文档内容
第 60 讲 两条直线的位置关系
知识梳理
1. 斜率存在的两条直线平行与垂直
若l：y＝kx＋b，l：y＝kx＋b，
1 1 1 2 2 2
则l∥l⇔k＝k，b≠b；
1 2 1 2 1 2
l⊥l⇔k·k＝－1；
1 2 1 2
l 与l 重合⇔k＝k，b＝b．
1 2 1 2 1 2
2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线l ：Ax＋B y＋C ＝0，l ：Ax＋B y＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0，A ，B 不同时为0)，则
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
l∥l⇔AB ＝AB 且AC ≠AC ；l⊥l⇔AA＋B B ＝0．
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
3. 两直线的交点
直线l：Ax＋B y＋C ＝0与l：Ax＋B y＋C ＝0的公共点的坐标与方程组
1 1 1 1 2 2 2 2
的解一一对应．
(1)相交⇔方程组有一组解；
(2)平行⇔方程组无解；
(3)重合⇔方程组有无数组解．
4. 已知两点P(x，y)，P(x，y)，则两点间的距离为d＝．
1 1 1 2 2 2
5. 设点P(x ，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则点P到直线l的距离为d＝
0 0
．
6. 两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0)之间的距离d＝．
1 1 2 2
7.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点 到直线
距离最大，即可求得结果.【详解】
由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
1、(2022·广东模拟)已知a∈R，则直线l ：x＋ay－1＝0与直线l ：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要条件是(
1 2
)
A. a≠0 B. a＝0
C. a＝－1 D. a＝0或a＝－1
【答案】 C
【解析】 由题设，得a(1－a)－2a＝0，解得a＝0或a＝－1.当a＝0时，l ：x＝1，l ：x＝1，两条直线重
1 2
合；当a＝－1时，l：y＝x－1，l：y＝x－，则l∥l.综上可得a＝－1.
1 2 1 2
2、(2022·潍坊二模)已知直线l：x－3y＝0，l：x＋ay－2＝0，若l⊥l，则a的值为( )
1 2 1 2
A. B. － C. 3 D. －3
【答案】 A
【解析】 因为l⊥l，所以·＝－1，解得a＝.
1 2
3、 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．
【答案】 －1
【解析】 由题意，得＝1，所以|a＋1|＝.又a>0，所以a＝－1.
4、若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
【答案】
【解析】 由得即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8).又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝
ax－2交于一点，所以－8＝－9a－2，解得 a＝.
考向一 两条直线的位置关系
例1、(1)已知直线l：x＋2ay－1＝0，l：(a＋1)x－ay＝0，若l∥l，则实数a的值为( )
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A．－ B．0 C．－或0 D．2
(2)已知两条直线l：(a－1)x＋2y＋1＝0，l：x＋ay＋3＝0垂直，则a等于( )
1 2
A．1 B． C．0 D．0或
【答案】：(1)C (2) B【解析】：(1)若a≠0，则由l∥l⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l∥l，故选C．
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(2)由l 与l 垂直可知，×＝－1，解得a＝，故选B．
1 2
变式1、已知直线l：ax＋2y＋3＝0和直线l：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
1 2
(1) 当l∥l 时，求实数a的值；
1 2
(2) 当l⊥l 时，求实数a的值．
1 2
【解析】 (1) 由题意，得解得a＝－1或a＝2，所以当l∥l 时，a的值为－1或2.
1 2
(2) 由题意，得a＋2(a－1)＝0，解得a＝.
变式2、（1）（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） “ ”是“直线 与
平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
充分性：当 时，直线 与 即为： 与 ，
所以两直线平行.故充分性满足；
必要性：直线 与 平行，则有： ，解得： 或
.
当 时，直线 与 即为： 与 ，所以两直
线平行，不重合；
当 时，直线 与 即为： 与 ，所以两直
线平行，不重合；
所以 或 .
故必要性不满足.
故“ ”是“直线 与 平行”的充分不必要条件.
故选：A
（2）（2023·广东揭阳·统考模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若直线 与直线 平行，则 且 ，
因为“ ” “ 且 ”，
但“ ” “ 且 ”，
因此，“ ”是“直线 与直线 平行”的必要不充分条件.
故选：B.
方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在
的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
考向二 两条直线的交点问题
例 2、已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－x＋2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】 如图，已知直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).直线y＝kx＋2k＋1可变形
为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，
所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足k ＜k＜k .因为k ＝－，k
PA PB PA PB
＝，所以－＜k＜.
变式1、三条直线l ：x－y＝0，l ：x＋y－2＝0，l ：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(
1 2 3
)
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
【答案】C
【解析】)由l ∥l 得k＝5；由l ∥l ，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l ，l 的交
1 3 2 3 1 2
点(1,1)在l 上，则k＝－10.若l ，l ，l 能构成一个三角形，则k≠±5，且k≠－10，故选C.
3 1 2 3
变式2、求经过直线l：3x＋2y－1＝0和l：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l：3x－5y＋6＝0的直线
1 2 3
l的方程．【解析】：方法一 先解方程组得l，l 的交点坐标为(－1，2)，
1 2
再由l 的斜率求出l的斜率为－，
3
于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0．
方法二 由于l⊥l，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，
3
而l过l，l 的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
1 2
故l的方程为5x＋3y－1＝0．
方法三 由于l过l，l 的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
1 2
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0．其斜率为－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0
方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点
的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0
垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l ：A x＋B y＋C ＝0与l ：A x＋B y＋C ＝0的交点
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的直线系方程为A x＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0(λ∈R)，但不包括l .
1 1 1 2 2 2 2
考向三 两直线及点到直线的距离问题
例3、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线
满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k
－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此时l的方
程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kk ＝－1.∴k＝－＝
l OP l
2.由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在与原点距离超过的直线，∴不存在过P点且与原点距离为6的直线．
变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）若直线 与 垂直，直线
的方程为 ，则 与 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【详解】因为直线 与 垂直，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由平行线间的距离公式可得 .
故选：C.
变式2、(1) 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为 .
【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
【解析】 设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得＝，所以k＝2或k＝－，所
以所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
(2) 若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为 .
【答案】±1
【解析】 由题意得＝≠，所以a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，所以＝，解得c＝2
或c＝－6，所以＝－1或＝1.
变式3、已知直线l经过直线l：2x＋y－5＝0与直线l：x－2y＝0的交点P.
1 2
(1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2) 求点A(5，0)到直线l距离的最大值．
【解析】 (1) 由解得
所以P(2，1).
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.
由点A(5，0)到直线l的距离为3，得＝3，
解得k＝，此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2) 由(1)，得交点 P(2，1)，如图，过点 P 任意作一条直线 l，设 d 为点 A 到直线 l 的距离，则
d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，所以d ＝PA＝＝.
max方法总结：1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行
线间的距离公式．
考向四 直线的对称性
例4、已知直线l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程；
(2) 求直线l：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程．
1 2
【解析】 (1) 设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.在直线l上取点B(0，1)，则点B(0，1)关于点A(1，1)
的对称点C(2，1)必在所求的直线上，所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
(2) 由解得即交点为P(2，0).
在直线l 上取点M(0，－2)，点M关于直线l的对称点设为N(a，b)，
1
则由得N，
所以直线l 的方程为7x－y－14＝0.
2
变式1、 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6
＝0，则BC边所在的直线方程为______________；
【答案】 12x－31y－31＝0
【解析】 设点A关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则联立方程组即
解得即A′.
由题意，得点A′在直线BC上，
所以直线BC的方程为y＝x－1，整理，得12x－31y－31＝0.
变式2、 如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再
经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．
【答案】 2
【解析】 由题意，得直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P(2，0)
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为CD＝＝2.变式3、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【解析】：(1)设A′(x，y)，再由已知解得∴A′(－，)．
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则解得M′(，)．
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0．
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0
方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对
称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线
与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上
找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线
的交点．
1、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为
x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为，，则||＝
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得，菱形两组对边间的距离相等，则＝，解得||＝，故答案选B．
2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知两点 ， ，动点 在直线 上运
动，则 的最小值为（ ）
.
A B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点 关于直线 的对称点 ，
连接 ，则 即为 的最小值，且 .
故选： .
mR A mx y 0 B
3、（2020·山东高三开学考试）已知 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
xmym30 PA 3 PB
交于点P，则 的取值范围是（ ）
10,2 10 10, 30
A． B．
10, 30 10,2 10
C． D．
【答案】D
【解析】
mx y 0
A0,0
xmym30
动直线 过定点 ，动直线
x3my10 B3,1
即 过定点 ，且此两条直线垂直．
| AB| 12 32 10,
∴点P在以AB为直径的圆上， ，
设∠ABP＝ ，则|PA| 10sin,|PB| 10cos， [0， 2 ]
θ θ∈
|PA| 3|PB| 10sin 30cos2 10sin
3 ，
5
∵ [0， 2 ]，∴ + 3 [ 3 ， 6 ]，
θ∈ θ ∈ 1
∴sin（ + ） [ ，1]，
3 2
θ ∈
2 10sin
∴ 3 [ 10 ，2 10 ]，
∈
故选：D．
4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）已知直线 和点 ，过
点A作直线 与直线 相交于点B，且 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为点B在直线 ： 上，设点 ，
因为 ，则 ，解得 或 ，
则B点坐标为 或 ，
当B点坐标为 时，直线 的方程为 ；
当B点坐标为 时，直线 的方程为 ，即 .
故选：AC.
5、(2022·苏州模拟)已知直线l：ax－y＋1＝0，l：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是( )
1 2
A．不论a为何值时，l 与l 都互相垂直
1 2
B．当a变化时，l 与l 分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
1 2
C．不论a为何值，l 与l 都关于直线x＋y＝0对称
1 2D．如果l 与l 交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
1 2
【答案】 C
【解析】对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l 与l 互相垂直恒成立，故A正确；
1 2
对于B，直线l：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
1
所以l 恒过定点A(0,1)；
1
l：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l 恒过定点B(－1,0)，故B正确；
2 2
对于C，在l 上任取点，
1
其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，
代入l：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
2
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝
＝≤，
所以|MO|的最大值是，故D正确．
6、定义点P(x ，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P ，P 到直线l的有向距离
0 0 1 2
分别是d，d.以下命题正确的是( )
1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d≤0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
【答案】 A
【解析】 设P(x，y)，P(x，y)，
1 1 1 2 2 2
对于A，若d＝d＝1，
1 2
则ax＋by＋c＝ax＋by＋c＝，直线PP 与直线l平行，正确；
1 1 2 2 1 2
对于B，点P，P 在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线PP 不一定与l垂直，错误；
1 2 1 2
对于C，若d＝d＝0，满足d＋d＝0，
1 2 1 2
即ax＋by＋c＝ax＋by＋c＝0，
1 1 2 2
则点P，P 都在直线l上，所以此时直线PP 与直线l重合，错误；
1 2 1 2
对于D，若d·d≤0，
1 2
即(ax＋by＋c)(ax＋by＋c)≤0，
1 1 2 2
所以点P，P 分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线PP 与直线l相交或重合，错误．
1 2 1 2
