文档内容
第 03 讲 圆的方程
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解确定圆的几何要 高考对圆的方程的考查比较稳定，
素，在平面直角坐标系中， 考查内容、频率、题型难度均变化
2023年乙卷（文）第11题，5分
掌握圆的标准方程与一般方 不大，备考时应熟练掌握圆的标准
2023年上海卷第7题，5分
程． 方程与一般方程的求法，除了待定
2022年甲卷（文）第14题，5分
（2）能根据圆的方程解决一 系数法外，要特别要重视利用几何
2022年乙卷（文）第15题，5分
些简单的数学问题与实际问 性质求解圆的方程．
题．
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为
参数， 为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
题型一：求圆多种方程的形式
例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过 、 两点，且与直线 相切的圆的方程可以是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】因为 、 ，则线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ，
设圆心为 ，则圆 的半径为 ，
又因为 ，所以， ，
整理可得 ，解得 或 ，
当 时， ，此时圆的方程为 ；
当 时， ，此时圆的方程为 .
综上所述，满足条件的圆的方程为 或 .
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为 ，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则
这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直径的两个端点分别 ，
圆心C为点 由中点坐标公式，得 ，解得
∴半径 ，
∴圆的方程是 即
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为 的圆与直线 相切，则该圆的标准方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心为 的圆与直线 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
所以该圆的标准方程是 ．
故选：A变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆 与直线 相切，则圆
关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆 的圆心为原点 ，半径为5，
又圆 与直线 相切，
则 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，
设过 且与 垂直的直线为 ，
则 ： ，
联立 ，
得直线l与 的交点为 ，
设圆心 关于点 的对称点为 ，
由中点公式有
所以圆心 关于点 的对称点为 ，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为： ，
故选：D.
变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A、B
两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为 两点，以线段 为直径的圆C过点 ，则
圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点 ，准线 ： ，设 ，令弦AB的中点为E，而圆心C是线段 的中点，又 ，即有 ， ，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线 ，由 消去x得： ，
则 ， ，点E的纵坐标为 ，
于是得圆C的半径 ，圆心 ，而圆C过点 ，
则有 ，即 ，解得 ，
因此圆C的圆心 ，半径 ，圆C的方程为 .
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点 ，且圆心在直线 上的圆的标准
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即 ，解得 ，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为 ．
故选：D．
变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线
恒过定点P，则与圆C： 有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】直线 ，即 ，
由 解得 ，即 ，圆C： 的圆心 ， ，
所以所求圆的标准方程为 .
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C： 关于直线 对称的圆的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由圆C： ，可知圆心坐标： ，半径为 ，
因为点 关于直线 的对称点为 ，
所以圆C： 关于直线 对称的圆的方程是
，
故选：C
变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也
称“米勒定理”）：若点 是 的 边上的两个定点，C是 边上的一个动点，当且仅当
的外接圆与边 相切于点C时， 最大．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点
F是y轴负半轴的一个动点，当 最大时， 的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当 最大时， 的外接圆与 轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点 ， ，
所以圆心在直线 上，
又圆与 轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为 ， ，
则 ，解得 ，
又 ，所以
所以 的外接圆的方程是 ，
故选：A．
变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，
B，则 的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆 ，得到圆心 ，由题意知O、A、B、P四点共圆， 的外接圆即四边形
的外接圆， 又 ，从而 的中点坐标 为所求圆的圆心， 为所求圆的半径，
所以所求圆的方程为 .
故选：A
变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则 外接圆的
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 外接圆的方程为
则有 ，解之得
则 外接圆的方程为
故选：D
【解题方法总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，
b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，
半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的
交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为 ， ，
又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以 - -4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故选：A．
例5．（2023·高二课时练习）过圆 与 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设圆的方程为 ，
则 ，
即 ，所以圆心坐标为 ，
把圆心坐标 代入 ，可得 ，
所以所求圆的方程为 ．
故答案为： .
例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线 与 的四个交点所在圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据题意得到： ，化简得到答案. ， ，故
，
化简整理得到： ，即 .故答案为： .
变式9．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线 与圆 的交点，
且过点 的圆的方程为 .
【答案】
【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为 ，化简得 .
故答案为： .
变式10．（2023·高二校考课时练习）过两圆 与 的交点和点
的圆的方程是 .
【答案】
【解析】设所求圆的方程为：
将 代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
变式11．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线 与圆
的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【答案】
【解析】可设圆的方程为 ,
即 ,
此时圆心坐标为 ,
当圆心在直线 上时，圆的半径最小，从而面积最小，,
解得 ,
则所求圆的方程为 ，
故答案为 .
变式12．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆 和 的交点，且圆
心在直线 上的圆的方程为
【答案】
【解析】由题可先设出圆系方程； ，则圆心坐标为；
，又圆心在直线 上，可得； 解得 .
所以圆的方程为： .
故答案为： .
变式13．（2023·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆 过直线 和圆 的交点，
且原点在圆 上．则圆 的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意可设圆 的方程为： ，因为原点在圆 上，故
.所以所求圆的方程为 .
考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.
【解题方法总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用
它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线 与直线 相交于点P，则过点P的直
线系方程为：
简记为：
当 时，简记为： （不含 ）
（2）圆系方程：若圆 与圆 相交于A，B
两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为： ，不含当 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的
轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设点 的坐标为 ，因为 点是线段 的中点，
可得 ，点 在圆上，
则 ，即 .
故选：A.
例8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是 ： 上的两个动点，P是线段
的中点，若 ，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 中点为P，所以 ，又 ，所以 ，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为 .
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一
种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯
圆．已知点P到 的距离是点P到 的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
【解析】设点 ，
点P到 的距离是点P到 的距离的2倍，可得 ，
即 ，整理得 ，所以点P的轨迹方程为 ；
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆 内的一点 是圆上两动点，且满足
，求矩形 顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得 ①
又在 中，
有 ②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得 ，即为所求点Q的轨迹方程．
变式15．（1977·福建·高考真题）动点 到两定点 和 的距离的比等于2，求动点P的
轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【解析】由题意可知： ，
又 ， 和 ，所以 ，
化简得 即 ，
所以动点P的轨迹是以 为圆心，半径是4的圆
变式16．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C： .
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(2)从圆C外一点 向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有 ，求点P的轨迹方程.
【解析】（1）由 配方得 ，所以圆C的圆心 ，半径为 ，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为 ，即 ，
则由直线l与圆C相切得 ，解得 或 ，
∴直线l的方程为 或 .
（2）由圆上切点的性质知 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
故点P的轨迹方程为 .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）由圆 外一点 引圆的割线交圆于 两点，求弦
AB的中点M的轨迹方程.
【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法
设弦 的中点 的坐标为 ,连接 、 ,则 ．
在 中,由勾股定理有 ，而 在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为 .
［方法2］：定义法因为 是 的中点,所以 ,所以点 的轨迹是以 为直径的圆,圆心为 ,半径为 ，
所以该圆的方程为: ,化简得
［方法3］：交轨法
易知过 点的割线的斜率必然存在，设过 点的割线的斜率为 ,
则过 点的割线方程为: .
∵ 且过原点,∴ 的方程为
这两条直线的交点就是 点的轨迹.两方程相乘消去 ,化简,得: ，
其中 .
［方法4］：参数法
设过 点的割线方程为: ,它与圆 的两个交点为 、
的中点为 ，设 .
由 可得， ，所以， ，即有
， ，消去 ，
可求得 点的轨迹方程为： ， ．
［方法5］：点差法
设 ,则 .
∵ .两式相减,整理,得 .
所以 ,即为 的斜率，
而 的斜率又可表示为 ,化简并整理,得 .
其中 .【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常
规方法，也是最优解；
方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；
方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；
方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；
方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，平面上一动点 满足： 且
， ．求动点 的轨迹方程；
【解析】设 ，由 ，
所以 ，整理得 ，
即动点 的轨迹方程 ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、
R，且 ．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点 、 、 、 ，
设动点 ， ，
由 知： ，则 ．
当 时，直线AR： ①，直线DQ： ，则 ②，
①×②得： ，化简得 ．
当 时，点P与原点重合，坐标 也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为 ．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知 的斜边为 ，且 .求：
(1)直角顶点 的轨迹方程；
(2)直角边 的中点 的轨迹方程.【解析】（1）设 ，因为 三点不共线，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
所以直角顶点 的轨迹方程为 .
（2）设 ，
因为 ， 是线段 的中点，
由中点坐标公式得 ，所以 ，
由（1）知，点 的轨迹方程为 ，
将 代入得 ，即
所以动点 的轨迹方程为 .
变式21．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的
动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x，y)，则D(2x-1，2y)，
0 0 0 0
由重心坐标公式得 ，
则 代入 ，
整理得
故所求轨迹方程为 .变式22．（2023·高二课时练习）已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为
圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
【解析】（1）设 中点为 ，
由中点坐标公式可知， 点坐标为
∵ 点在圆 上，∴ ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
（2）设 的中点为 ，在 中， ，
设 为坐标原点，则 ，所以 ，
所以 ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或
转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例10．（2023·河南·高三阶段练习）“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】因为方程 ，即 表示圆，
等价于 0，解得 或 .
故“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
例11．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆 的方程为 ，点 不在圆 上，也
不在圆 的圆心上，方程 ，则下面判断正确的是（ ）
A．方程 表示的曲线不存在
B．方程 表示与 同心且半径不同的圆
C．方程 表示与 相交的圆
D．当点 在圆 外时，方程 表示与 相离的圆
【答案】B
【解析】因为 为圆，设 ，点 ，其圆心为 ，半径为 ，
而 的方程为 ，即 ，
因此上述方程中，圆心亦为 ，半径为 ，所以 与圆 是同心且半径不同的圆.
故选：B.
例12．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
【答案】D
【解析】关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
，即 ，且 ， .
故选：D
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】若方程 表示圆，则 ，
解得： 或 .
故选：C
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 表示圆，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为方程 表示圆，
所以 ，解得 .
故选：D
变式25．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆 ：
过坐标原点，则实数 的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】∵ 表示圆，
∴
∴ .
又圆 过原点，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
.
故选:C.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是
（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R【答案】A
【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
变式27．（2023·高二课时练习）若 ，使曲线 是圆，则
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】由题意， ，
因为 ，所以 或 ，
当 时，方程为 ，
化简得 ，
此时 ，不表示圆；
当 时，方程为 ，
化简得 ，
此时 ，表示圆.
所以 .
故选：A
【解题方法总结】
方程 表示圆的充要条件是 ，故在解决圆的一般式方程的有关
问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为 ，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，方程 可以表示圆，则 ，得 ；由点 在圆 的外部可知： ，得 .
故 .
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
则 ，解得： ①，
又∵点 在圆 的外部，
∴ ，即 ，解得 或 ②，
由①②得 ，
故选：B．
例15．（2023·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如图所示：
设 ，因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，
因为点P在圆 上，所以 ，
令 ，得 ，
，即 ，
解得 ，
所以 的最大值为2，
故选：C
变式28．（2023·全国·高二专题练习）点 与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定
【答案】C
【解析】因为 ，所以点在圆外，
故选：C
变式29．（2023·全国·高二专题练习）若点 在圆 的内部，则a的取值范围是
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，半径 ，所以 ，把点 代入方程，
则 ，解得 ，所以故a的取值范围是 .
故选：D
变式30．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则
（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
【答案】D
【解析】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有 ，故 ，
把 代入 ，所以点不在直线l上，故A错误；
又 ，则点 在圆O外，故D正确.
故选：D．
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例16．（2023·高二校考单元测试）若直线 与曲线 有两个不同的交点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 恒过定点 ，
曲线 表示以点 为圆心，半径为1，且位于直线 右侧的半圆（包括点 ，
）．
当直线 经过点 时， 与曲线 有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ；
当 与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 ．
分析可知当 时， 与曲线 有两个不同的交点，
故选：A．
例17．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线 与直线 有两个不同
的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】曲线 整理得 ，
则该曲线表示圆心为 ，半径为1的圆的上半部分，直线 ，即 ，
则令 ，解得 ，则其过定点 ，
如图，当 时，曲线与直线有两个不同的交点，由 ，得 或 ，所以 ，
，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C．
例18．（2023·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线 与曲线 有两个
不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，整理可得 ，其中 ，
所以，曲线 表示圆 的下半圆，如下图所示：
当直线 与曲线 相切时，由图可知， ，
且有 ，解得 ，
当直线 过点 时，则有 ，
由图可知，当 时，直线 与曲线 有两个公共点，
故选：B.变式31．（2023·全国·高二专题练习）直线 与曲线 的交点个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为曲线 就是 或 ，表示一条直线与一个圆，
联立 ，解得 ，即直线 与直线 有一个交点 ；此时，
没有意义.
联立 ，解得 或 ，所以直线 与 有两个交点.
所以直线 与曲线 的交点个数为2个.
故选：B
变式32．（2023·高二单元测试）若两条直线 ： ， ： 与圆 的四
个交点能构成矩形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意直线 平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆 的圆心为： ，
圆心到 的距离为：
，
圆心到 的距离为：
，
所以 ，
由题意 ，
所以 ，
故选：A.变式33．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线 ，要使直线
与曲线 有四个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： ，即 ，即曲线 上的点 为圆 上或圆
外的点，
由 得： 或 ，
由 得： 或 或 或 ，
由此可得曲线 的图象如下图所示，
由图象可知：当 时，直线 与曲线 有四个不同交点；
实数 的取值范围为 .
故选：B.
变式34．（2023·吉林白山·统考二模）若过点 且斜率为k的直线l与曲线 有且只有一个
交点，则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如图，曲线 即 表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线 即 与半圆相切，所以 ，解得 ．
因为 所以 ，
又直线l与曲线 有且只有一个交点，所以 或 ，
所以实数k的取值范围是
故选：B
变式35．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与曲线 有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 表示的曲线是圆心为 ，半径为 的圆在 轴以及右侧的部分，如图所示：
直线 必过定点 ，
当直线 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即 ，结合直线与半圆的相切可得 ，
当直 的斜率不存在时，即 时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，则 .
故选：B.
变式36．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于点
对称，当 时， ，若方程 的所有根的和为6，则实数k的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程 的根转化为
和 的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点 对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为 时， ，
所以 ，所以图象为圆的一部分，
作出 和 的图象如图所示．
当 时，只需直线 与圆 相切，
所以 ，可得 ；
当 时，只需直线 与圆 相离，
所以 ，解得得 或 （舍）．
故k的取值范围是 ．故选：A．
变式37．（2023·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称
为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域 ．其
中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数 ，则当 时，
下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当 时， ，即表示圆 内部及
边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当 时， ，即表示圆 外部及边界，满
足；
当 时， ，即表示圆 的内部及边界，满足，故正
确；
对于B选项，当 时， ，即表示圆 内部及边界，
显然不满足，故错误；
对于D选项，当 时， ，即表示圆 外部及边界，
显然不满足，故错误；
故选：C
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需
对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例19．（2023·高二单元测试）圆 关于直线 对称，则 ．【答案】3
【解析】由 可得圆的标准方程为： ，
则由题意得直线 过圆心 ，代入直线方程有 ，解得 ，
故答案为：3.
例20．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆 关于直线 对称，圆
交 于 、 两点，则
【答案】2
【解析】圆 ，即 ，圆心 ，半径 ，
因为圆 关于直线 对称，所以 ，解得 ，
所以 ，圆心 ，半径 ，
则圆心 到 轴的距离 ，所以 .
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圆 上存在两点关于直线 对称，所以直线过圆心，有
，即 .
，当且仅当 ，即 时等号成立.
∴ ，即 ，所以 时， 的最小值
为2.
故答案为：2
变式38．（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D： 关于直线
对称，则圆C的方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
设圆C的圆心为 ，
又因为圆C与圆D关于直线 对称，
即圆心 与 关于直线 对称，所以 ，解得 ，
所以，圆C的方程为
变式39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由圆的对称性可得，直线 必过圆心 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
则 的最小值是16
故答案为：16
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图像上有且仅有两个不同的点关
于直线 的对称点在 的图像上，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由 ，解得 ，
又 关于直线 的对称直线为 ，
则题设等价于函数 的图像和 的图象有两个交点.易得 等价于 ，
画出 和 的图象，设直线 和 相切，
由 ，解得 或 （舍），
又当直线 过点 时， ，
结合图象可知，当 时，
函数 的图像和 的图象有两个交点.
故答案为： .
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的标准方程是 ，圆
关于直线 对称，则圆 与圆 的位置关系为 ．
【答案】相交
【解析】由圆 的方程知其圆心 ，半径 ；
由圆 的方程知其圆心 ，半径 ；
圆 关于直线 对称，
直线 过圆心 ，即 ，解得： ，
圆心 ， ；
两圆圆心距 ，则 ，
又 ， ， ，即 ，
圆 与圆 相交.
故答案为：相交.
变式42．（2023·全国·高三专题练习）若圆 关于直线 和直线
都对称，则D＋E的值为 ．
【答案】4
【解析】圆 的圆心为 ，
因为圆 关于直线 和直线 都对称，所以圆心在直线 上，也在直线 上，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：4
变式43．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知直线 与曲线 交于两点，且这
两点关于直线 对称， .
【答案】1
【解析】∵直线 与曲线 交于两点，且这两点关于直线 对称，
∴圆心 在直线 上，
∴ ，
又∵两直线垂直，
∴ ,
∴ .
故答案为：1
【解题方法总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，
则 的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】
【解析】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，
由题意可知 ，由韦达定理可得 ， ，所以，线段 的中点为 ，设圆心为 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，则 ，
所以，圆 的方程为 ，
整理可得 ，
方程组 的解为 .
因此， 的外接圆恒过的定点坐标为 .
故答案为： .
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交
点，经过这三个交点的圆记为 ，则圆 经过定点的坐标为 （其坐标与 无关）
【答案】 和
【解析】二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为 ，
易知 ， 满足 ， ， ， ，设圆 方程为
，则
，
①－②得 ， ，∴ ，从而 ，
代入③得 ，
∴圆 方程为 ，
整理得 ，
由 得 或 ．
∴圆 过定点 和 ．
例24．（2023·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过
点 ．
【答案】（2，0）【解析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，
从而解决问题．
抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为（2，0）．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运
算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
变式44．（2023·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，
则此动圆必过定点____
【答案】
【解析】设动圆的圆心到直线 的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线 上，且抛物线的准线为 ，
所以动圆圆心到直线 的距离与到焦点 的距离相等，
所以点 一定在动圆上，即动圆必过定点 .
故答案为： .
变式45．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点
坐标为 ．
【答案】 或
【解析】 ，即 ，
令 ，解得 ， ，或 ， ，
所以定点的坐标是 或 ．
故答案为： 或 .
变式46．（2023·江西·高考真题）设有一组圆 ： ．下列四个命题其
中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④【解析】根据题意得：圆心坐标为 ，
圆心在直线 上，故存在直线 与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆 ：圆心 ，半径为 ，
圆 ：圆心 ，即 ，半径为 ，
两圆的圆心距 ，
两圆的半径之差 ，
任取 或 时，（ ）， 含于 之中，选项①错误；
若 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将 带入圆的方程,则有 ，即 （ ），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
变式47．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒过定点，则其坐
标为 .
【答案】 、
【解析】由 由得 ，故 ，解得
或 .
故填： 、 .
【解题方法总结】
特殊值法
1．（2023•乙卷）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是
A． B．4 C． D．7
【答案】
【解析】根据题意， ，即 ，其几何意义是以 为圆心，半径为3的圆，
设 ，变形可得 ，其几何意义为直线 ，
直线 与圆 有公共点，则有 ，解可得 ，
故 的最大值为 ．
故选： ．
2．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【解析】如图示：
半径为1的圆经过点 ，可得该圆的圆心轨迹为 为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结 ， 在 上且 ，此时距离最小，
由 ，得 ，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选： ．
3．（2020•新课标Ⅲ）在平面内， ， 是两个定点， 是动点．若 ，则点 的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设 ， ，设 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
解得 ，所以点 的轨迹为圆．
故选： ．
