文档内容
第 64 讲 椭圆的标准方程及其性质
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
1 2
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、焦半径：椭圆上的点P(x ，y )与左(下)焦点F 与右(上)焦点F 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
0 0 1 2
别记作r ＝|PF |，r ＝|PF |.
1 1 2 2
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r ＝a＋ex ，r ＝a－ex ；
1 0 2 0
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r ＝a＋ey ，r ＝a－ey ；
1 0 2 0
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
A (0，－a)，A (0，
A (－a,0)，A (a,0)， 1 2
顶点
1 2 a)，
性质 B (0，－b)，B (0，b)
1 2 B (－b,0)，B (b,0)
1 2
轴 长轴A A 的长为2a，短轴B B 的长为2b
1 2 1 2
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c
c2＝a2－b2
的关系1、（2022•甲卷（文））已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点，
为 的上顶点．若 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为 ，
则 ，
由平面向量数量积的运算法则可得：
， ，
则椭圆方程为 ．
故选： ．
2、（2023•甲卷（理））已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】椭圆 ， ， 为两个焦点， ，
为原点， 为椭圆上一点， ，
设 ， ，不妨 ，可得 ， ，即 ，可得 ， ，
，
可得
．
可得 ．
故选： ．
3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，
由 ， ，
相减可得： ，
则 ，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，，解得 ，
， ，化为： ．
， ，解得 ．
的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
x2 y2
4、【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．
a2 b2
1
若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【解析】
解：A(−a,0)，
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，
1 1 1 1
y y
则k = 1 ,k = 1 ，
AP x +a AQ −x +a
1 1
y y y ❑ 2 1
故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ，
AP AQ x +a −x +a −x ❑ 2+a2 4
1 1 1
x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2−x ❑ 2)
又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ，
a2 b2 1 a2
b2(a2−x
❑
2)
1 b2 1
所以 a2 1，即 = ，
= a2 4
−x ❑ 2+a2 4
1c √ b2 √3
所以椭圆C的离心率e= = 1− = .
a a2 2
故选：A.
5、【2021年乙卷文科】设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
6、【2021年乙卷理科】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
7、【2021年新高考1卷】已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
8、【2021年甲卷文科】已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两
点，且 ，则四边形 的面积为________．
【答案】
【解析】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
1、设P是椭圆＋＝1上的点，若F，F 是椭圆的两个焦点，则|PF|＋|PF|等于( )
1 2 1 2
A．4 B．5
C．8 D．10
【答案】 D
【解析】 依椭圆的定义知，|PF|＋|PF|＝2×5＝10.
1 22、若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. (－3，5) B. (－5，3)
C. (－3，1) D. (－5，1)
【答案】 C
【解析】 由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得5－m>m＋3>0，解得－3AB＝4．
∴ 点M的轨迹是以点B(－2，0)、A(2，0)为焦点、线段AB中点(0，0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝．
∴ 所求轨迹方程为＋＝1．
变式1、(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交
MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【答案】 B
【解析】 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|
＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
（2）△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
【答案】 A
【解析】 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为
10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为＋＝1.又A，B，C三点不能共线，所以＋＝
1(y≠0)．
方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P
在椭圆上时，与椭圆的两焦点F ，F 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用
1 2
定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等
考向二 椭圆的标准方程
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 经过P(－2，0)，Q(0，2)两点；
(2) 与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－).
【解析】 (1) 由题意，得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以a＝2，b＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F，F，
1 2
则F(－1，0)，F(1，0)，
1 2
所以所求椭圆的焦点在x轴上．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得或(舍去)，
所以椭圆的标准方程为＋＝1
变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
【解析】 (1)如果焦点在x轴上，则a＝3，离心率＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆的标准方程
为＋y2＝1；如果焦点在y轴上，则b＝3，将＝代入b2＝a2－c2中，得a2－a2＝9，∴a2＝81，∴椭圆的标准
方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1和＋＝1.
(2)(方法1)椭圆＋＝1的a＝5，b＝3，
∴c＝4，焦点为(0，－4)，(0，4)．由椭圆定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2得b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(方法2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)坐标代入，得
2＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
变式2、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1，
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知，有
解得b2＝9，
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则有解得
则所求椭圆方程为＋＝1.
(4)椭圆＋＝1的离心率是e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，
∴解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；
③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；
④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
考向三 椭圆的性质
例3、（1）（2022·广东清远·高三期末）若椭圆 的焦距为6，则实数 （ ）
A．13 B．40 C．5 D．
【答案】A
【分析】
根据题意，可知 ， ，由 进行运算，即可求出 的值.
【详解】
解：因为椭圆 的焦距为6，
可知 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得： .
故选：A.
（2）（2022·江苏海安·高三期末）若椭圆 的焦距为 ，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【分析】
将已知椭圆方程化为标准形式为 ，由题意可得 ， ，结合 以及 、
即可求解.
【详解】
由 可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ， ， ，
由题意可得 ，所以 ， ，
可得 ，离心率 ，
故答案为： .
（3）(2022·江苏如皋期初考试)椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因
为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正
确，其他选项错误；所以答案选D.
变式1、（1）设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上．若线段PF 的中
1 2 1
点在y轴上，∠PFF＝30°，则椭圆的离心率为________．
1 2
【答案】【解析】 如图，设PF 的中点为M，连接PF.因为O为FF 的中点，所以OM为△PFF 的中位线，所以
1 2 1 2 1 2
OM∥PF ，所以∠PFF ＝∠MOF ＝90°.因为∠PFF ＝30°，所以PF ＝2PF.由勾股定理，得FF ＝＝PF.由
2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2
椭圆定义，得2a＝PF＋PF＝3PF，则a＝.又2c＝FF＝PF，则c＝，所以e＝＝·＝.
1 2 2 1 2 2
（2）(2022·江苏如皋期初考试)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相
连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意，如图，由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，b＝bc，所以＋a＋2c，故椭
圆离心率．
变式3、 (1)已知F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠FPF ＝90°，则
1 2 1 2
椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】若椭圆上存在点P，使得PF⊥PF，则以原点为圆心，FF 为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
1 2 1 2
可得c≥b，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈.
（2）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB＝120°，则
该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A【解析】 如图，
当P在上顶点时，∠APB最大，
此时∠APB≥120°，
则∠APO≥60°，
所以tan∠APO≥tan 60°＝，
即≥，a2≥3b2，a2≥3(a2－c2)，
所以2a2≤3c2，
则≥，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
方法总结：求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式
关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则
研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
考向四 与椭圆有关的范围(最值)
例4、已知F，F 是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，求|PF1＋PF2|的最小值．
1 2
【解析】 设点P(x，y)，由题意，得F(－，0)，F(，0)，则PF1＝(－－x，－y)，PF2＝(－x，－y)，
0 0 1 2 0 0 0 0
所以PF1＋PF2＝(－2x，－2y)，
0 0
所以|PF1＋PF2|＝＝2＝2.
因为点P在椭圆上，所以0≤y≤1，
所以当y＝1时，|PF1＋PF2|取得最小值2.
变式1、椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，当MP＋2MF的值最小时，求
点M的坐标．
【解析】 由题意，得a2＝4，b2＝3，
所以c＝＝1，
所以椭圆的离心率e＝＝，右准线方程为x＝＝4.
作出椭圆的右准线l，过点M作MN⊥l于点N，
则＝e＝，所以2MF＝MN，
所以MP＋2MF＝MP＋MN.
要求MP＋2MF的最小值，即求MP＋MN的最小值，过点P(1，－1)作PN ⊥l于点N ，交椭圆于点M，则当动点M在椭圆上运动，与点M 重合时，MP＋
0 0 0 0
2MF取得最小值．
设M(x，－1)，代入椭圆方程，得x＝(舍负)，
0 0 0
所以当MP＋2MF的值最小时，点M的坐标为(，－1).
方法总结：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线 的方程是 ，则曲线
的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点 到两定点 的距离之和为4．而 ，因此 的轨迹是以
为焦点的椭圆．
故选：B．
2、（2022·湖北江岸·高三期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为e，
下列说法正确的是（ ）
A．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形
B．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形
C．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形D．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形
【答案】A
【解析】对于A，当 时，可得 ，要使得 为直角三角形，
则 或 或 .
易知：当 为上、下顶点时， ，有 种情况，
当 时， ，有 种情况，
同理，当 ，也有 种情况.故共有6个不同的点，使得 为直角三角形，
选项A正确.
对于B，当 时，可得 ，要使得 为等腰三角形，
则 或 或 .
根据对称性易知，以上每一种情况都有 种等腰三角形，故共有 个等腰三角形，故B错误.
对于C，当 时，可得 ，当点 在上顶点或下顶点时 最大，且最大角为 ，故要使得
为直角三角形，
则 或 .
当 时， ，有 种情况，
同理，当 ，也有 种情况.共有4个不同的点，使得 为直角三角形，故选项C错误.
对于D，要使得 为等腰三角形，
则 或 或 .
根据对称性易知，以上每一种情况都有 种等腰三角形，故共有 个等腰三角形，故D错误.故选：A
3、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C
相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 ，O为坐标原点，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，设
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，化简得 ，
所以离心率 ，
故选：A
4、（2022·江苏海门·高三期末）已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 的内
部，点 在椭圆 上，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率的取值范围为
C．存在点 使得 D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由已知可得 ，可得 ，则 ，A对；对于B选项，椭圆 的离心率为 ，B错；
对于C选项，设 、 分别为椭圆 的左、右焦点，则 、 ，
记 ，设点 ， ， ，
因为 ，则 ，
所以，点 在圆 上，联立 可得 ，
即圆 与椭圆 有公共点，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
5、（2023·广东深圳·统考一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为
_________．
【答案】
【解析】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，化简得 ，即离心率 ，
故答案为： .
6、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现
了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝
伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，
②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.【答案】
【解析】设左顶点 ，上顶点 ，则直线AB的方程为 ，
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离 ，
即 ，即 ，即 ，所以 ，
长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则 ，所以 ，
综上， ，即 ，两边同除以 得 ，又 ，解得 ．
故答案为： ．
