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第 61 讲 圆的方程
1、 圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心C：(a，b)
方程 (r＞0) 半径：r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心：
方程 (D2＋E2－4F＞0) 半径：r＝
2、 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x ，y )．
0 0
①(x －a)2＋(y －b)2＝r2 点在圆上；
0 0
②(x －a)2＋(y －b)2>r2 ⇔点在圆外；
0 0
③(x －a)2＋(y －b)21 C．m< D．m>1
【答案】 B
【解析】：方程可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1，由题意知，4m2－5m＋1＞0，解得m<或m>1，故
选B．
2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
【答案】 (－，)
【解析】 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，
解得－0)，将P，Q两点的坐标分别代入，得又令y
＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.设x ，x 是方程③的两根，由|x －x|＝6，即(x ＋x)2－4xx ＝36，得D2－4F＝
1 2 1 2 1 2 1 2
36④.由①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x
－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是
________________________；
【答案】 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
【解析】 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)，
所以半径r＝＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为 2，则该圆的方程为
___________________．
【答案】 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
【解析】 因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a).因为所求圆与y轴相切，
所以半径r＝3|a|.因为所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，所以d2＋
()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
变式1、 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
【答案】 x2＋y2－2x＝0
【解析】 法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则k ＝1，k ＝－1，所以k ·k ＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB
OA AB OA AB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方
程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为，则
圆C的方程为________.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离
d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
变式2、根据下列条件，求圆的方程．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
【解析】(1)由题意知k ＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．
AB
因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
则解得所以C(2,1)，
所以r＝|CA|＝＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于
a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.考向二 与圆有关的最值问题
例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
【解析】 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在 y轴上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切
时在y轴上的截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1，
所以x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求的最大值和最小值．
【解析】 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率
的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝
－2＋或k＝－2－，所以的最大值为－2＋，最小值为－2－.
变式2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上的最大值和最小值．
【解析】 ＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点
(－1，2)的距离与半径的和或差．
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
所以的最大值为＋1，最小值为－1
变式3、 若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
【解析】 (1)(方法1)令＝k，则kx－y－4k＝0.
∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，
即≤2，解得－≤k≤0，
∴的最大值为0，最小值为－.
(方法2)令＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，
∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，
解得－≤k≤0，∴的最大值为0，最小值为－.
(2)(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即≤2，
解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(方法2)设k＝3x－4y，即y＝x－，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，∵上述
方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤
－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d＝＝，根据几何意义，知x2＋y2的最大值为＝9＋4，最小值
为＝9－4.
(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为(α∈R)，
x2＋y2＝＋＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4sin(α＋φ)∴x2＋y2的最大值为9＋4，最小值为9－4.
变式4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知点 ，点 ，R是圆 上动点，则 的最小值为__________．
【答案】 ##
【解析】因为R是圆 上的动点，则设 ，其中 .
则 ，得
，其中 满足
，则 ，当且仅当
时取等号.
故答案为： .
方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何
性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率
的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
例3、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】 (1) 设AP的中点为M(x，y).
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
即(x－1)2＋y2＝1，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(a，b).
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，
化简，得a2＋b2－a－b－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
变式、 （东莞市高三期末试题）已知点P为直线 上一动点，过点P作圆 的切线，切
点分别为A、B，且 ，则动点P的轨迹的长度为____________．
【答案】
【解析】
因为 , 所以 ,
所以 ，
解得 ,
设点 的坐标为 ,
所以 ,
解得 ,
所以动点 的轨迹的长度为 .
故答案为： .
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据
圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为
（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A
2、（2022年重庆市高三模拟试卷）写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．
①圆心在直线 上，②与 轴相切．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】因圆心在直线 上，则在直线 取点 作圆心，又该圆与 轴相切，则圆半径为2，
所以满足条件的圆的标准方程为： .
故答案为：
3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷） “ ”是“点 在圆 外”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】将 化为标准方程，得
当点 在圆 外时，有 ，解得
∴“ ”是“点 ”在圆 外”的必要不充分条件.故选：B.
4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
【解析】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r．则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2．∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1．
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1．
(2)设P的坐标为(x，y)，则＝，即|x－y|＝1．∴y－x＝±1，即y＝x±1．
0 0 0 0 0 0 0 0
①当y＝x＋1时，由y－x＝1得(x＋1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
0 0 0
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3．
②当y＝x－1时，由y－x＝1得(x－1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
0 0 0
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3．综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3．
