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第 01 讲 集合的概念与运算
1、集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2、集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为
集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x ∉ A ，就称集合A是集合B的真子集，记作 A B (或
BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
所有属于集合A或属于集
并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
合B的元素组成的集合
所有属于集合A且属于集
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
合B的元素组成的集合
全集U中不属于集合A
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁ A
U
的所有元素组成的集合
{ 5}
1、【2022年全国甲卷】设集合A={−2,−1,0,1,2},B= x∣0≤x< ，则A∩B=（ ）
2
A．{0,1,2} B．{−2,−1,0} C．{0,1} D．{1,2}
【答案】A{ 5}
【解析】因为A={−2,−1,0,1,2}，B= x∣0≤x< ，所以A∩B={0,1,2}．
2
故选：A.
2、【2022年全国甲卷】设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则
∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{1,3} B．{0,3} C．{−2,1} D．{−2,0}
【答案】D
【解析】由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},
所以∁ (A∪B)={−2,0}.
U
故选：D.
3、【2022年全国乙卷】集合M={2,4,6,8,10},N=¿，则M∩N=（ ）
A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}
【答案】A
【解析】因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1a＋3时，解得a>3；
⊆
②当A≠∅，即a≤3时，
有解得－≤a≤－1.
综上，实数a的取值范围是[－，－1]∪(3，＋∞).
变式2、（2022·广东广州·三模）若 ，则 的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【解析】 ，则 ，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则 ，符合题设；
∴ 或 均可以.
故选：C
方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还
是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满
足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考向二 集合间的基本关系
例2、已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 因为A＝M，A＝{1，3，}，M＝{1，4，y}，
⊆
所以解得
所以x＋y＝16＋3＝19.
(2) 假设存在实数x，使得B A.
①当2－x＝3，即x＝－1时，不存在，不符合题意；
⊆
②当2－x＝时，解得x＝1.
又≠1，所以不符合题意．
综上所述，不存在实数x，使得B A.
变式1、（2022·河北保定·高三期末）设⊆集合 均为非空集合.（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A,， ，当 时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当 时，结论不成立，，则B错误；
对于C,因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，则 ,则C正
确;
对于D， ，当 时，结论不成立,则D错误;
故选:C.
变式2、（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则
图中阴影部分的区域表示（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
方法总结：(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考向三 集合的运算
例3、（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设集合 ， ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】集合 或
所以
故选：D
变式1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知集合 ， ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 单调递增， ，解得： ，所以 ， 单调递增，
，解得： ，所以 ，即 ．
故选：B
变式2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ， ， 或 ，
.
故选：A.
变式3、（2022·湖南湘潭·三模）已知集合 ， ，若 ，则m的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先解出集合 ，再结合 得到关于m的不等式，求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
方法总结：集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考向四 集合的新定义问题
例4、（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合 ，
，定义集合 ，则 中元
素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C
【详解】
因为集合 ，所以集合 中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，
集合 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形 中的整点，
集合 的元素可看作正方形 中的整点（除去
四个顶点），即 个．
变式1、（2022·山东青岛·高三期末）定义集合运算： .若集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
所以 ，故选：D
变式2、（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合 的一种运算： ，若
， ，则 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为3，
故选：C.
变式3、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合 ，则集合 中元素的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由集合 ， ，
根据 ，
所以 ，
所以 中元素的个数是3.
故选：C
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定
义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这
类问题的突破口。
1、（深圳市高级中学集团期末试题） 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以则 ，
故选：C
2、（清远市高三期末试题）已知集合 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
3、（惠州市高三期末试题）已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【 解 析 】 】 ， 因 此
．
故选：C．
4、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知集合 ，则
（ ）．
A. {3} B. {1，3} C. {3，4} D. {1，3，4}
【答案】B
【解析】：因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B.
5、（东莞市高三期末试题） 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，
得 ，得
即 ，则
故选：A.
6、（梅州市大埔县高三期末试题）已知集合 ， ，则 等于（
A={x|x2−x−2>0} B={x|00，所以x>2或x<−1，故集合A={x>2或x<−1}，
又因为集合B={x|0
