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第 62 讲 直线与圆的位置关系
1、 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
量化
几何观点 dr dr dr
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为x x＋y y＝r2；
0 0 0 0
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y－b)＝r2；
0 0 0 0
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x＋y y＝r2.
0 0 0 0
1、（2023•新高考Ⅰ）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ；
设 ，切线为 、 ，则 ，
中， ，所以 ，
所以 ．故选： ．2、（2022•北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则
A． B． C．1 D．
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，
直线 是圆 的一条对称轴，
圆心在直线 上，可得 ，即 ．
故选： ．
3、（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法
正确的是
A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
C．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
D．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
【答案】
【解析】 中，若 在圆上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线与圆相切，
即 正确；
中，点 在圆 外，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相交，所以 不正确；
中，点 在直线 上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相切，
所以 正确；
中，点 在圆 内，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相离，所
以 正确；
故选： ．
4、（2022•甲卷（理））若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
【答案】 ．
【解析】双曲线 的渐近线： ，
圆 的圆心 与半径1，
双曲线 的渐近线与圆 相切，
，解得 ， 舍去．
故答案为： ．
5、（2022•新高考Ⅱ）设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】 ， ．
【解析】点 ， ， ，所以直线 关于 对称的直线的斜率为： ，所以对
称直线方程为： ，即： ，的圆心 ，半径为1，
所以 ，得 ，解得 ， ．
，
故答案为：
6、【2020年新课标1卷文科】已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最
小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
7、【2021年新高考2卷】已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD【解析】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
1、直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交且过圆心
D. 相交但不过圆心
【答案】 D
【解析】 将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线l的
距离为＝＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．
⃗a、⃗b
2、直线 与圆 相切，则 的值是
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
【答案】D【解析】圆的标准方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，所以
或 ．
3、直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】：画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝＝1，∴sin∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，∴∠ACO＝π－－＝．故选D．
4、过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【答案】 C
【解析】 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，
设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
则＝1，
解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
考向一 直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【答案】 C
【解析】方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距
离为＝≤2<3，所以直线与圆相交
变式1、已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有
两个交点．
【解析】 由题意，得不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，圆C的圆心C(1，－1)，半径R＝2.
又PC＝<2＝R，
所以点P(0，1)在圆C的内部，
即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
变式2、（2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知 是圆 内
一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线 ，则（ ）
A. 且 与圆相交 B. 且 与圆相离
C. 且 与圆相离 D. 且 与圆相交
【答案】C
【解析】
【详解】由 可知，以 为中点 弦的所在直线 的斜率为
则直线 的方程为 ，直线 的方程可化为
由 可知，
圆心 到直线 的距离为因为 是圆 内一点，所以 ，即
故直线 与圆相离
故选：C
方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考向二 圆的弦长问题
例2、(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．6 B．2
C．12 D．16
【答案】 B
【解析】 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为
＝5.
又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为
2＝2.
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方
程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
【答案】 B
【解析】 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在
时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，
从而有＝1，解得k＝－，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）若 为圆 的弦 的中点，则直线
的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
圆 的圆心为 ，则 .因为 ，所以 ，故直线
的方程为 .
故选：A
（2）（2022·河北张家口·高三期末）直线 与圆 交于 、 两点，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
圆心 到直线 的距离为 ，
圆 的半径为 ，
又 ，故 ，
故选：B.
变式 2、（1）（2022 年广东省高三模拟试卷） 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆
相交于点 两点，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【详解】设点 ，则直线 的方程为 ，即 ，因为 ， 的半径为2，
故弦 的弦心距为 ，即圆心 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ，即 ,
故 ,
故答案为： .
（2）（2022·山东烟台·高三期末）若直线 将圆 分成的两段圆弧长度之比为
1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣4或2 C．2 D．﹣2或4
【答案】D
【解析】
圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
设直线和圆相交于AB，
由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则 ，故 ，
则圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 或4，
故选：D.
方法总结：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，
利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
考向三 圆的切线问题
例3 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】 (1) 由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又k ＝＝－1，
PC
所以切线的斜率为－＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝2，解得k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝＝ ，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
变式1、（多选题）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 中，过直线
上任一点 做圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 为正方形时，点 的坐标为
B．四边形 面积的最小值为1
C． 不可能为钝角
D．当 为等边三角形时，点 的坐标为
【答案】ABC
【解析】
解：对A：设 ，由题意，四边形 为正方形时， ，解得
，所以点 的坐标为 ，选项A正确；
对B：四边形 面积 ，因为 ，所以 ，故选项B正确；
对C：由题意， ，在直角三角形 中， ，
由选项B知 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 ，故选项C正确；
对D：当 为等边三角形时， ，所以 ，则 ，解得
或 ，此时点 的坐标为 或 ，故选项D错误；
故选：ABC.
方法总结：求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，
则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
1、（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
将圆化为一般方程为 ，因此可知圆C的圆心为 ，半径为4，
因为直线l过定点 ，所以当圆心到直线l的距离为 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 ．故选：D
2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： ，过直线 ： 上的一点 作圆 的一
条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
圆 ： 中，圆心 ，半径
设 ，则 ，即
则
（当且仅当 时等号成立）
故选：A
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 截直线 所得弦的长度为4，则实
数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题知圆的标准方程为 ，
则圆心坐标为 ，半径 ，
圆 截直线 所得弦的长度为4，
，
解得 .
故选：C.4、（2022·山东德州·高三期末）已知圆O： ，直线l： 与两坐标轴交点
分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵直线l： ，即 ，
∴直线恒过定点 ，又圆O： ，
∴由圆的性质可知直线 时，直线l被圆O截得的弦长最小，此时 ， ，即
，
由直线l： ，令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
∴ .故选：C.
5、（清远市高三期末试题）已知P，Q为圆 上的两个动点，点 ，且 ，
则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
设 的中点为 ，由 ，得 ，
设 ，由 ，
得 ，即 ，
即 ，
所以 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
则点 到直线 的距离的最大值为 .
故选：C
6、（多选题）（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 与圆 ，下列说法正确的是
（ ）A．若 与圆 相切，则 为定值
B．若 ，则 被圆 截得的弦长为定值
C．若 与圆 有公共点，则
D．若 ，则 与圆 相交
【答案】BCD
【解析】
圆 的圆心为 ，半径为 .
对于A选项，若 与圆 相切，则 ，可得 ，A错；
对于B选项，若 ，圆心 到直线 的距离为 ，
此时 被圆 截得的弦长为 ，B对；
对于C选项， 若 与圆 有公共点，则 ，可得 ，可得 ，C对；
对于D选项，当 时，直线 的方程为 ，即 ，
由 ，可得 ，即直线 过定点 ，
，即点 在圆 内，故直线 与圆 相交，D对.
故选：BCD.
7、（多选题）（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内
到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点 ，
，点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，点 为圆心，则下列说法正确的是（ ）A. 圆 的方程为
B. 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 或
C. 若点 是直线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四
边形 的面积的最小值为24
D. 直线 始终平分圆 的面积，则 的最小值是11
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：设 ，因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
化简，得 ，即 ，
故选项A错误；
对于B：圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，且 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
故选项B正确；
对于C：四边形 的面积为 ，
由平面几何知识得当 时， 取得最小值 ，此时面积 取得最小值为 ，
故选项C正确；
对于D：因为直线 始终平分圆 的面积，
所以直线 经过圆 的圆心 ，
即 ，又因为 ， ，
所以
（当且仅当 ，即 时取得“=”），
故选项D正确.
故选：BCD.
8、（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知圆 ，若直线l与圆C交于
A，B两点，则 ABC的面积最大值为___________.
【答案】8 △
【解析】
圆 的圆心为 ，半径为4，
设线段 的中点为 ，
由垂径定理得： ，
由基本不等式可得： ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，则 ，
故答案为：8
