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第 54 讲 空间角与距离的计算（1）
1. 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为
直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l∥l n∥n⇔n＝λn
1 2 1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n ＝ 0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,
l∥α,n⊥m⇔ n·m ＝ 0
l⊥α,n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m,
α∥β,n∥m⇔n＝λm
α⊥β,n⊥m⇔ n·m ＝ 0 3. 异面直线所成的角
3.设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则
1 2
a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
1 2
范围 (0，π)
a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
1 2
求法 cosβ＝ cosθ＝|cos β|＝
4. 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝ | cos 〈 a ， n 〉 |
＝.
5. 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ 〈 AB ，
CD 〉
①
②
③
(2)如图②③，n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
1 2
|cos θ|＝ | cos 〈 n ， n 〉 |，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角)．
1 2 1 21、【2021年新高考1卷】在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】BD
【解析】
易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故A错误；
对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ， 平面
，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点
轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则， ， ，所以 或 ．故 均满足，故
C错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为
线段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以
，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
2、【2018年新课标2卷理科】在长方体 中， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
1
,所以 ,
因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选C.
3、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
【解析】(1)
证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，
因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
1
所以AE=BF= ，
2
√3
故DE= ，BD=√DE2+BE2=√3，
2
所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；
(2)如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
BD=√3，则A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,0,√3)，
则⃗AP=(−1,0,√3),⃗BP=(0,−√3,√3),⃗DP=(0,0,√3)，设平面PAB的法向量⃗n=(x,y,z)，
→ →
n⋅AP=−x+√3z=0 ⃗n⋅⃗DP √5
则有{ ，可取⃗n=(√3,1,1)，则cos〈⃗n,⃗DP〉= = ，
→ → |⃗n||⃗DP| 5
n⋅BP=−√3 y+√3z=0
√5
所以PD与平面PAB所成角的正弦值为 .
54、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的
中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角
的正弦值．
【解析】(1)
因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE,BE⊂平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，
因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2)连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，
1
所以AC⊥EF，所以S = AC⋅EF，
△AFC 2
当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小.
因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，
又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，
因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=√3，1
因为AD⊥CD，所以DE= AC=1,在△DEB中，DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE.
2
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，
则A(1,0,0),B(0,√3,0),D(0,0,1)，所以⃑AD=(−1,0,1),⃑AB=(−1,√3,0)，
设平面ABD的一个法向量为⃑n=(x,y,z)，
则¿，取y=√3，则⃑n=(3,√3,3)，
( √3 3) ( √3 3)
又因为C(−1,0,0),F 0, , ，所以⃑CF= 1, , ，
4 4 4 4
⃑n⋅⃑CF 6 4√3
cos⟨⃑n,⃑CF⟩= = = ( π)
所以 |⃑n||⃑CF| √7 7 ，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为θ 0≤θ≤ ，
√21× 2
4
4√3 4√3
所以sinθ=|cos⟨⃑n,⃑CF⟩|= ，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为 .
7 7
5、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A B C 的体积为4，△A BC的面积为2√2．
1 1 1 1
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A−BD−C的正弦值．
1 1 1 1 1
【解析】(1)
在直三棱柱ABC−A B C 中，设点A到平面A BC的距离为h，
1 1 1 11 2√2 1 1 4
则V = S ⋅ℎ = ℎ =V = S ⋅A A= V = ，
A−A 1 BC 3 △A 1 BC 3 A 1 −ABC 3 △ABC 1 3 ABC−A 1 B 1 C 1 3
解得ℎ =√2，所以点A到平面A
1
BC的距离为√2；
(2)取A B的中点E,连接AE,如图，因为A A =AB，所以AE⊥A B,
1 1 1
又平面A BC⊥平面ABB A ，平面A BC∩平面ABB A =A B，
1 1 1 1 1 1 1
且AE⊂平面ABB A ，所以AE⊥平面A BC，
1 1 1
在直三棱柱ABC−A B C 中，BB ⊥平面ABC，
1 1 1 1
由BC⊂平面A BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB ⊥BC，
1 1
又AE,BB ⊂平面ABB A 且相交，所以BC⊥平面ABB A ，
1 1 1 1 1
所以BC,BA,BB 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
1
由（1）得AE=√2，所以A A =AB=2，A B=2√2，所以BC=2，
1 1
则A(0,2,0),A (0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A C的中点D(1,1,1)，
1 1
则⃗BD=(1,1,1)，⃗BA=(0,2,0),⃗BC=(2,0,0),
⃗m⋅⃗BD=x+ y+z=0
设平面ABD的一个法向量⃗m=(x,y,z)，则{ ，
⃗m⋅⃗BA=2y=0
可取⃗m=(1,0,−1)，
⃗m⋅⃗BD=a+b+c=0
设平面BDC的一个法向量⃗n=(a,b,c)，则{ ，
⃗m⋅⃗BC=2a=0
可取⃗n=(0,1,−1)，
⃗m⋅⃗n 1 1
则cos〈⃗m,⃗n〉= = = ，
|⃗m|⋅|⃗n| √2×√2 2
√ 1 2 √3
所以二面角A−BD−C的正弦值为 1−( ) = .
2 26、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．
【解析】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，
因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，
所以PO⊥AO、PO⊥BO，
又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，
又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，
所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以
OE//PD，
又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE//平面PAC
(2)过点A作Az//OP，如图建立平面直角坐标系，
因为PO=3，AP=5，所以OA=√AP2−PO2=4，又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=4√3，
( 3)
所以AC=12，所以O(2√3,2,0)，B(4√3,0,0)，P(2√3,2,3)，C(0,12,0)，所以E 3√3,1, ，
2
( 3)
则⃑AE= 3√3,1, ，⃑AB=(4√3,0,0)，⃑AC=(0,12,0)，
2
设平面AEB的法向量为⃑n=(x,y,z)，则¿，令z=2，则y=−3，x=0，所以⃑n=(0,−3,2)；设平面AEC的
法向量为⃑m=(a,b,c)，则¿，令a=√3，则c=−6，b=0，所以⃑m=(√3,0,−6)；所以
⃑n⋅⃑m −12 4√3
cos⟨⃑n,⃑m⟩= = =−
|⃑n||⃑m| √13×√39 13
设二面角C−AE−B为θ，由图可知二面角C−AE−B为钝二面角，
4√3 11
所以cosθ=− ，所以sinθ=√1−cos2θ=
13 13
11
故二面角C−AE−B的正弦值为 ；
13
1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)
C. D.
【答案】：C
【解析】：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，
则化简得
∴x＝y＝z.故选C.
2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交
【答案】：C
【解析】：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，
∴a·n＝0，即a⊥n，
∴l∥α或l⊂α.
3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°【答案】：C
【解析】：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.
∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.
4、在直三棱柱ABC－ABC 中，∠BCA＝90°，M，N分别是AB，AC 的中点，BC＝CA＝CC ，则BM与
1 1 1 1 1 1 1 1
AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】： C
【解析】：以点C为坐标原点，CA，CB，CC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
1
坐标系．
设BC＝CA＝CC ＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴BM＝(1，－1，2)，
1
AN＝(－1，0，2)．
∴cos〈BM，AN〉＝
＝＝
＝.
考向一 运用向量研究异面直线所成的角
例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，
AD＝2，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，，1)，
所以AE＝(1，，1)，BC＝(0，2，0).
设AE与BC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，所以θ＝45°，
所以异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则
（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
A B C D
【解析】对于选项A,连接 ,由正方体可得 ,且 平面 1 1 1 1,则 ,所以
平面 ,故 ；同理,连接 ,易证得 ,则 平面 ,故A正确；
对于选项B, ,因为点 在线段 上运动,所以 ,面积为定值,且 到平
面 的距离即为 到平面 的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；
对于选项C,当点 与线段 的端点重合时, 与 所成角取得最小值为 ,故C错误；
对于选项D,因为直线 平面 ,所以若直线 与平面 所成角的正弦值最大,则直线 与直线 所成角的余弦值最大,则 运动到 中点处,即所成角为 ,设棱长为1,在 中,
,故D正确
故选：ABD
变式2、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-ABC ，CA＝CC ＝2CB，则直线BC 与直线AB 所成
1 1 1 1 1 1
角的余弦值为________．
【答案】
【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC ＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C (0，2，0)，A(2，0，0)，
1 1
B(0，2，1)，所以BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC1，AB1〉＝＝＝＝＞0，所以
1
BC1与AB1的夹角即为直线BC 与直线AB 的夹角，所以直线BC 与直线AB 所成角的余弦值为.
1 1 1 1
方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确
定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦
值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
考向二 运用向量研究直线与平面所成的角
例2、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，
， ， ， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【解析】【小问1详解】
证明：连接 交 于 ，则 是 的中点，连接 ， 是 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 与 相交于点 ， 平面 ，所以平面 平面 ．
【
小问2详解】连接 ，因为四边形 是菱形，所以 ，
又 ， ，所以 为等边三角形，所以 ，又 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设面 的法向量为 ，
依题意有 ，则 ，令 ， ， ，则 ，
所以 ，
所以直线 与面 成 角的的正弦值是 ．
变式1、如图，在直棱柱ABCD-ABC D 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA＝3.
1 1 1 1 1
(1) 求证：AC⊥BD；
1
(2) 求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值．
1 1 1【解析】 (1) 易知AB，AD，AA 两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA 所在直线分别为x
1 1
轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t(t>0)，则有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B(t，0，3)，C(t，1，
1
0)，C (t，1，3)，D(0，3，0)，D(0，3，3)，所以B1D＝(－t，3，－3)，AC＝(t，1，0)，BD＝(－t，3，0).
1 1
因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，
所以B1D＝(－，3，－3)，AC＝(，1，0).因为AC·B1D＝－3＋3＋0＝0，
所以AC⊥B1D，即AC⊥BD.
1
(2) 由(1)，知AD1＝(0，3，3)，AC＝(，1，0)，B1C1＝(0，1，0).
设n＝(x，y，z)是平面ACD 的法向量，
1
则即令x＝1，则n＝(1，－，).
设直线BC 与平面ACD 所成的角为θ，
1 1 1
则sin θ＝|cos 〈n，B1C1〉|＝＝＝，即直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值为.
1 1 1
变式2、（山东省临沂市高三上期末）如图，在四棱锥P-ABCD中， 平面PCD， ，
， ，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明： 平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
【解析】（1）证明： 平面PCD， 平面 ， ，
， 为 的中点，则 且 .
四边形BCDE为平行四边形， ， .
又 ，且E为AD的中点， 四边形ABCE为正方形， ，又
平面 ，
平面 ，则 .
平面 平面 ， ，
又 ， 为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点， 且 平面ABCD.
（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设 ，则 ,
则 .
设平面PBD的法向量为 ，则 即 即
令 ，得 .
设BC与平面 所成角为 ，
则
方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求
两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹
的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
考向三 运用向量研究二面角
例3、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形，
点 为棱 的中点， 为边 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）若侧面 底面 ，且 ， ，求平面 与平面
的夹角的余弦值.
【解析】【小问1详解】取线段 的中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 且 ，
∵底面 是菱形，且 为 的中点，∴ 且 ，∴ 且 .
为
∴四边形 平行四边形，∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
【小问2详解】连接 ，由 得 是等边三角形，
∴ ，∵侧面 底面 ，侧面 底面 ， 底面 ，
∴ 侧面 ，因为 ， ，
由余弦定理的： ，
解得： ，以 为原点建立空间坐标系 ，如图所示.
则 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 .设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，解得： ，令 ，则 ，
故 ，
∴ ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥 中， 为直角梯形， ，
，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
， 为 上一点，且 .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【解析】
（1）连接 交 于点 ,连接 ,
因为 ,所以 与 相似,所以 ,
又 ,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以直线 平面
（2）由题,因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , ,
所以 平面 ,
以 为坐标原点, 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向,与 均垂直的方向作为 轴的正方
向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
因为 , ,
则 , , , ,
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ,则,即 ,
令 ,得 , ,于是 ,
设平面 的一个法向量为 ,则
,即 ,
令 ,得 , ,于是 ,
设二面角 的平面角的大小为 ,则 ,
所以二面角 的余弦值为
变式2、（山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为 的三棱柱 中，平面 平面
， ， 为 与 的交点．（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【解析】（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（2）因为 ，所以菱形 为正方形，
在 中， ，在 中， ， ，
，
所以， ，又 ， ，所以， 平面 ；
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系 .
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 ，则
令 ，得 ，
令 ，得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
方法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平
面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的
大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向
量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
1、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC
＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝ ，E为PD中点，AF⊥PC，
垂足为F．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与CE所成的角；
（3）求证：PD⊥EF．
【详解】解：（1）证明：因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ，
为
因为 ，所以 ，因 ，所以 ，
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
（2）取 中点 ，连接 ， ，因为 ， 为 ， 的中点，所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 为异面直线 与 所成角，所以 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角为 ，
（3）证明：因为 ， ， ， 平面
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
2、 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ,
于点 ，连接 .（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
【详解】（1）证明： 平面 平面 .
四边形 为矩形， 平面 ,平面 ,
平面 . 平面 ， .
平面 平面 ,
平面 .又 平面 , ；
（2）如图所示，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
则 .
.
设平面 的一个法向量为 ，由 可得 ；
令 ，得 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
直线 与平面 所成的角的余弦值为 .3、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平
行四边形，E为CD的中点， .（1）证明： ；
（2）若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 ，求直线EF与平面PAE所
成角的正弦值.
【解析】【小问1详解】
由 平面 ， 平面
又 ，E为CD的中点
又
， .又 ， 平面
平面 . 又
.
【小问2详解】由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.
因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
CD=12，AC=
.
设平面PAE的一个法向量为
由 得，
令 则
设直线EF与平面PAE所成的角为4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形，
， ， 平面 ，
（1）求 与 所成的角
（2）平面 与平面 所成的锐二面角余弦值
【解析】【小问1详解】由 ，可得 ⊥ ，又 平面 ，
故以 分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 ，
由 ，
则 ，所以 ，
所以 与 所成的角是 ；
【小问2详解】由题意 为平面 的一个法向量，
设 为平面 的一个法向量， ，
由 ，令 ，则 ，
故 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角余弦值是 .
