文档内容
第 03 讲 圆的方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：圆的定义和圆的方程.........................................................................................................4
知识点2：点与圆的位置关系判断.....................................................................................................4
题型一：求圆多种方程的形式............................................................................................................5
题型二：直线系方程和圆系方程........................................................................................................6
题型三：与圆有关的轨迹问题............................................................................................................7
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件................................................................9
题型五：点与圆的位置关系判断......................................................................................................10
题型六：数形结合思想的应用..........................................................................................................11
题型七：与圆有关的对称问题..........................................................................................................11
题型八：圆过定点问题......................................................................................................................12
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：忽视圆的一般方程成立的条件..........................................................................................15
答题模板：求圆的方程......................................................................................................................16考点要求 考题统计 考情分析
2024年北京卷第3题，5分 高考对圆的方程的考查比较稳定，考
(1)圆的方程 2023年乙卷（文）第11题，5分 查内容、频率、题型难度均变化不大，备
(2)点与圆的位置 2023年上海卷第7题，5分 考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程
关系 2022年甲卷（文）第14题，5分 的求法，除了待定系数法外，要特别要重
2022年乙卷（文）第15题，5分 视利用几何性质求解圆的方程．
复习目标：
（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1：圆的定义和圆的方程
1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
2、圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）．
【诊断自测】已知点 ， ， ，则 外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
知识点2：点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点 在圆 （ 为常数）外，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型一：求圆多种方程的形式
【典例1-1】已知直线 与圆 相切于点 ，圆心 在直线 上，则圆 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为 ，且与 轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，
b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，
半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
【变式1-1】过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则 的外接圆方程是
（ ）
A． B．
C． D．【变式1-2】圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为 ．
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线 与 均与 相切，
点 在 上，则 的方程为 .
【变式1-4】与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：直线系方程和圆系方程
【典例2-1】过圆 ： 和圆 ： 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】圆 经过点 ，且经过两圆 和圆 的交点，
则圆 的方程为 ．
【方法技巧】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用
它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线 与直线 相交于点P，则过点P的直
线系方程为：
简记为：
当 时，简记为： （不含 ）
（2）圆系方程：若圆 与圆 相交于A，B
两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为： ，不含
当 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
【变式2-1】经过直线 与圆 的交点，且过点 的圆的方程为 .
【变式2-2】曲线 与 的四个交点所在圆的方程是 ．【变式2-3】过圆 和 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程
为（ ）
A． B． ．
C． D．
题型三：与圆有关的轨迹问题
【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，
则点M的轨迹方程是 ．
【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）已知直线 ，直线 ， 与 相交
于点A，则点A的轨迹方程为 ．
【方法技巧】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或
转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）已知 ， ，C为平面内的一个动点，且满足
，则点C的轨迹方程为 ．
【变式3-2】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系 中放置着一个边长为1的等边三角形
，且满足 与 轴平行，点 在 轴上.现将三角形 沿 轴在平面直角坐标系 内滚动，设顶
点 的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图象与
轴所围区域的面积为 .
【变式3-3】已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是 的中点，
则 点的轨迹方程为 ．
【变式3-4】如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过
点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为 ．【变式3-5】点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-6】已知动点 与两个定点 ， 的距离之比为 ，则动点 的轨迹方程为
.
【变式3-7】已知 是圆 内的一点 是圆上两动点，且满足 ，求矩形
顶点Q的轨迹方程．
【变式3-8】在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且 ．求
直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【变式3-9】如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC
并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
【变式3-10】已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
【典例4-1】若方程 表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）关于x、y的方程 表示一个
圆的充要条件是（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
【方法技巧】
方程 表示圆的充要条件是 ，故在解决圆的一般式方程的有关
问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为 ，半径
【变式4-1】若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线 的方程 ，则“ ”是
“曲线 是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】已知方程 表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：点与圆的位置关系判断
【典例5-1】（2024·高三·广东·开学考试）“ ”是“点 在圆
内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【典例5-2】（2024·江西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其
他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
【变式5-1】（2024·贵州黔南·二模）已知直线 与直线 的交点在圆 的内部，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·陕西西安·三模）若过点 可作圆 的两条切线，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点 ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式5-4】（2024·高三·全国·课后作业）已知两直线 与 的交点在圆
的内部，则实数k的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
题型六：数形结合思想的应用
【典例6-1】已知曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
【方法技巧】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意
需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
【变式6-1】（多选题）关于曲线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 围成图形的面积为
B．曲线 所表示的图形有且仅有 条对称轴
C．曲线 所表示的图形是中心对称图形
D．曲线 是以 为圆心， 为半径的圆
【变式6-2】已知直线l： 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围为 .
【变式6-3】直线 与曲线 的交点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-4】若两条直线 ： ， ： 与圆 的四个交点能构成矩
形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型七：与圆有关的对称问题
【典例7-1】圆 关于直线 对称的圆的方程为 .
【典例7-2】已知圆 关于直线l对称的圆为圆 ，则直线l的方程为
.
【方法技巧】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
【变式7-1】（2024·辽宁·二模）已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线
的方程为（ ）A． B．
C． D．
【变式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆 上，且A，B两点关
于直线 对称，则圆 的半径的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【变式7-3】已知直线 ，圆 ，若圆C上存在两点关于直线l对称，
则 的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
【变式7-4】如果圆 关于直线 对称，那么（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-5】圆 关于直线 对称后的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型八：圆过定点问题
【典例8-1】点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点
（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【典例8-2】圆 恒过的定点是 .
【方法技巧】
特殊值法
【变式8-1】已知圆 ，点 ，平面内一定点 （异于点 ），对于圆 上的任意
动点 ，都有 为定值，定点 的坐标为 ．
【变式8-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、
、 ，则 的外接圆恒过的定点坐标为 ．
【变式8-3】对任意实数 ，圆 恒过定点，则其坐标为 .
【变式8-4】设有一组圆 ： ．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
1．（2024年北京高考数学真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则
（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022年高考全国甲卷数学真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则
的方程为 ．
5．（2022年高考全国乙卷数学真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
1．平面直角坐标系中有 ， ， ， 四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？2．已知圆的一条直径的端点分别是A（x，y），B（x，y）．求证：此圆的方程是（x–x）（x–x）+
1 1 2 2 1 2
（y–y）（y–y）=0．
1 2
3．如图，在四边形ABCD中， ， ，且 ， ，AB与CD间的距离为3．求等
腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
4．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标 满足 ，其中 为参数．证明：点P的轨迹是
圆心为 ，半径为r的圆．
5．已知动点M与两个定点 ， 的距离的比为 ，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
6．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明
轨迹的形状．易错点：忽视圆的一般方程成立的条件
易错分析： 易忽视圆的一般方程： 表示圆的条件 而导致错
误.
【易错题1】已知点 为圆 外一点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【易错题2】已知圆 的方程为 ，若点 在圆外，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
答题模板：求圆的方程
1、模板解决思路
求圆的方程，首先确定圆的类型。若已知圆心坐标和半径，直接代入标准方程；若已知圆上三点，通
过构造方程组求解圆心坐标和半径；若已知直径，则先求圆心，再计算半径后代入方程。
2、模板解决步骤
第一步：根据题意，设出圆的方程或圆心、半径.
第二步：根据条件列出关于 a，b，r或 D，E，F的方程组， 并求解。
第三步：根据第二步所得结果，写出圆的方程.
【典型例题1】写出与直线 和 轴都相切，半径为 的一个圆的方程： ．
【典型例题2】已知点 ，其中一点在圆 内，一点在圆 上，一点在圆 外，则
圆 的方程可能是 ．（答案不唯一，写出一个正确答案即可）
