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24.2.2 切线的判定与性质及切线长定理
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意：切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一
是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
题型1：切线的判定-连半径证垂直
1.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD
是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
【解析】【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC，根据平行
线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出结论。
【变式1-1】如图，在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且
AB=AC ， PE⊥AC 于点E，求证：PE是⊙O的切线．
【答案】解：连接AP，OP，
∵AB为⊙O直径，
∴∠APB=90° ，即 AP⊥BC ，
又∵AB=AC ，
∴点P是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OP是 △ABC 的中位线，
∴OP∥AC，
∴∠OPE=∠PEC，
又∵PE⊥AC ，
∴∠PEC=90°，
∴∠OPE=90°，
∴OP⊥PE ．
∴PE是⊙O的切线．
【解析】【分析】 连接AP，OP， 由 AB为直径可知 AP⊥BC ，结合 AB=AC 可得点P为BC
的中点，而O是AB的中点可得 OP是 △ABC 的中位线，可知OP∥AC， 进而 ∠OPE=∠PEC， 然
后结合 PE⊥AC ， 可得 OP⊥PE ，即可得到结论。
【变式1-2】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且 ∠CDA=∠CBD .求证：CD是
⊙O的切线.
【答案】证明：连接OD，
∵AB为直径，
∴∠ADO+∠BDO=90° ，
又∵∠CDA=∠CBD ，
∴∠CDA=∠BDO ，
∴∠ADC+∠ADO=90° ，∴OD⊥CD ，
∴CD是⊙O的切线.
【解析】【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90°，由已知条件以及等腰三角形的性
质可得∠CDA=∠BDO，进而得到∠ADC+∠ADO=90°，据此证明.
题型2：切线的判定-作垂直证半径
2.ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，
再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为
半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.【答案】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与⊙D相切．
【解析】【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．
1
【变式2-2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝ 弧BC，经过点C与⊙O相切的直线
2
CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．
【答案】解：连接OC，过点O作 OG⊥DF ，垂足为G
1
∵弧AC = 弧BC
2
1
∴∠AOC= ∠AOB=60°
3
1
∴∠ABC= ∠AOC=30°
2
∵CE切⊙O于点C
∴OC⊥CE ，即 ∠DCO=90°∴在 ΔDOC 中， ∠CDO=90°−60°=30°
∵DF//CB
∴∠ABC=∠GDO=30°
∴∠CDO=∠GDO ，即DO平分 ∠CDG
∵OC⊥CE,OG⊥DF
∴OC=OG （角平分线性质）
∴OG 是⊙O的半径
∴DF 是⊙O的切线（垂径定理）.
【解析】【分析】连接OC，过点O作 OG⊥DF ，垂足为G，根据圆心角定理和圆周角定理求出
∠CDO=30° ，再根据平行线的性质得出 ∠GDO=30° ，从而可得DO平分 ∠CDG ，利用角平
分线的性质可知 OG 是⊙O的半径，最后利用垂径定理即可证明.
题型3：切线的判定多选项问题
3.下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】D
【解析】【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案。
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线,正确；
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，正确；
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线，正确；
D．垂直于半径的直线是圆的切线，错误。
故选D.
【变式3-1】下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的
直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个
圆：其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】D
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误；④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆，故错误.
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，垂径定理、切线的判定定理、不在同一直线上的三个点确定一
个圆逐一进行判断即可.
【变式3-2】如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中
点，连接DF.给出以下五个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③B´D=D´E ；④DF是⊙O的切线.其中
正确结论的个数是：（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AD，OD，
∵AB是直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，又∵AB=AC，∴BD=DC，故①正确；
∵F是CE中点，BD=CD，∴BE//DF，BE=2DF，但没有办法证明AD与BE相等，故②错误；
∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，∴B´D=D´E ，∴BD=DE，故③正确；
∵∠AEB=90°，∴∠BEC=180°-∠AEB=90°，∵BE//DF，∴∠DFC=∠BEC=90°，
∵O为AB的中点，D为BC的中点，∴OD//AC，∴∠ODF=∠DFC=90°，∵OD是半径，∴DF是⊙O
的切线，故④正确，所以正确的结论有3个，
故答案为：B.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
注意：切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
题型4：切线的性质-求长度
4.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4
，则OC的长为（ ）A．8 B．16√2 C．4√2 D．2√2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，
∴∠CPO=90°，∠COP=45°，
∴∠PCO=∠COP=45°，
∴CP=OP=4，
∴OC=√CP2+OP2=4√2，
故答案为：C．
【分析】连接 CP，根据且切线长定理可得∠ PCO=∠COP=45°，再利用勾股定理可得
OC=√CP2+OP2=4√2
【变式4-1】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠D=30°，
CD=2√3，则AC等于（ ）．
A．6 B．4 C．2√3 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：连结BC，OC，∵CD为切线，
∴OC⊥DC，
在Rt△DOC中，
∵∠D=30°，CD=2√3，
√3
∴OC=CDtan∠OAC=2√3× =2，
3
∴OB=OA=OC=2，∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°
1
∴∠A=∠OCA= ∠DOC=30°
2
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∵AB=2OA=4，∠A=30°，
√3
∴AC=ABcos30°=4× =2√3．
2
故答案为：C．
【分析】连结BC，OC，根据切线的性质以及含30度角的直角边等于斜边的一半，即可得出答案。
【变式4-2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC
相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【答案】解：连接OD，作OF⊥BE于点F．1
∴BF= BE，
2
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
【解析】【分析】 连接OD，作OF⊥BE于点F 。根据圆的切线即可证明∠ODC=90°，根据有三个角
是直角的四边形为矩形，即可证明四边形 ODCF是矩形 。所以矩形的对边相等，即 OD=CF。又因为
圆的半径都相同，所以OD=OB，所以即可求出BF的长度，从而得出BE的长度。
题型5：切线的性质-求角度
5.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，若∠ADC＝
40°，则∠P的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ADC=40°，
∴∠ABC=40°，
∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∴∠P=90°−∠ABC=90°−40°=50°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC=40°，再求出∠OAB=90°，最后求出∠P的度数即可。
【变式5-1】如图，已知 PA ， PB 分别与 ⊙O 相切于点A，B，C为 ⊙O 上一点．若
∠P=70° ，求 ∠C 的大小．【答案】解：连接OA、OB
∵PA ， PB 分别与 ⊙O 相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=70°
∴∠AOB=360°－∠OAP－∠OBP－∠P=110°
1
∴∠C= ∠AOB=55°．
2
【解析】【分析】连接OA、OB， 根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可得
∠AOB=
360°－∠OAP－∠OBP－∠P，据此计算即可.
【变式5-2】如图，AB是 ⊙O 的直径，AC是 ⊙O 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若
CA=CD ，试求 ∠A 的度数.
【答案】解：连结OC，∵CD 为 ⊙O 的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90∘
又 ∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又 ∵AC=CD ，
∴∠A=∠D
∴∠A=∠ACO=∠D ，
而 ∠A+∠ACD+∠D=180∘−90∘=90∘ ，
∴∠A=30∘ .
【解析】【分析】连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出 OC⊥CD ，推出
∠OCD=90∘ ，即 ∠COD+∠D=180∘ ，由AO=CO，推出 ∠A=∠ACO ，推出 ∠COD=2∠A
，可得 3∠A =90°，推出 ∠A=30∘ ，即可解决问题
题型6：切线的性质-求半径
6.如图，在Rt 中，∠A=90°，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若AB=5，
AC=12，求⊙O的半径．
【答案】解：连接BO、EO，设⊙O半径为 x ，在Rt△ABC❑ 中，根据勾股定理，有：
❑
1 1 1
BC=√AB2+AC2=√52+122=13.∵S =S +S ，∴ AC⋅AB= AO⋅AB+ BC⋅EO,
△ABC △ABO △BCO 2 2 2
1 1 1 10 10
即 ×12×5= ×5⋅x+ ×13⋅x, 解得 x= . ．∴⊙O 的半径长为 .
2 2 2 3 3
【解析】【分析】连接BO、EO，设⊙O半径为 x ，在Rt△ABC 中，根据勾股定理可求出BC的
长，根据△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积得到关于x的方程，解方程可求出半径.
【变式6-1】如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长
线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2 √3 ，CE＝2，求⊙O半径的长．【答案】（1）解：连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+（2 √3 ）2＝（r+2）2，
解得：r＝2，
答：⊙O半径的长是2．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AOC＝2∠ADE＝56°， 再求出 ∠OAC＝90°， 最后计算求解即
可；
（2）先求出 OA2+AC2＝OC2， 再求出 r＝2， 即可作答。
【变式6-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切
于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径.
【答案】（1）过 O 作 OH⊥BC 于 H,
∵ 正方形ABCD，
∴∠ACB=∠ACD=45°,∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OM⊥CD,
∴OM=OH,
∵OM 为 ⊙O 的半径，
∴ BC与⊙O相切；
（2）∵ 正方形ABCD，
∴AB=BC=1,∠B=90°,∠ACB=∠BAC=45°,
∴AC=√AB2+BC2=√2,
∵OH⊥BC, 设 ⊙O 的半径为 r,
∴∠OHC=∠OCH=45°,
∴OH=CH=r,
∴OC=√r2+r2=√2r,
∵OA+OC=AC,
∴r+√2r=√2,
√2
∴r= =√2(√2−1)=2−√2.
√2+1
【解析】【分析】（1）过 O 作 OH⊥BC 于 H, 由正方形ABCD，可得 ∠ACB=∠ACD=45°,
证明 OM⊥CD, 再证明 OM=OH, 从而可得结论；
（2）正方形ABCD，可得 ∠ACB=∠BAC=45°, 求解 AC=√AB2+BC2=√2, 再证明
OH=CH=r, 求解 OC=√r2+r2=√2r, 利用 OA+OC=AC, 列方程，解方程可得答案.
切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角.
圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段；切
线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
题型7：切线长定理-求周长
7.如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的
右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MH+AN+NH
=AM+MD+AN+NE
=AD+AE
=8（cm），
∵△ABC的周长=AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18cm，
∴BC=5，
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理得出 BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，将三角形 ABC的周长化为
AD+AE+BD+CE+BC，求解即可。
【变式7-1】如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D
两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CA和CE为切线，
∴CA=CE，
同理，DE=BD，PA=PB=8，
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+BD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=16.
故答案为：C.【分析】根据切线长定理得出CA=CE，DE=BD，PA=PB，则可把△PCD的周长化为PA与PB之和，
即可解答.
【变式7-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O
的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故答案为：D．
【分析】连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，
即（x+2）2+52＝（x+3）2，求出x的值，最后利用三角形的周长公式计算即可。
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
1
一半，即S= Cr(S为三角形的面积，C为三角形的周长，r为内切圆的半径).
2
题型8：三角形的内切圆-求半径
8.如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， BC=3 ， AB=5 ，⊙O是 Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图， ∵∠ACB=90° ， AB=5 ， BC=3 ，
∴AC=√AB2−BC2=4 ，
设 ΔABC 三边内切 ⊙O 于点 D 、 E 、 F ，连接 OD 、 OE 、 OF ，
∴OD⊥AB ， OE⊥AC ， OF⊥BC ，且 OD=OE=OF=r ，
连接 OA 、 OB 、 OC ，
∴S =S +S +S ，
ΔABC ΔAOB ΔAOC ΔBOC
1 1 1 1
即 AC·BC= AB·OD+ AC·OE+ BC·OF ，
2 2 2 2
∴3×4=5r+4r+3r ，
解得 r=1 ．
∴△ABC 的内切圆 ⊙O 的半径 r 为1．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求得AC的值，设 ΔABC 三边内切 ⊙O 于点 D 、 E 、 F ，连接 OD
、 OE 、 OF ，可得OD⊥AB ， OE⊥AC ， OF⊥BC ，且 OD=OE=OF=r ，由
S =S +S +S ，列方程即可求解。
ΔABC ΔAOB ΔAOC ΔBOC
【变式8-1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= √AB2−BC2=√132−52=12 .
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
a+b−c
【分析】用勾股定理可求得 AC 的值，再根据直角三角形的内切圆半径= 可求解（其中
2
a=BC ,b=AC ,c=AB ）。
【变式8-2】若方程x2-7x+12=0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切
圆半径为 .
【答案】1
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，内切圆半径为r，
∵x2−7x+12=0 ，
解得 x =3，x =4 .
1 2
∵方程 ∵x2−7x+12=0 的两个根分别是直角三角形两直角边的长，
∴a=3，b=4
∴c=√a2+b2=5
1 1
∵ ×(3+4+5)⋅r= ×3×4 ，
2 2
∴r=1 ，
故答案为：1.
【分析】由题意先解一元二次方程求得两直角边的长，用勾股定理求得斜边的值，再根据直角三角形
的面积的两种计算可得关于半径r的方程，解方程可求解.
题型9：三角形的内切圆-求面积
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若
BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
1
∴S = ×3×4=6.
△ABC 2
故答案为：6．
【分析】先求出四边形OECD是矩形，再求出矩形OECD是正方形，最后利用勾股定理和三角形的面
积公式计算求解即可。
【变式9-1】一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是
（ ）
c+2r c+r 2c+r c2+r2
A． B． C． D．
πr πr πr πr
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分
别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，设直角三角形的两条直角边分别为BC=a，AC=b，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴S =S +S +S
△ABC △BOC △AOC △AOB
1 1 1
= ar+ br+ cr
2 2 2
1
= (a+b+c)r，
2
∵OD⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CE=CD=OD=r，
∴AE=AC−CE=b−r，BD=BC−CD=a−r，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴AF=AE=b−r，BF=BD=a−r，
∵AF+BF=AB，
∴b−r+a−r=c，
∴a+b=2r+c，
1
∴S = (2r+c+c)r=(r+c)r，
△ABC 2
又∵S =πr2，
⊙O
c+r
∴S ：S =(r+c)r：πr2= ．
△ABC ⊙O πr
故答案为：B．
1
【分析】先求出OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，再求出S = (2r+c+c)r=(r+c)r，最后
△ABC 2
计算求解即可。
【变式9-2】正三角形外接圆面积是 64πcm2 ，其内切圆面积是（ ）
A．32πcm2 B．8πcm2 C．9πcm2 D．16πcm2
【答案】D
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的外心，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
1
在Rt△OBD中，OD= OB，
2
∴△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1.
∵正三角形外接圆面积是 64πcm2 ，
∴其内切圆面积是 16πcm2
故答案为：D.
1
【分析】如图⊙O为△ABC的内切圆，连OB，可得点O为△ABC的外心，AD⊥BC，可得OD=
2
OB，从而得出△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1，据此求出结论.
题型10：三角形的内切圆-求角度
10.已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC等于（ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB和OC是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC=25°，∠OCB= ∠ACB=40°，
2 2
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=115°．
故答案为：C.
1 1
【分析】由题意可得OB、OC为△ABC的角平分线，则∠OBC= ∠ABC=25°，∠OCB=
2 2
∠ACB=40°，然后根据内角和定理进行计算.
【变式10-1】如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数
是（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点O为ΔABC的外心，∠BOA=140°，
∴∠C=70°，
∴∠CAB+∠CAB=110°，
∵点I为ΔABC的内心，
∴∠IAB+∠IBA=55°，
∴∠AIB=125°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的外心的性质可得∠C=70°，再利用三角形的内心可得∠IAB+∠IBA=55°，最后
利用角的运算可得∠AIB=125°。
【变式10-2】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠≝=50°，则
∠A的度数是（ ）
A．50° B．100° C．90° D．80°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD、OF，如图所示：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D，E，F，∠≝=50°，
∴∠ADO=∠AFO=90°，∠DOF=2∠≝=100°，
∴∠A=360°−∠ADO−∠AFO−∠DOF=80°；
故答案为：D.
【分析】连接OD、OF，根据切线的性质可得∠ADO=∠AFO=90°，由同弧所对的圆心角等于圆周角
的2倍可得∠DOF=2∠DEF=100°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
一、单选题
1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取
（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
【答案】D
【解析】【解答】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜半径＝4
故答案为：D.
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论.
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有
两个公共点，则r的取值范围是（ ）
24 24
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C． ＜r≤6 D． ＜r≤8
5 5
【答案】C
【解析】【解答】如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=10．
24
圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5= ；
5
∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，
24
∴ ＜r≤6．
5
故选C．
【分析】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆
的位置关系与数量之间的联系．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接
BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CA，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，1
∴∠DBA=∠ODB= ∠AOD=75°．
2
故选D．
【分析】首先连接OD，由CA，CD是⊙O的切线，∠ACD=30°，即可求得∠AOD的度数，又由
OB=OD，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解
此题的关键．
4．在平面直角坐标系中，以点(-1，2)为圆心，1为半径的圆必与( )
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
【答案】D
【解析】【分析】根据点(-1，2)到x轴的距离为2，到y轴的距离为1即可判断。
由题意得以点(-1，2)为圆心，1为半径的圆必与y轴相切，故选D.
【点评】本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式
出现，属于基础题，难度不大。
5．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是
^ABC 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解；如图，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由 ^AC = ^BC ，得
∠AOC=∠BOC=50°．
由圆周角定理，得
1
∠ADC= ∠AOC=25°，
2
故选：C．
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答
案．
15 20
6．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD= ，AD= ，则S =（ ）
7 7 △ACB
A．12 B．6 C．3 D．7.5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵I为内心，
∴CD平分∠ACB，
AC AD 4
∴ = = ，
BC BD 3
设AC=4x，BC=3x，
∴AB=√AC2+BC2=5x，
20 15
∴5x= + ，解得x=1，
7 7
∴AC=4，BC=3，
1
∴S = ×4×3=6．
△ACB 2
故选B．AC AD 4
【分析】根据内心的性质得CD平分∠ACB，则根据角平分线定理得到 = = ，于是可设
BC BD 3
15 20
AC=4x，BC=3x，再利用勾股定理得到AB=5x，则有5x= + ，解得x=1，所以AC=4，BC=3，然
7 7
后根据三角形面积公式求解．
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等
于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA，OB．
根据切线的性质，得∠OBP＝∠OAP＝90°，
根据四边形的内角和定理得∠AOB＝130°，
1
再根据圆周角定理得∠C＝ ∠AOB＝65°．
2
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，先由切线的性质得出∠OBP＝∠OAP＝90°，进而得出∠AOB＝130°，再根据圆周角定理即可求解．
二、填空题
8．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，
那么r的取值是 ．
【答案】4或5
【解析】【解答】解：∵以点P(−3，4)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图2)或⊙P过原点（如图1)，
当⊙P与x轴相切时，r=4，
当⊙P过原点时，r=OP=√32+42=5．
∴r=4或5．
故答案为：4或5．
【分析】先画出图象，再根据直线和圆的位置关系求解即可。
9．如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将∠A沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处.若
∠C=50°，则∠ABE的度数为 .
【答案】80°
【解析】【解答】解：如图，连接AE，根据折叠的性质可得：AB=BE，
∴A´B=B´E
∴∠BAE=∠BEA=∠C=50° （同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABE=180°−50°−50°=80° ，
故答案为：80°.
【分析】首先连接BE，根据折叠的性质可得：AB=BE，即可得 A´B=B´E ，根据同弧所对的圆周角
相等得到∠BAE和∠BEA的度数，继而根据三角形的内角和求得∠ABE的度数.
10．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为2 √2 的圆与直线OA的位
置关系是 ．
【答案】相离
【解析】【解答】解：过C作CD⊥OA于D，
∵∠O=30°，OC=6，
1
∴CD= OC=3，
2
∵⊙C的半径为2 √2 ，即d＞r，
∴⊙C和OA的位置关系是相离．
故答案为：相离．
【分析】求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于点
D，∠C＝42°．点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则∠AED的度数为 ．【答案】42°
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠C＝42°.
故答案为：42°.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABD，∠ADB＝90°，由切线的性质可得
AB⊥BC，根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠C，据此解答.
三、解答题
12．在△ABC中， ∠C=90° ，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别
交AB，AC于点E，F
（1）如图①，连接AD，若 ∠CAD=25° ，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为 A´D 的中点， ⊙O 的半径为2，求AB的长．
【答案】（1）解：如解图①，连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°，
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°，
∵∠ODB=90°，
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°；
（2）如解图②，连接OF，OD，
∵AC∥OD，
∴∠OFA=∠FOD，
∵点F为弧AD的中点，
∴∠AOF=∠FOD，
∴∠OFA=∠AOF，
∴AF=OA，
∵OA=OF，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠FAO=60°，则∠DOB=60°，∴∠B=30°，
∵在Rt△ODB中，OD=2，
∴OB=4，
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【解析】【分析】（1）连接OD， 由切线的性质可得∠ODB=90°， 由∠C=90°，可得AC∥OD， 从
而可得∠DAO=
∠ADO=∠CAD=25°，继而得出∠DOB的度数，利用∠B=90°－∠DOB即得结论；
（2）连接OF，OD，求出△AOF为等边三角形，可得∠FAO=60°，则∠DOB=60°，从而得出
∠B=30°， 利用直角三角形的性质求出 OB=2OD=4， 利用AB=AO＋OB计算即可.
13．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO=13cm，⊙O的半径为5cm，求
△PDE的周长．
【答案】解：连接OA，则OA⊥PA．
在直角三角形APO中，PO=13cm，OA=5cm，
根据勾股定理，得
AP=12cm．
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，
∴PA=PB，DA=DF，EF=EB，
∴△PDE的周长=2PA=24cm．【解析】【分析】连接OA．根据切线的性质定理，得OA⊥PA．根据勾股定理，得PA=12，再根据切
线长定理即可求得△PDE的周长．
14．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，
BA，CD的延长线相交于点E.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中 ∵OD=OB，OC=OC， ∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO=90°， ∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠EDO=90°，∴ED2+OD2=OE2， ∴32+R2=（R+1）2， 解得R=4， ∴⊙O的半径为4．
【解析】【分析】(1)、连接DO，根据平行线的性质得出∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，结合
OA=OD得出∠COD=∠COB，从而得出△COD和△COB全等，从而得出切线；
(2)、设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，根据Rt△ODE的勾股定理求出R的值得出答案．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过
A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为圆O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：证明：连接OD，∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
（3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
设AC与⊙O交于点F，连接BF，∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线，
在Rt△ABF中，AB=6，AF=3，
1 3√3
根据勾股定理得：BF= √62−32 =3 √3 ，则DE= BF= ．
2 2
【解析】【分析】（1）要证AB是⊙O的直径，根据圆周角所对的弦的直径，因此连接AD，证明
∠ADB=90°，由已知AB=AC，BD=DC，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得证
（2）连接OD，先证明OD为△ABC的中位线，得出OD∥AC，再由DE⊥AC，即可得出DE⊥OD，可
证得结论。
（3）由已知易证得△ABC为等边三角形，可求得AB=AC=BC=6，设AC与⊙O交于点F，连接BF，
再证明DE为△BCF中位线，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF的长，再根据三角形中位线
定理即可求得DE的长。
