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第 65 讲 双曲线的标准方程与性质
一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
1 2
叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
y＝±x
性 渐近线
质 y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长
实虚轴 1 2 1 2
＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
一、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
1 2 1min 2min
1、（2023•乙卷（文））设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ， ， ， ， 中点为 ， ，
，
① ②得 ，
即 ，
即 或 ，
故 、 、 错误， 正确．
故选： ．
2、（2021•甲卷（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离，
则点 到双曲线的一条渐近线的距离 ．
故选： ．
3、（2023•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为过 作一条渐近线 的垂线，垂足为 ，
则 ，
所以 ①，
联立 ，可得 ， ，即 ， ，
因为直线 的斜率 ，
整理得 ②，
①②联立得， ， ，
故双曲线方程为 ．
故选： ．
4、（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】根据题意可设所求方程为 ， ，
又 ，解得 ， ， ，所求方程为 ．
故答案为： ．
5、（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
【答案】 ．
【解析】 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为
又 离心率为 ，可得
，即 ，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
6、（2021•乙卷（理））已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线 的一条渐近线为 ，
则有 ，解可得 ，
则双曲线的方程为 ，则 ，
其焦距 ；
故答案为：4．
7、（2021•乙卷（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．【答案】 ．
【解析】双曲线 的右焦点 ，
所以右焦点到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
8、【2020年新课标1卷文科】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
9、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心
1 2率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
1、双曲线－＝1的焦距为( )
A. 5 B.
C. 2 D. 1
【答案】 C
【解析】 由题意，得c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线的焦距为2.
2、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为 2，点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，则双曲线C的方
程为( )
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D. －＝1
【答案】 B
【解析】 由于焦距为2，故半焦距为，故a2＋b2＝5.由于点P(2，1)在一条渐近线上，故＝，解得a＝2，b
＝1，故所求双曲线方程为－y2＝1.
3、设P是双曲线－＝1上一点，F，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|等于( )
1 2 1 2
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
【答案】 B
【解析】 根据双曲线的定义得||PF|－|PF||＝8⇒|PF|等于1或17.又|PF|≥c－a＝2，
1 2 2 2
故|PF|＝17.
2
4、已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】：C
【解析】：由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1<k<1．
5、 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】：∵ ＝，∴ ＝＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝．又双曲线的焦点在y轴上，∴ 双曲线的渐近线方程
为y＝±x，∴ 所求双曲线的渐近线方程为y＝±x．
6、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 与双曲线C 共焦点，双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴
1 2 2 1
三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C 的离心率为________．
2
【答案】
【解析】 不妨设左、右焦点F ，F 在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，设双曲线C 的实半轴长为
1 2 2
a，则椭圆C 的长半轴长为3a，半焦距为c，设PF ＝x，PF ＝y，则则由题意知，点P在以FF 为直径的
1 1 2 1 2
圆上，所以x2＋y2＝4c2＝20a2，所以e＝.
考向一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F(－2,0)，F(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F 关于点N的对称点为M，线
1 2 1
段FM的中垂线与直线FM相交于点P，则点P的轨迹是( )
1 2
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】B
【解析】如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF 的中点，又O为FF 的中点，
1 1 2
所以|MF |＝2.因为点F 关于点N的对称点为M，线段FM的中垂线与直线FM相交于点P，由垂直平分线
2 1 1 2
的性质可得|PM|＝|PF|，
1
所以||PF|－|PF||＝||PF|－|PM||
2 1 2
＝|MF |＝2<|FF|，
2 1 2
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F，F 为焦点的双曲线．
1 2
(2)(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
【答案】 C
【解析】 的几何意义为点M(x，y)到点F(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F(0，－3)的距离，
1 2
则－＝4表示点M(x，y)到点F(0，3)的距离与到点F(0，－3)的距离的差为4，且4＜|FF|，所以点M的
1 2 1 2
轨迹是以F ，F 为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长 a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝
1 2
5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2).
变式、已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆
1 2 1 2
心M的轨迹方程为________________.
【答案】 x2－＝1(x≤－1)
【解析】如图所示，设动圆M与圆C 及圆C 分别外切于A和B.
1 2
根据两圆外切的条件，
得|MC |－|AC |＝|MA|，
1 1
|MC |－|BC |＝|MB|，
2 2
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC |－|AC |＝|MC |－|BC |，即|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝2，
1 1 2 2 2 1 2 1
所以点M到两定点C ，C 的距离的差是常数且小于|C C |＝6.
2 1 1 2
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C 的距离大，与C 的距离小)，
2 1
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲
线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝2a，运用平方的方法，
1 2
建立为|PF |·|PF |的关系．
1 2
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双
曲线的一支．
考向二 双曲线的标准方程
例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3) 经过点P(－3，2)和点Q(－6，－7)；
(4) 焦点在x轴上，焦距为10，与双曲线－x2＝1有相同的渐近线．
【解析】 (1) 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0).
由题意，得2b＝12，e＝＝，所以b＝6，c＝10，a＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2) 因为双曲线经过点M(0，12)，
所以双曲线的焦点在y轴上．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(4) 由题意，得2c＝10，则c＝5.
设双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，
即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
变式、(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲
线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
【答案】（1） －＝1 （2）－＝1
【解析】 (1)由题意得a＝b，＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2，∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，由题意，得
解得a2＝，b2＝4.
∴双曲线的方程为－＝1.
(方法2)设所求双曲线方程－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，
c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
考向三 双曲线的性质
例3、已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程是y＝x，两准线间的距离为18，求双曲
线的方程．
【解析】 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线的方程为－＝1.
变式1、（1）(2022·江苏第一次百校联考)双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲
线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
【答案】y＝±x
【解析】设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B(c，±)，因为|AF|＝|BF|，所以＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，故e＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
（2）(2022·江苏海安中学期初)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，
篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O
的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
A
B
O
C
D
图1 图2
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为AB＝BC＝CD，所以CD ＝2OC，又因
为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点(a，a)在双曲线上，则代入方程可得，－＝
1，则化简得＝，所以离心率e＝＝＝＝，故答案选D．
变式2、（1）已知F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段FF 为边作正三角形MF F ，若
1 2 1 2 1 2
边MF 的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
1
【答案】 ＋1
【解析】 因为MF 的中点P在双曲线上，所以PF －PF ＝2a.因为△MF F 为正三角形，边长都是2c，所
1 2 1 1 2
以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
（2）(2022·苏州期初考试)已知点P为双曲线C：(a＞0，b＞0)右支上一点，F ，F 分别为C的左，右焦点
1 2
直线PF 与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若PF＝4HF，则该双曲线的离心率为
1 1 1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：由题意可连结PF ，得到HF ＝b，PF ＝4b，所以PF ＝4b－2a，则在△PFF 中，由余弦
2 1 1 2 1 2
定理可得，PF2＝PF2＋FF2－2 PFFF，化简得3b＝4a，所以离心率e＝＝＝，故答案选C．
2 1 1 2 1 1 2
法二：由题意过点F 可作FM⊥PF ，垂足为M，则HF ＝b，PH＝3b，OF ＝OF ＝c，OH＝a，则FM＝
2 2 1 1 1 2 2
2a，且点M为PH的中点，所以PM＝2b，PF＝PF－2a＝4b－2a，则在Rt△PFM中，由勾股定理可得，
2 1 2
(2a)2＋(2b)2＝(4b－2a)2，化简可得3b＝4a，所以离心率e＝＝＝，故答案选C．
（3）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.【答案】 D
【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，
所以>，
即3a>2b，也即3a2>4b2，
所以3a2>4(c2－a2)，
所以7a2>4c2，
所以e<，
又因为双曲线的离心率e>1，
所以1<e<，
双曲线离心率的取值范围是.
（4）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲线的右支上，且PF ＝4PF ，则
1 2 1 2
双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】
【解析】 设∠FPF ＝θ，由得由余弦定理得cos θ＝＝－e2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤
1 2
－e2<1.又e>1，所以1<e≤，所以离心率e的最大值为.
方法总结：求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
1、(2022·江苏如皋期初考试)双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点P到 的距离为
11，则点P到 的距离为（ ）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
【答案】B
【解析】由双曲线的定义可知，则|PF－PF|＝2a＝10，则点P到F 的距离为1或21，故答案选B.
1 2 2
2、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点
在 上，则 的方程为( )
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意可设双曲线的方程为 (y＋x)(y－x)＝λ，即y2－2x2＝λ，把点P(2，－)代入双曲线方程得
(－)2－2×(2)2＝λ，解得λ＝－14，所以双曲线的方程为y2－2x2＝－14，即双曲线C的方程为，故答案选B.
3、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)设双曲线的左右焦点为F，F，左顶点为A，点M是双曲线E在
1 2
第一象限内的一点，直线MF 交双曲线E的左支于点N，若NA∥MF，则|MF|＝
1 2 2
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，取MF 的中点为点P，则PO∥NA∥MF ，且PO＝MF ，NA＝PO，所以NA＝MF ，则
1 2 2 2
FN＝FM，可设 M(m，n)( m＞0，n＞0)，则 N(，)，且点 M，N在双曲线上，所以有，解得，所以
1 1
M(，)，又F(2，0)，则|MF|＝＝，故答案选B．
2 2
4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，|，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
法一：由题意，得，所以|PF|＝．在△中，由余弦定理，可，所以，所以双曲线C的离心率为故答案选
1
A．
法二：设，则．因为P为双曲线C上一点，所以所以m＝a，即．在中，由余弦定理得，|·，则，解得．
5、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为
F ，F ，过F 且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，FQ与y轴的交点为R，FQ⊥PR，则C的离心率
1 2 2 1 1
为
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】法一：由题意可设点P在第一象限，则P(c，)，Q(c，－)，又F(－c，0)，F(c，0)，则可得FQ
1 2 1
的直线方程为：y＝－(x＋c)，令x＝0，可得R(0，－)，所以＝(－c，－)，＝(2c，－)，因为FQ⊥PR，所
1
以·＝(－c，－)·(2c，－)＝0，化简得－2c2＋＝0，即2ac＝b2＝(c2－a2)，解得e＝＝或－(舍去)，故答案
选B．
6、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线 右支上存在点P使得 到左焦点的距离
等于 到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】(1，2]∪[3，6)【解析】由题意可设双曲线的左、右焦点分别是F ，F ，则有|，所以|PF|＝＝，解得|PF|＝；又因此则解
1 2 1 1
得1＜e≤2或3≤e＜6，即双曲线离心率的取值范围为(1，2]∪[3，6)．
