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第 69 讲 圆锥曲线中的定点问题
题型一 圆锥曲线中的直线过定点问题
例1、（2023·山西·统考一模）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，焦点到渐近
线的距离为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，证明直线 过定点.
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】(1)根据双曲线过点 和焦点到渐近线的距离为 列出方程组，解之即可；
(2)设直线 的斜率为 ，由题意直线 的斜率为 ，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理
求出 ， 两点的坐标，再求出 ， 两点所在的直线方程即可求解.
【详解】（1）由双曲线 可得渐近线为 ，
不妨取渐近线 即
由焦点到渐近线的距离为 可得 ，即
由题意得 ，得 ，
从而双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由题意可知：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线方程 得 ，于是 ，从而 ，从而 ，
联立直线 与双曲线方程 得 ，
于是 ，从而 ，从而 ，
于是 ，
从而 ，
化简得 ，从而 过定点 .
变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆 的右顶点为A（2，0），
右焦点F到右准线l的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定
点.
【解析】 (1)由题意知， ，设椭圆的焦距为 ，则 ，解得 ，所以， ，
所以，椭圆C的标准方程
(2)
设直线 的方程为： .
由 ，得 ，设 ，
则 ， .所以， ， ，
因为直线 的方程为： ，
令 ，得 ，所以， ，同理可得 ，
以 为直径的圆的方程为： ，
即 ，
因为圆过点 ，所以， ，得 ，代入得
，化简得，
，解得 或 (舍去)
所以直线 经过定点
变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆 ： 的左焦点为 ，
且离心率 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 ，直线 （不经过点 ）与椭圆 相交于 ， 两点，与 交于点 ，设直线 ， ，
的斜率分别为 ， ， ，且 ．证明：直线 过定点，并求出该点的坐标．
【解析】 (1)由题设， ，又 ， ，可得 ， ，
则椭圆 的方程为 .(2)由题意，设直线 为 ， ， ，则 ，
所以 ， ， ．
联立直线与椭圆有 ，整理得 ，
由 得： ， ， ．
而 ，又 ，
则 ，整理得 ，
当 时， ，过定点 ，此时 才满足题设，不符合；
当 时， ，过定点 ，符合．
故直线 过定点 ．
变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)设 ，直线 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 与C交于另一点D，求证：
直线 过定点.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）可设双曲线的方程为 ，将点 代入求出 ，即可得解；（2）可设直线 为 ， ，联立 ，消 ，利用韦达定理求
得 ，然后求出直线 的方程，整理分析即可得出结论.
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为 ，
则可设双曲线的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ；
(2)
解：显然直线 的斜率不为零，
设直线 为 ， ，
联立 ，消 整理得 ，
依题意得 且 ，即 且 ，
，
直线 的方程为 ，
令 ，
得.
所以直线 过定点 .
题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题
例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的直线与
交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】（1）根据题意，可得 ， ，进而求解；
（2）设 方程为 ， ，联立直线和双曲线方程组，可得
，以 为直径的圆的方程为 ，由对称性知以
为直径的圆必过 轴上的定点，进而得到 ，进而求解.
【详解】（1）当 轴时， 两点的横坐标均为 ，
代入双曲线方程，可得 ， ，即 ，
由题意，可得 ，解得 ， ， ，双曲线 的方程为： ；
（2）方法一：设 方程为 ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，令 ，可得
，
而 ，
，
对 恒成立， ，
以 为直径的圆经过定点 ；
方法二：设 方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点.设以 为直径的圆过 ，
，
而
，
，
，即 对 恒成立，
，即以 为直径的圆经过定点 .
变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆 为椭圆的左､右焦点，焦距为 ，
点 在 上，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 交椭圆于 两点，以 为直径的圆是否恒过 轴上的定点 ？若存在该
定点，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)以 为直径的圆恒过 轴上的定点 .
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出 ，再根据面积的最值求出 ，即得椭圆的方程；
（2）当直线 的斜率为0时，圆与 轴的交点为 ；当直线 的斜率不为0时，设直线.联立直线和圆的方程得到韦达定理，得到 ，即
，解方程 ，且 即得解.
(1)
解：由椭圆 的焦距为 ，可得 ，即 .
设点 的纵坐标为 的面积 ，
其中 ，根据 面积的最大值为 ，可得 .
由椭圆的性质可得： .
于是椭圆 的方程为 .
(2)
解：当直线 的斜率为0时，以 为直径的圆的方程为
圆与 轴的交点为
当直线 的斜率不为0时，设直线 .
将直线 与椭圆 联立，可得 .
设点 的坐标分别为 ，则有
以 为直径的圆的方程为
令 ，可得： ①.其中 ②，
③.
②③代入①可得 ④.
式子④可变换为 ⑤.
当 ，且 时，⑤式成立，可解得 .
综上可得，以 为直径的圆恒过 轴上的定点
变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物
线上点A的横坐标为1，且⃑FA⋅⃑OA=4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 分别交直线OM，ON于
点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(p )
（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程 ，焦点为F ,0 ，抛物线上点A的横
2
( p )
坐标为1，可设出点 坐标含有未知数 ，再由⃑FA⋅⃑OA=4可列出 1− ,y ⋅(1,y)=4，再由
2
，代入即可解得 ，即可求出抛物线方程.
(
y2
) (
y2
)
（2） 由题意设直线l：y=k(x−1)(k≠0)，M 1,y ，N 2,y ，再把抛物线与直线进行联立消 ，
4 1 4 24 ( 4 ) ( 4 )
得y y =−4.直线OM的方程为y= x，与 联立可得：A 1, ，同理可得B 1, ，可写出圆
1 2 y y y
1 1 2
心和半径进而写出圆的方程，在令 ，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
(1)
(p )
由题意可设抛物线方程为 ，A(1,y)､F ,0 ，
2
( p ) p
由⃑FA⋅⃑OA=4.可得 1− ,y ⋅(1,y)=4，即1− +2p=4.解得
2 2
抛物线方程为： .
(2)
(
y2
) (
y2
)
设直线l：y=k(x−1)(k≠0)，M 1,y ，N 2,y ，
4 1 4 2
{ y2=4x
由 联立得，k y2−4 y−4k=0.
y=k(x−1)
则y y =−4.
1 2
4 ( 4 ) ( 4 )
直线OM的方程为y= x，与 联立可得：A 1, ，同理可得B 1,
.
y y y
1 1 2
以AB为直径的圆的圆心为(1,
2(y
1
+ y
2
)
)，半径为r=
√ (4(y
2
−y
1
)) 2
，则圆的方程为
y y y y
1 2 1 2
(x−1) 2+ ( y− 2(y 1 + y 2 )) 2 = (4(y 2 −y 1 )) 2 . 令 .则(x−1) 2+ 16 =0 .
y y y y y y
1 2 1 2 1 2
即(x−1) 2=4，解得 或x=3.
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点(−1,0)， .
题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线 ： 与椭圆 ： 相交于
， 两点， ，
（1）证明椭圆过定点 ，并求出 的值；
（2）求弦长 的取值范围．
【分析】（1）设 ， ，将直线l与曲线C联立，根据韦达定理，可得 表达
式，又 ，可得 坐标，代入数量积公式，即可求得 ，即可得定点坐标，即可
得答案.
（2）根据（1），利用弦长公式，可得 表达式，由 ，化简整理可得
，根据 范围，分析可得 的取值范围.
【解析】（1）设 ， ，
联立直线与椭圆方程： ，整理得 ，
∴ ，则 ，又 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即椭圆过定点 ， ， ， ，
所以
（2）
（ ）
由 得： ，∴ ，
带入 式有
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，所以
所以 的取值范围
