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第 65 讲 双曲线的标准方程与性质
一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
1 2
叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
y＝±x
性 渐近线
质 y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长
实虚轴 1 2 1 2
＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
一、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
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1、（2023•乙卷（文））设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ， ， ， ， 中点为 ， ，
，
① ②得 ，
即 ，
即 或 ，
故 、 、 错误， 正确．
故选： ．
2、（2021•甲卷（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离，
则点 到双曲线的一条渐近线的距离 ．
故选： ．
3、（2023•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为过 作一条渐近线 的垂线，垂足为 ，
则 ，
所以 ①，
联立 ，可得 ， ，即 ， ，
因为直线 的斜率 ，
整理得 ②，
①②联立得， ， ，
故双曲线方程为 ．
故选： ．
4、（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】根据题意可设所求方程为 ， ，
又 ，解得 ， ， ，所求方程为 ．
故答案为： ．
5、（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
【答案】 ．
【解析】 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为
又 离心率为 ，可得
，即 ，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
6、（2021•乙卷（理））已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线 的一条渐近线为 ，
则有 ，解可得 ，
则双曲线的方程为 ，则 ，
其焦距 ；
故答案为：4．
7、（2021•乙卷（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．【答案】 ．
【解析】双曲线 的右焦点 ，
所以右焦点到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
8、【2020年新课标1卷文科】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
9、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心
1 2率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
1、双曲线－＝1的焦距为( )
A. 5 B.
C. 2 D. 1
【答案】 C
【解析】 由题意，得c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线的焦距为2.
2、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为 2，点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，则双曲线C的方
程为( )
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D. －＝1
【答案】 B
【解析】 由于焦距为2，故半焦距为，故a2＋b2＝5.由于点P(2，1)在一条渐近线上，故＝，解得a＝2，b
＝1，故所求双曲线方程为－y2＝1.
3、设P是双曲线－＝1上一点，F，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|等于( )
1 2 1 2
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
【答案】 B
【解析】 根据双曲线的定义得||PF|－|PF||＝8⇒|PF|等于1或17.又|PF|≥c－a＝2，
1 2 2 2
故|PF|＝17.
2
4、已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】：C
【解析】：由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －10，b>0)或－＝1(a>0，b>0).
由题意，得2b＝12，e＝＝，所以b＝6，c＝10，a＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2) 因为双曲线经过点M(0，12)，
所以双曲线的焦点在y轴上．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(4) 由题意，得2c＝10，则c＝5.
设双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，
即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
变式、(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲
线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
【答案】（1） －＝1 （2）－＝1
【解析】 (1)由题意得a＝b，＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2，∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，由题意，得
解得a2＝，b2＝4.
∴双曲线的方程为－＝1.
(方法2)设所求双曲线方程－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，
c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
考向三 双曲线的性质
例3、已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程是y＝x，两准线间的距离为18，求双曲
线的方程．
【解析】 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线的方程为－＝1.
变式1、（1）(2022·江苏第一次百校联考)双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲
线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
【答案】y＝±x
【解析】设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B(c，±)，因为|AF|＝|BF|，所以＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，故e＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
（2）(2022·江苏海安中学期初)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，
篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O
的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
A
B
O
C
D
图1 图2
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为AB＝BC＝CD，所以CD ＝2OC，又因
为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点(a，a)在双曲线上，则代入方程可得，－＝
1，则化简得＝，所以离心率e＝＝＝＝，故答案选D．
变式2、（1）已知F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段FF 为边作正三角形MF F ，若
1 2 1 2 1 2
边MF 的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
1
【答案】 ＋1
【解析】 因为MF 的中点P在双曲线上，所以PF －PF ＝2a.因为△MF F 为正三角形，边长都是2c，所
1 2 1 1 2
以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
（2）(2022·苏州期初考试)已知点P为双曲线C：(a＞0，b＞0)右支上一点，F ，F 分别为C的左，右焦点
1 2
直线PF 与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若PF＝4HF，则该双曲线的离心率为
1 1 1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：由题意可连结PF ，得到HF ＝b，PF ＝4b，所以PF ＝4b－2a，则在△PFF 中，由余弦
2 1 1 2 1 2
定理可得，PF2＝PF2＋FF2－2 PFFF，化简得3b＝4a，所以离心率e＝＝＝，故答案选C．
2 1 1 2 1 1 2
法二：由题意过点F 可作FM⊥PF ，垂足为M，则HF ＝b，PH＝3b，OF ＝OF ＝c，OH＝a，则FM＝
2 2 1 1 1 2 2
2a，且点M为PH的中点，所以PM＝2b，PF＝PF－2a＝4b－2a，则在Rt△PFM中，由勾股定理可得，
2 1 2
(2a)2＋(2b)2＝(4b－2a)2，化简可得3b＝4a，所以离心率e＝＝＝，故答案选C．
（3）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.【答案】 D
【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，
所以>，
即3a>2b，也即3a2>4b2，
所以3a2>4(c2－a2)，
所以7a2>4c2，
所以e<，
又因为双曲线的离心率e>1，
所以10，b>0)的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲线的右支上，且PF ＝4PF ，则
1 2 1 2
双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】
【解析】 设∠FPF ＝θ，由得由余弦定理得cos θ＝＝－e2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤
1 2
－e2<1.又e>1，所以1
