
所以 ，则在四棱锥 中， ， ，
因为 ，则 ， ，
又 ， ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，
因为 ， ， ，则 ，所以 ，故 ，
所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，0， ， ，0， ， ，8， ， ，5， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
故 ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
故 ，
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为
线段 的中点.（1）求点 到直线 的距离；（2）求直线 到平面 的距离.
【详解】
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ， ， .
（1）取 ， ，则 .
所以，点 到直线 的距离为 .
（2）因为 ，所以 ，所以 平面 .
所以点 到平面 的距离为直线 到平面 的距离.
设平面 的法向量为 ，则
所以
所以
取 ，则 .所以， 是平面 的一个法向量.又因为 ，所以点 到平面 的距离为 .
即直线 到平面 的距离为 .
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形，， ，且 ．
（Ⅰ）若点 为 上一点且 ，证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使得 ?若存在，求出 的长；若不存在，说明理由．
【详解】
（Ⅰ）过点 作 ，交 于 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ．
又 ， ，所以 ．
所以 为平行四边形, 所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）因为梯形 中， ， ，所以 ．
因为 平面 ，所以 ,
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ,
因为
所以 ，即 ，取 得到 ，
因为 ，所以 ，即 ，令 得 ，
所以 ,
因为二面角 为锐角，所以二面角 为 ；
（Ⅲ）假设存在点 ，设 ，其中 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以存在点 ，且 ．
例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【详解】
如图建立空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为2
则 ， ， ， ， ，
（1）设平面 的法向量为 ， ，
令 ，则 ， ，
， ，
面 平面 .
（2） 平面 ，直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，， ， = = ，
直线 到平面 的距离为 .（3）平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 夹角为 ，
， = = ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角．
【详解】
由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ． ， ， ，
， ，
，所以 ，即异面直线 与 所成角是 ．
故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，
， 为 的中点， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图建立空间直角坐标系，求出 和 的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三
角函数基本关系即可求解.
【详解】
因为 底面 ， 面 ，可得 ， ，
因为四边形 为正方形，可得 ，
所以 两两垂直，如图分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
可得 ， ， ， ， ，所以 ， ，所以 ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，所以 ，
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆锥 中， ， 为底面圆的两条直径， ，且
， ， ，异面直线 与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以 为 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．【详解】
由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，， ， ， ，
又 ，
．
，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ， 为锐角，
，所以 ．
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））在正方体 中， 是 的中点，则直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
以 为坐标原点, 建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，然后利用向量法可求
，从而求直线 与平面 所成角的正弦值.【详解】
解：以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
，令 ，则 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中， 中点为 ，则二面角 的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，然后利用向量法求二面角 的余弦值.
【详解】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体 的棱长为2，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
，2， ， ，2， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，0， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
设二面角 的平面角为 ，由图知 为钝角，
二面角 的余弦值 .
故选： .
6．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱 的底边长为2， ，E是 的中点，
则 到平面EAC的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用线面平行的判定定理证明 ∥平面EAC，则点 到平面EAC的距离即为直线 到平面EAC的距
离，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面AEC的法向
量，由点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：由棱柱的几何性质可知， ∥AC，
又 ⊄平面EAC，AC 平面EAC，
⊂
则 ∥平面EAC，
所以点 到平面EAC的距离即为直线 到平面EAC的距离，
因为正四棱柱 的底边长为2， ，
则 ，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0）， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面AEC的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
故 ，
所以点 到平面EAC的距离 ，
故 到平面EAC的距离为 ．故选：C．7．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之间的
距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，求得 和平面 的一个法向量 ，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
显然平面 平面 ，所以平面 与平面 之间的距离 ．【点睛】
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①
求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他
距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD AB C D 的棱长为2，点E是AB 的中点，则点A到
1 1 1 1 1 1
直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系，先求 夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，则 ＝(0,2,0)， ＝(0,1,2)．
∴cosθ＝ ＝ .∴sinθ＝ .
故点A到直线BE的距离d＝| |sinθ＝2× .故答案为B
【点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
9．（2021·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）长方体 中， ， ，
为 的中点，则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出 与 的公垂线的一个方向向量，由空间向量
的数量积求得结论．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设 与 的公垂线的一个方向向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，即 ，
又 ，
所以异面直线 与 之间的距离为 ．
故选：D．二、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在长方体中， ， ，若 为 中点，则
点 到平面 的距离为________.
【答案】
【分析】
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，求平面 的法
向角，再求向量 在法向量上的投影的绝对值，由此可得点 到平面 的距离
【详解】
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接
，由题意得 ， ，
∴ ， ， ，设平面 的法向角为 ，则 ，
即 ，
令 ，得 ，
∴ 点 到平面 的距离 ，
故答案为： .
三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ．
（1）求异面直线 和 所成角的大小；（2）求直线 和平面 所成角的大小．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）、根据题意可证得 两两垂直，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后根据
即可求出异面直线 和 所成角的大小；
（2）、先求出平面 的一个法向量 ，然后根据 即可求出直线 和平面 所成角的正
弦值，进而求出直线 和平面 所成角的大小.
（1）
为直三棱柱， ⊥平面 ， ,
又 ， 两两垂直，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立空间直角
坐标系 ，
则
设直线 和 所成角的大小为 ，则 ，又 ， ， 直线 和 所成角的大小为 ．
（2）
由（1）可知：设平面 的一个法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 和平面 所成角的大小为 ，则 ， ．
直线 和平面 所成角的大小为 ．
12．（2022·天津南开·高三期末）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ，E为 上一点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求平面 与平面 的夹角的大小.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）如图，以A为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
利用向量法证明 ， ，即可得证；
（2）利用向量法证明 垂直平面 的法向量即可；（3）利用向量法即可得出答案.
（1）证明：如图，以A为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 平面 ；
（2）
证明：设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ；
（3）
解：设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 是平面 的一个法向量，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
13．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形
为直角梯形， ， ， .且Q为线段 的中点
（1）求直线 与 所成角的大小；（2）求直线 与平面 所成角的大小【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）以 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立坐标系.，用向量法求异面直线所成的角；
（2）用直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值求线面角的正弦值．
【详解】
以 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立坐标系.
， ， ， ，
则 ， ， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
即异面直线 与 所成角的大小为 .
（2）设平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则即直线 与平面 所成角的大小为 ．
【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面
角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直
线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对
值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
14．（2022·上海·高三专题练习）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆
锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上
底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA、BB 是圆柱的两条母线，C是弧AB的
1 1
中点.
（1）求异面直线PA 与BC所成的角的大小；
1
（2）求点B 到平面PAC的距离.
1
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线
与 所成的角的大小即可
（2）求出平面 的法向量，利用向量法求出点 到平面 的距离
【详解】
（1）根据题意可得 平面 , C是弧AB的中点,则
则以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图则 ， ， ， ，
， ，
，
异面直线 与 所成的角的大小为 ．
（2） ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
点 到平面 的距离为： ．
【点睛】
方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立
右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量
的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.15．（2022·上海·高三专题练习）如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 ,
, , 分别为棱 的中点.
（1）求证: 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成的角.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）因为在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,可得 ∥ ,结合底面为矩形,即可求得
答案;
（2）以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,求得 和 , ,即
可求得答案.
【详解】
（1） 在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,
∥
又 底面为矩形, ∥ ,
∥
由平行线确定唯一平面得 、 、 、 在同一平面上.
（2）以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,
如图:可得 , , ,
, ,
故:
异面直线 与 夹角: .
【点睛】
本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分
析能力和计算能力,属于中档题.
16．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
为正三角形，且侧面 底面 ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
【分析】
（1）连接 交 于 ，进而证明 ，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求得答案；
（3）求出平面 的法向量，结合（2），进而通过空间向量的夹角公式求得答案.
（1）
证明：连接 ，与 交于 ，则 为 的中点，又 分别为 的中点，∴ ，∵ 平面
， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）
设 是 的中点，连接 ，∵ 是正方形， 为正三角形，∴ ．又∵面 面
，交线为 ，∴ 平面 ．
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，如图，建立空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ， ， ,∴
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ．则 ，得 ．设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，即直线 与平面 所成角的正弦值 ．（3）
由（2）可知 ，设平面 的法向量为 ，则
，令 ．则 ， ， ．
设面 与面 夹角为 ，∴ ，∴面 与面 夹角的余弦值为
．
17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，
， 在底面ABC上的射影是BC的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）设 中点为 ，连接 ，推出 平面 ，得到平面 平面 ，然后证明
平面 ，推出 ，结合 ，证明 平面 ．（2）以 为原点，建立空间直角坐标系 ，求出平面 法向量，利用空间向量的数量积求解
与平面 所成角的正弦值．
（1）
（1）证明：设 中点为 ，连接 ，因为 在底面 上的射影为 中点，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
又因为四边形 为菱形，
所以 ，
而 ，所以 平面 ．
（2）
解：不妨设 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为四边形 为菱形，所以 ，故 为等边三角形，
所以 ，故 ，由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
以 为原点，建立空间直角坐标系 如图， ， ， ， ，
，
所以 ，
设平面 法向量为 ， ，由 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．18．（2022·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱 的上、下底面的顶点分别在圆柱 的上、
下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心 为 与 的交点.
（1）求证: 平面 ；
（2）若圆柱底面半径为 ，母线长为 ，求直线 与平面 所成角的正切值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）法一：连接 可证得 ，由线面平行的判定定理即可证得结论；
法二：取 中点 中点 ，连接 可证得四边形 为平行四边形，则 ，由线
面平行的判定定理即可证得结论.
（2）法一：取 中点 中点 ，连接 可知 ,易证得 平面 ，从而平面 ，则连接 为直线 与平面 所成的角，计算即可求得结果;
法二:分别以向量 ， 的方向为 的正方向建立空间直角坐标系 ,求得，求出平面 的一个法向量可以记为 ，利用数量积公式计算即可得出结果.
（1）
法一:连接 由题易知 为矩形，所以 为 的中点，
又 为 中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
法二:取 中点 中点 ，连接 由题易知 为矩形，
所以 为 的中点，又 为 中点，
所以 ，所以 ，
又易知 ，
所以 ，
从而四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ；
（2）
法一:取 中点 中点 ，连接 可知又因为点 在圆周上， 为圆的直径，所以
又因为直三棱柱中 底面 ，所以 ，
从而 平面 ，从而 平面 ，所以连接 为直线 与平面 所成的
角，圆柱底面半径为 ，
所以 ，
又依题可知 ，所以 ，从而 ，
所以在 中，
法二:因为 点在圆周上， 为圆的直径，所以 ，
又因为直三棱柱中 底面 ，所以 两两垂直，分别以向量 ，
的方向为 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系圆柱底面半径为 ，母线长为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
又由 平面 ，且 为底面圆的直径，所以 ，
又 ，可知 平面 ，
所以平面 的一个法向量可以记为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以 .
19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中， ， ，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明见解析；（2） .
【分析】
(1)由勾股定理证明 ，再结合已知条件即可证明；
(2)作 交 于 ，又 平面 ，∴以 ， ， 所在直线为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
（1）
∵ ， ， ，
∴在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
即 ，
又 ，
，
∴ 平面 ；
（2）
作 交 于 ，
又 平面 ，
∴以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
在△ 中，由正弦定理得 ，故 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
又 ，0， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
∴ ，
令 ，∴ ， ，
∴ ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20．（2022·全国·高三专题练习（理））如图1，直角梯形ABCD中， ， ，
．如图2，将图1中 沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在
内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为 ．对于图2的几何体．（1）求证： ；（2）求DE与平面DAC所成角的正弦值．
【答案】
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】
(1)取AC的中点F，连接DF，CE，EF，证明AC⊥平面DEF即可.
(2)以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解线面角.
（1）
取AC的中点F，连接DF，CE，EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形．
∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE 平面DEF，∴DE⊥AC．
⊂
（2）
连接GA，GC，
∵DG⊥平面ABC，而GA 平面ABC，GC 平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，
又DA＝DC，∴GA＝GC，⊂∴G在AC的垂直⊂平分线上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分线上，∴EG垂
直平分AC，又F为AC的中点，∴E，F，G共线．
∴S ＝ ×|AC|×|BC|＝ ×6×6＝18，
△ABC
∴V ＝ ×S ×|DG|＝ ×18×|DG|＝12 ，∴DG＝2 ．
DABC △ABC
在Rt△DGF中，|GF|＝ ．
以G为坐标原点，GM为x轴，GE为y轴，GD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－1，0)，E(0，2，0)，C(－3，－1，0)，D(0，0，2 )，
∴ ＝(0，2，－2 )， ＝(3，－1，－2 )， ＝(－3，－1，－2 )，设平面DAC的法向量为 ＝(x，y，z)，
则 ，得 ，令z＝1，得： ，
于是， .
21．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 、 、 、
分别为 、 、 、 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， 为等边三角形，求二面角 的正弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】
（1）连接 、 、 ，证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，证明 平面 ， ，设 ，然后以点 为坐
标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法
结合同角三角函数的基本关系可求得二面角 的正弦值.
（1）
证明：连接 、 、 .
因为 、 分别为 、 的中点， 且 ，因为四边形 为正方形，则 且 ，
为 的中点，则 且 ，所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，故 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
，所以，平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 .
（2）
解：取 的中点 ，连接 、 .
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为四边形 为正方形，则 ， 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，故 ，则 ，
如图，以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
设 ，则 、 、 、 ，
， ， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，则 ，设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，则 ，
所以 ，故 .
所以二面角 的正弦值为 .
22．（2022·全国·模拟预测）如图①，直角梯形 中， ， ，点 ， 分别在 ，
上， ， ，将四边形 沿 折起，使得点 ， 分别到达点 ， 的位
置，如图②，平面 平面 ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）根据 ， ， ， ，易证 ，再根据平面
平面 ， ，得到 平面 ，进而得到 ，再利用线面垂直的判定定理证明
平面 即可；（2）根据（1）知 ， ， 两两垂直，以 ， ，
的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，分别求得平面 的一个法向量
和平面 的一个法向量 ，设二面角 的大小为 ，由
求解.
（1）
解：因为 ， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 是等腰直角三角形，即 ，
所以 .
由平面几何知识易知 ，
所以 ，即 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 .
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，以 ， ， 的方向
分别为 ， ， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，F（1，0，0） ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，则 .
由 ， ， ，
得 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，
则 ，由图可知二面角 为钝二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 面 ， ，且 ，
， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
【答案】
（1）证明见解析；
（2） ；
（3）存在， .
【分析】
(1)只要证明 所在平面 与平面 平行即可；
(2)用向量数量积计算二面角的余弦值；
(3)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．
（1）
取 中点 ，连接 、 ，∵ ∥ ， ， ， ， ， ， 为 的中点，
∴四边形 是矩形， ， ，
由 平面ANE， 平面PBC，PC 平面PBC知NE∥平面PBC，
由 平面ANE， 平面PBC，BC 平面PBC知AE∥平面PBC，
又∵NE AE＝E，∴平面 ∥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ∥平面 ．
（2）
因为 面 ，∴ ， ，
由(1)知 、 、 两两垂直，建系如图，
，0， ， ， ， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，1， ，∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
（3）
假设在线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
由(2)知 ，1， 是平面 的法向量，
∴直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
解得 ．
24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中，侧棱 底面
， ，且 是 的中点.
（1）求点 到平面 的距离；
（2）设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（1） ;
（2） .
【解析】
（1）解：以点 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则 ，
，
因为 为 的中点，则
因为
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
故 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
（2）
解：由题意，设 ，其中 ，
则 ，
所以 ，
又 是平面 的一个法向量，
因为直线 和平面 所成角的正弦值为 ，则 ，
整理可得 ，
又 ，解得故线段 的长为 .
25．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 底面 是矩形， 面 ，
， 、 是棱 、 上的点， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）棱 上是否存在点 ，使 面 ？若存在，求出 的值；不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在满足条件的点 ，理由见解析.
【分析】
（Ⅰ） 、 、 三条线两两垂直建立空间直角坐标系，表示出所需点的坐标，然后求出平面平面
的法向量，验证 ，即可得出结论；
（Ⅱ）假设存在 ，设出点 的坐标，然后通过 列方程，通过方程是否有解，可确认点 是否存
在.
【详解】
（Ⅰ）∵ 平面 ， 、 平面 ．
∴ ，
在矩形 中，
∴ 、 、 三条线两两垂直如图，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系则 ， ， ，
∵ ∴ ；∵ ∴
∴
设 为平面 的一个法向量
由 得： 取
∵
∴
又∵ 平面
∴ 平面
（Ⅱ）假设存在 满足 ，使 平面
若 平面 ，则
∴
即： ∴
故不存在满足条件的点
【点睛】
向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需要做辅助线；建立右手直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积，验证平行垂直，利用线面角公式求线面角、或求出两个平面的法向量的夹角
的余弦值
5、取：根据题意或者二面角线面角的范围，得出答案.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ，
， ， ， ， 为 的中点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 为靠近点 的三等分点.
【分析】
（1）连接 ， 与 的交点记为点 ，证明出 平面 ，可得出 ，利用勾股定理证
明出 ，利用线面垂直的判定定理可证得 平面 ；
（2）以 为原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，利
用空间向量法可得出关于实数 的方程，结合 可求得实数 的值，即可得出结论.
【详解】
（1）证明：如图，连接 ， 与 的交点记为点 ，
， ， ，
所以， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，又因为 ，且 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为在 中， ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ；
（2）存在，点 为靠近点 的三等分点，理由如下：
如图，以 为原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
，设 ，即点 ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，由 ，
取 ，则 ，
易知，平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
即 ，
整理可得 ，解得 （舍）或 .故线段 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时点 为靠近点 的三等分点.
【点睛】
方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合
已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.
27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，
， .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)存在， .
【分析】
(1)线线垂直需要借助于线面垂直，结合图形分析出需要先证明 平面 ；而证明线面垂直需要证
明与面里面的两条相交线垂直即 和 ；
(2)由 两两垂直可建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量之后，直接利用
空间向量的夹角公式即可求得；
(3)通过向量表示出所求线段的比例关系，然后依次表示出所需向量的坐标，利用线面垂直时线与面的法向
量平行即可得出等量关系，解方程即可求得结果.
【详解】
解：(1)证明：在直四棱柱 中，底面 ，
因为 底面 ，
所以 .
因为 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
(2)因为 平面 ，且 ，所以 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为
， ，
由 可得
令 ，解得 ，
所以因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为
所以由题可知二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 .
(3)设 .
因为 ，
由(2)知平面 的一个法向量为 ，
因为 平面 ，可得 .
所以 ，解得 .
所以，在线段 上存在点 使得 平面 ， 的值是 .
【点睛】
向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需要做辅助线；建
立右手直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）；
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标；
3、求：求出所需平面的法向量；
4、算：运用向量的数量积，验证平行垂直，求出两个平面的法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据题意或者二面角线面角的范围，得出答案.
28．（2022·河北·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯
形，其中 ， ， ， ，E为棱 上的点，且 .（1）若F为棱 的中点，求证： 平面 ；（2）（i）求证 平面 ；
（ii）设Q为棱 上的点(不与C，P重合)，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【答案】（1）见解析；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法证明；（ii） .
【分析】
（1）取PA中点G,连接GF,由中位线定理，结合平行四边形判定与性质，利用线面平行的判定定理证明；
（2）（i）由已知证得 ， ， ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；
（ii）设 ，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得 ，可得答案.
【详解】
（1）取PA中点G,连接GF,BG,FG=1，BG=1,FG∥AD,AD∥BC,∴FG∥BE,∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG,又∵EF⊄平面PAB,BG 平面PAB,∴EF∥平面PAB；
⊂
（2）（i）因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，又因为 ，
则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（ii）由（i）可知 平面 ，
可作为平面 的法向量，设 ，即 ，
，
所以 ，即 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，即 .
【点睛】
本题考查线面平行的证明，线面垂直的证明，线面角问题，利用空间坐标系中的向量运算证明或求解问题
中，关键要注意认真仔细准确计算.
29．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，
是边长为2的正三角形，已知 点满足 .
（1）求二面角 的大小；
（2）求异面直线 与 的距离；（3）直线 上是否存在点 ，使 平面？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1） （2） （3）存在点 ，其坐标为 ，即恰好为 点【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用平面 的法向量和平面 的法向量，计算出二面角 的余
弦值，由此求得其大小.
（2）求得异面直线 与 的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线 与 的距离.
（3）根据 求得 点的坐标，设出 点的坐标，根据 、 与平面 的法向量
垂直列方程组，解方程组求得 点的坐标，由此判断出存在 点符合题意.
【详解】
（1） 侧面 底面 ，又 均为正三角形，取 得中点 ，连接 ， ，
则 底面 ，
故以 为坐标原点，分别以 为 轴、 轴、 轴建立 如图所示空间直角坐标系，
则
设平面 的法向量为
取 ，可得
又平面 的一个法向量为
由图知二面角 为锐角，故二面角 的大小为 .（2）异面直线 与 的公垂线的方向向量 ，则
易得 ，异面直线 与 的距离（3） ，而
又 ， 点 的坐标为
假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为
平面 为平面 的一个法向量，
由 ，得 .
又 平面 ，
故存在点 ，使 平面 ，其坐标为 ，即恰好为 点.
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量法计算二面角、异面直线公垂线段的长，考查利用空间向量法研究线面平行
的条件，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.
30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，
， 与底面 所成角的正切值为 ， 是 的中点， 线段 上的动点.（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）先通过题目条件证明 平面 ，得到 ，由 ， 是 的中点，得到
,再根据线面垂直的判定定理证明出 平面 ；
（2）以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，计
算平面 的法向量及平面 的法向量，
使平面 和平面 的法向量夹角余弦值的绝对值为 ，求解出 的值.
【详解】
（1）证明： 平面 平面 ，
.
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，∴ .
又 ， 是 的中点，，
又 ， ， 平面 ，平面 .
（2）以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵ 与底面 所成角的正切值为 ， ，∴ ，
则 ， ， .
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得： ，
而平面 的一个法向量为 ，依题意得： ，
即 ，得 或 (舍).
故 .
【点睛】
本题的难点在于（2）中已知二面角大小求解设 的长，解答时设 ，可采用空间向量的方
法求解，先利用空间向量求解已知面的法向量，使法向量满足条件，然后求解出 的值.
31．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC-ABC 中，CA＝CB＝4，CC ＝2 ，∠ACB＝90°，点
1 1 1 1
M在线段AB 上．
1 1（1）若AM＝3MB ，求异面直线AM和AC所成角的余弦值；
1 1 1
（2）若直线AM与平面ABC 所成角为30°，试确定点M的位置．
1
【答案】（1） ；（2）M为AB 的中点．
1 1
【分析】
先证明CC ⊥CA，CC ⊥CB，CA⊥CB，以{ 、 、 }这组正交基底建立空间直角坐标系.
1 1
（1）用向量法求异面直线AM和AC所成角的余弦值；
1
（2）设 ＝λ ，λ∈[0，1]，用向量法表示出直线AM与平面ABC 所成角，解出λ，即可确定M的
1
位置.
【详解】
解：（1）因为ABC-ABC 为直三棱柱，所以CC ⊥平面ABC，又CA、CB平面ABC，所以CC ⊥CA，
1 1 1 1 1
CC ⊥CB；因为∠ACB＝90°，所以CA⊥CB；
1
以{ 、 、 }这组正交基底建立空间直角坐标系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A(4，0，2 )，
1B(0，4，2 )，C (0，0，2 )；因为AM＝3MB ，所以M(1，3，2 )；因为 ＝(－3，3，2 )，
1 1 1 1＝(－4，0，－2 )，所以cos< ， >＝ ＝ ＝ ，所以异面直线AM和AC
1
所成角的余弦值为 ；
（2）设 ＝λ ，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，2 )， ＝(－4λ，4λ，2 )；设平面ABC 的
1
一个法向量 ＝(x，y，z)，由 · ＝0， · ＝0得， ，其一组解为 ，所以 ＝(1，
1， )；因为直线AM与平面ABC 所成角为30°，所以│cos< ， >│＝│ │＝ ＝
1
sin30°，得λ＝ (负舍)，即M为AB 的中点．
1 1
32．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， 平面 ， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解
【详解】（1）由题意， 平面 ， ， ，
以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
则 ，取x=1，得 =(1，0，1)，
∴点D到平面PBC的距离 ．
（2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为 =(1，0，1)，
设平面PCD的一个法向量为 ，
， =(﹣1，1，0)，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，由图得二面角为钝角
故
