文档内容
第 18 讲 正多边形和圆 （1 个知识点+5 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
题型强化
题型一．正多边形和圆
1．（2024•甘孜州）如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为A．2 B． C．1 D．
【分析】由正六边形 内接于 ，求得 ，则 是等边三角形，所以 ，
于是得到问题的答案．
【解答】解： 正六边形 内接于 ，
，
，
是等边三角形，
，
故选： ．
【点评】此题重点考查正多边形的半径及中心角的定义、等边三角形的判定等知识，证明 是等边三
角形是解题的关键．
2．（2024春•龙华区校级月考）一个正多边形的中心角是 ，则这个正多边形的边数为 ．
【分析】根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为 ，由题意得，
，
解得 ，
即这个正多边形是正九边形，
故答案为：9．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．
3．（2024秋•宿迁月考）如图，正六边形 的半径为5．
（1）求对角线 的长；
（2）求这个正六边形的周长与面积．
【分析】（1）连接 ， ，根据正六边形的性质推出 ， ，再利用直角三角形
的性质即可得到结论；
（2）由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积．【解答】解：（1）连接 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
；
（2）连接 ， ，作 于点 ，
；
正六边形的周长 ；
，
．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形
的边长等于半径．
题型二、求正多边形的中心角
4．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是 （ ），它的中心角是 ，那么 关于 的
函数解析式及其定义域为 ．【答案】
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用
360度除以中心角的度数，就得到边数．
【详解】解：由题意可得：边数为 ，
则 ．
故答案为： ．
5．（21-22九年级上·全国·单元测试）正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求旋转对称图形的旋转角度、求正多边形的中心角
【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋
转对称图形的性质解答．
【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角， ，
∴这个正方形绕着它的中心旋转 的整数倍后，就能与它自身重合，
因此这个角度至少是 ．
故选C．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形 的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
【答案】周长 ，面积
【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出 为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长 ；
连接 ，过点O作 于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
正六边形的面积 ．
题型三、已知正多边形的中心角求边数
7．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）正多边形的中心角为 ，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于 除以边数，进行求解即可．
【详解】解：∵正多边形的中心角为 ，
∴这个多边形的边数是 ，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于 ，那么这个正多边形的边数是
．
【答案】12
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正 边形的中心角为 ，即可解题．【详解】解：设这个正多边形的边数是 ，且一个正多边形的中心角等于 ，
有 ，解得 ，
故答案为：12．
9．（20-21九年级上·广西南宁·期末）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕
点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 分别交于点 ．设等
边 的面积为S，通过证明可得 ，则
．
【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．若正方形 的面积为S，请
用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 分别交于点 ．若四边形 面积为 ，请
直接写出正六边形 的面积．
【答案】【类比探究】四边形 的面积= ．【拓展应用】6
【知识点】旋转综合题(几何变换)、已知正多边形的中心角求边数
【分析】类比探究：通过证明可得 ，则
．
拓展应用：通过证明可得 ，则．
【详解】解：类比探究：如图2，∵ 为正方形 的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴ BOM≌ CON，
△ △
∴ ．
拓展应用：如图3，∵ 为正六边形 EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴ BOM≌ CON，
△ △∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为6 ．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握
旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
题型四、正多边形和圆的综合
10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形 的两条对角线 的延长线交于
点 P，若 ，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】已知正多边形的中心角求边数、正多边形和圆的综合
【分析】连接 ， ，根据正 边形的性质知 ，得 ，则正 边形中心角
为 ，即可解决问题．本题主要考查了正 边形和圆的知识，熟练掌握正 边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ， ，
多边形是正 边形，
，
，正 边形中心角为 ，
，
故选：B．
11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形 、等边三角形 内接于同一个圆，则 的
度数为 ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】由 ， ，已知图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴对
称图形，求得 ，则 所对的圆心角为 ，所以 的度数为 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵连接 ，图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴ ，
∵ 是 所对的圆周角，
∴ 所对的圆心角等于 ，
∴ 的度数为 ，故选：30°．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定
理求出 所对的圆心角的度数是解决本题的关键．
12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形 内接于 是 的中点，连接
．求证： ；
【答案】证明见详解
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明 ，即可得出 ．
【详解】证明： 四边形 是正方形，
，
．
是 的中点，
，
，
．
题型五、尺规作图——正多边形
13．（20-21九年级上·山东潍坊·期中）如图， 、 、 是 上顺次三点，若 、 、 分别是
内接正三角形、正方形、正 边形的一边，则 ．【答案】12
【知识点】尺规作图——正多边形
【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角 即可解决问题．
【详解】如图，连接OA、OC、OB．
∵若AC、AB分别是 内接正三角形、正方形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ 12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到
的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念
是解答本题的关键．
14．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为 的直径．请用尺规作图法，作出 的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】见解析
【知识点】尺规作图——正多边形
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为 的直径，
∴BD为 的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是 的内接正方形．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
分层练习
一、单选题
1．正十边形的中心角的度数为（ ）
A．30 B． C．45 D．60
【答案】B
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度
除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数．
【详解】正十边形中心角的度数为 ，
故选：B．2．半径为3的正六边形的周长为（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【详解】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝3，
正六边形的周长＝6a＝18．
故选：A．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
3．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．
【详解】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，
∴∠OCB=90°
∵正n边形的一个内角为120°，AB=4
∴∠B=60°，BC=2
∴∠O=30°，
∴OB= = =4.
故选B.
【点睛】本题考查了正多边形与圆.正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形.
4．圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（ ）
A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°
【答案】A
【详解】试题解析：作OF⊥BC．
∵∠COF=72°÷2=36°，
∴CF=r•sin36°，
∴CB=2rsin36°．
故选A．
5．如图，正六边形 中， 的面积为4，则正六边形 的面积是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键．
【详解】如图所示：将三角形 分割为 ，补到 位置．，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重台， 轴，交y轴
于点P．将 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求正多边形的中心角、点坐标规律探索
【分析】根据正六边形的性质推出 ，进而得出 ， ，则 ，再根据旋转的
性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答．
【详解】解：∵该六边形为正六边形，
∴ ， ，
∵ 轴，正六边形中心与原点0重合，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴
第1次旋转结束时，点A的坐标为 ；
第2次旋转结束时，点A的坐标为 ；
第3次旋转结束时，点A的坐标为 ；
第4次旋转结束时，点A的坐标为 ，
∵4次一个循环，
∴
第2023次旋转结束时，点A的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋
转的性质．
7．下列说法中,正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 B．三点确定一个圆
C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆
【答案】D
【知识点】圆
【详解】试题分析：根据内心的性质、确定圆的条件、切线的判定方法、三角形内切圆的性质可知:
A、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故错误．
B、不在同一直线的三点确定一个圆，故错误．
C、经过半径的外端垂直于半径的直线一定是这个圆的切线，故错误．
D、正确．
故选D．
考点：1、三角形的内切圆与内心；2、确定圆的条件；3、切线的判定
8．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）A． B．20 C．18 D．
【答案】B
【知识点】圆
【详解】试题分析：设八边形的边长为x，则长方形的宽=x，长=（ +1）x，梯形的上底=x，下底=（
+1）x
空白部分的面积=（ +1） ，两个梯形的面积和=（x+ x+x）× =（ +1） ，所以空白部分的
面积和阴影部分的面积相等．∴选择B．
考点：面积的计算．
9．如图,水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,
将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为( )
A．π cm B．2π cm C．5π cm D．10π cm
【答案】D
【分析】结合图形，则O点移动的距离即为优弧AB的长，根据扇形面积公式进行计算．
【详解】设优弧AB的长是l．
根据扇形的面积公式，得
l= =10π（cm）．
故选D.．
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，即S = ×弧长×圆的半径．
扇形
10．如图，边长为 的正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、正多边形和圆的综合
【分析】连接 ，根据已知条件得到 是 的直径， ，根据切线的性质得到
，得到 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据梯形
和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径， ，
∵ 分别与 相切于点A和点D，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．边长为2的正六边形的边心距是 .
【答案】
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM= = ．故答案
为 ．
点睛：本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求
出OA、AM的长是解此题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，
且∠AED=27°，则∠BCD的度数为 ．【答案】117°
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接AD，BD，利用圆周角定理解答即可．
【详解】连接AD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AED=27°，
∴∠DBA=27°，
∴∠DAB=90°-27°=63°，
∴∠DCB=180°-63°=117°，
故答案为117°
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．
13．从一张半径为 的圆形纸片中剪出一个面积最大的正方形，则这个正方形的边长是 （精确
到
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据题意，连接正方形的两条对角线，则两条对角线的夹角为90°，那么正方形的面积就是由一
条对角线分成的两个三角形的面积，再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】正方形ABCD的面积是 ACD与 ABC的面积和，
△ △由正方形的性质易得： ACD≌ ABC，AC⊥BD，
△ △
∴
∴S正方形ABCD=2×9=18，
∴
故答案为4.24cm.
【点睛】考查正多边形和圆，画出示意图，求出正方形的面积是解题的关键.
14．如图，正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】4π-8
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、扇形的定义及面积
【详解】分析：由正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，可得正方形的对角线AC=8，进而根据勾股定理可
求出AB2= 32，即正方形的面积等于32，然后用圆的面积减去正方形的面积除以4可求阴影部分的面积.
详解：∵正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，
∴AC=2×4=8.
∵AB2+BC2=AC2,
∴AB2+BC2=82=64，
∴AB2=BC2=32，
∴S ABCD=64.
正方形
∴S =(S -S ABCD) ÷4
阴影 圆 正方形
=(π×42-32) ÷4
=4π-8.
故答案为4π-8.点睛：本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆的面积公式及割补法求不规则图形的面积，求不规则图形
的面积要将其转化为规则图形的面积来求解，这种转换的思想对于做此类题目非常有帮助，简单快速，正
确率高，若用其他方法，不仅复杂，还有可能算不出来.
15．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概
率为 ．
【答案】
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
【详解】∵大三角形是正三角形，∴∠CAB=60°．
∵正三角形的边长为6，∴AB 6=3．
∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，∴BO=ABtan30°=3 ，则正三角形的面积是
62=9❑√3，而圆的半径是❑√3，面积是π•（❑√3）2=3π，因此概率是 π．
故答案为 π．【点睛】本题考查了几何概率，用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为： a2，求三角形内切圆
的半径应构造特殊的直角三角形求解．
16．在 中， 为直角顶点， ， 为斜边 的中点，将 绕着点 逆时针旋转
到 ．当 为等腰三角形时， 的度数为 ．
【答案】40°或70°或100°
【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、已知圆内接四边形求角度、根据旋转
的性质求解
【分析】连接AP，OC，根据直角三角形的性质得到BO=OP=OA= OC，推出A、C、B、P在以AB为直径的
⊙O上，再分三种情况分析：①当BC=BP，②当BC=PC，③当PB=PC，分别利用圆周角定理、等腰三角
形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图，连接AP，OC，
根据旋转的性质得：OP=OA，
∵O为斜边中点，∴BO=OP=OA= OC，
∴A、C、B、P在以AB为直径的⊙O上；
①当BC=BP时，如图，
∵BC=BP，OP=OC，
∴AB垂直平分PC，
∴∠AOP=∠AOC=2∠ABC，
∴α=2×20°=40°，
②当BC=PC时，如图，
∠CPA=∠CBA=20°，
∵AB为⊙O的直径,
∴∠APB=90°，
∵BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB=∠APB-∠CPA=90°-20°=70°，
∴∠ABP=∠CBP -∠CBA =70°-20°=50°，
∴α=2×50°=100°；
③当PB=PC时，如图，同理，∠CPB=∠APB-∠CPA=90°-20°=70°，
∴∠PCB=∠PBC= ，
∴∠ABP=∠PBC -∠CBA =55°-20°=35°，
∴α=2×35°=70°；
综上所述：当 为等腰三角形时，α的值为40°或100°或70°，
故答案为：40°或100°或70°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形
内角和定理和等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题关键是推出A、C、B、P在以AB为直径的
⊙O上．
17．如图所示，已知正八边形 内接于 ，连接 ，相交于点 ．若 的半径为1，
以下结论正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ 的面积为 ；④ ．
【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、正多边形和圆的综合
【分析】连接 ， ， ， ， 交 于 ，由正多边形与圆可知 ，
，进而可知 ， ， 均为等腰直角三角形，利用其
性质即可判断结论．
【详解】解：连接 ， ， ， ， 交 于 ，∵正八边形 内接于 ，
∴ ，故④正确，
，则 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，同理， 为等腰直角三角形，
∴ ，故①正确，
，则 为等腰直角三角形，
由四边形 的内角和为 ，可知 ，故②正确，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
∴ ，故③正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰直角三角形的判定及性质，掌握正多边形与圆的关系是解决问题的
关键．
18．编程兴趣小组为半径为0.2米的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实
验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是 米 ．【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】简单绘制路线图，围成的几何图形每个外角都是 ，根据任意多边形外角和都是 得出共有
六条边，且长度分别为2米和1米交替出现，可得出行走路线总长度，根据半径求出扫过的面积．
【详解】解：如图所示，围成图形的每个外角都是 ，
扫过的面积是6个长方形面积+6个60°角的扇形面积+6个底角为60°的等腰梯形面积，
扫过的面积=
（平方米），
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据每个外角都相等以及任意多边形外角和都是 求出几何图形的边数，确定扫
过的面积，解题的难点是理解扫过的面积是6个长方形面积+6个60°角的扇形面积+6个梯形面积．
三、解答题
19．如图，正六边形 内接于 ，边长为2．
(1)求 的直径 的长；(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接 ，求出 的度数，得到 是等边三角形，得到 ，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接 ．
∵正六边形 内接于 ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
20．如图， 内接于 是 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形的性质、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】本题考查了圆中几何问题的综合计算与证明，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）利用等边对等角可得到 ，再根据圆周角定理可得 ，即可得到 ；
（2）延长 到点E，使 ，连接 ，过点B作 于点F．根据圆的内接四边形的性质可
得 ，从而得到 ，易证 ，得到 ，
进而得到 ，设 ，在 和 中，由 ，可求出 的
值，代入即可得到 的长．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）解：延长 到点E，使 ，连接 ，过点B作 于点F．如图所示：
∵四边形 内接于 ，
，
，
，
，
设
∵ ，．
在 和 中，
，
（舍去），
．
21．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
【答案】见解析
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查运用所学的基本尺规作图，实际作图问题，掌握好基本的尺规作图，与实际问题的结合．
【详解】解：方法一：（1）用量角器画圆心角 ， ；
（2）连接 ， ， ，则 为圆内接正三角形．
方法二：（1）用量角器画圆心角 ；
（2）在 上用圆规截取 ；
（3）连接 ， ， ，则 为圆内接正三角形．
方法三：（1）作直径 ；
（2）以 为圆心，以 长为半径画弧，交 于 ， ；
（3）连接 ， ， ，则 为圆内接正三角形．
方法四：（1）作直径 ；
（2）分别以 ， 为圆心， 长为半径画弧与 分别交于点 ， ， ， ；
（3）连接 ， ， （或连接 ， ， ，
则 （或 为圆内接正三角形．22．（1）计算：-（ ）-1 +3tan30°-20190+|1-❑√3|
（2）如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB=1，求BF．
【答案】（1）-5;（2）BF= ．
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】（1）根据负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算即可．
（2）首先证明AB=AF=1，BF=CF，设BF=CF=x，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）原式=-3-2❑√3+❑√3-1+❑√3-1=-5
（2）在正五边形ABCDE中，∵∠ABC=∠DCB=108°，BC=BA=CD，
∴∠BAC=∠BCA=∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠ABF=72°，
∴∠AFB=∠CBD+∠ACB=72°，
∴∠AFB=∠ABF，∠FCB=∠FBC，
∴AF=AB=1，FB=CF，设FB=FC=x，
∵∠BCF=∠BCA，∠CBF=∠CAB，
∴△BCF∽△ACB，
∴CB2=CF•CA，
∴x（x+1）=1，
∴x2+x-1=0，
∴x= 或 （舍弃），∴BF= ．
【点睛】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，负指数幂，零指数幂，绝对值等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识．
23．仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图， 为 的弦，画一条与 长度相等的弦；
(2)如图，正五边形 内接于圆，请作出一条直径；
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、正多边形和圆的综合
【分析】（1）分别过 、 作直径 和 ，连接 ，由 得 ；
（2）连接 ， ， ， 交 于点 ，作射线 交圆于点 ，因为是正五边形 内接于
圆， ，则 ， 垂直平分 ，因为
，所以 垂直平分 ，得 ，从而得 为直径．
本题主要考查了作图 复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟
练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）解：与 长度相等的弦 如图所示：
（2）解：直径 如图所示：24．如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．
【答案】❑√2
【知识点】正多边形和圆的综合
【详解】试题分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大
正方形的面积，从而得出 的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形 的面积：
0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．
试题解析：如图，
设大正方形的边长为1，则HF=1，
则S ABCD=1，
正方形
S EFGH=2S HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，
正方形
△
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴AB：EF= ．
25．已知：如图，点E是正方形ABCD中AD边上的一动点，连结BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B
为圆心作 ，连结BG．（1）求证：EG与 相切．
（2）求∠EBG的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）45°.
【知识点】圆
【详解】试题分析：（1）过点B作BF⊥EG，垂足为F，先证得△ABE≌△FBE，得出BF=BA，根据切线的判定
即可证得结论；
（2）由△ABE≌△FBE得出∠FBE=∠ABE= ∠ABF，然后根据切线长定理得出GF=GC，进而证得
∠FBG=∠CBG= ∠FBC，从而得出∠EBG= ∠ABC=45°．
试题解析：（1）过点B作BF⊥EG，垂足为F，
∴∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，∴∠BFE=∠A，
∵∠BEG=∠BEA，BE=BE， ∴△ABE≌△FBE， ∴BF=BA，
∵BA为 的半径，∴BF为 的半径，∴EG与 相切；
（2）由（1）可得△ABE≌△FBE，∴∠1=∠ABE= ∠ABF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠ABC=90°，∴CD是⊙O切线，
由（1）可得EG与 相切，∴GF=GC，∵BF⊥EG，BC⊥CD，∴∠2=∠CBG= ∠FBC，
∴∠EBG=∠1+∠2= (∠ABF+∠FBC)= ∠ABC=45°
考点：切线的判定
26．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图1，若四边形 是美好四边形，且 ， ， ， ，求四边形
的面积；
【问题解决】
（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在 ， ， ， 四处，现要求信号塔 建在公园内一个
湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为 的圆，记为 ．已知点 到该湖泊的最近距离为 ，
是否存在这样的点 ，满足 ，使得四边形 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ； （2）存在，最大为
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、求一点到圆上点距离的最值
【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相
等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键．
（1）过 作 于 ，先利用勾股定理求出 ，再分别求 和 ；
（2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定 的最
大值，即可得到答案．
【详解】解：（1）过 作 于 ，如图1，， ， ，
，
四边形 是美好四边形， ，
，
，
，
在 中， ，
， ，
；
（2）存在这样的点 ，满足 ，且使得四边形 的面积最大，理由如下：
当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，
则 ，
， ，
，
．当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3，
则 ，
当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大．
点 到湖泊的最近距离为 ， 的半径为 ，
，
又 ，
当 、 、 依次共线时 最长，如图4，
又 时， ，
此时四边形 面积最大，
此时 ，
，
故四边形的面积最大为．
