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第 66 讲 抛物线的标准方程与性质
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的
焦点，直线l叫做抛物线的准线．
二 、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线
范围
开口方向
焦半径(其中
P(x ，y ))
0 0
三 、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
(1)y y ＝－p2，x x ＝.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x ＋x ＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
1 2(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
1、（2022•乙卷（文））设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
2、【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则
|AB|=（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
3、（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
4、【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到
y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
5、（2023•乙卷（文））已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
6、（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
1、抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
2、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）A． B． C． D．
3. (多选)(2022·常德一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列结论中正确的
是( )
A. 焦点F的坐标为(1，0)
B. 过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D. 抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则MN＝4
4. (2022·青岛二中高三期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：x＝2交抛物线C于P，Q两点，且
OP⊥OQ，则抛物线C的方程为________．
考向一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____．
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．
变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P ，P 两点，求证：以PP 为直径
1 2 1 2
的圆和该抛物线的准线相切．
方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直
线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理
解决．
考向二 抛物线的标准方程及其几何性质
例 2 、 顶 点 在 原 点 ， 对 称 轴 为 坐 标 轴 ， 且 过 点 P( － 4 ， － 2) 的 抛 物 线 的 标 准 方 程 是
________________________．
变式1、 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x ，y)，B(x ，y)是过点F的直线与抛物线的两个交
1 1 2 2点，求证：
(1) yy＝－p2，xx＝；
1 2 1 2
(2) ＋为定值；
(3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
变式2、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
（2）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y)在抛物线上，K为l与y
0
轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y＝________，p＝________.
0
方法总结：1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝
ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了
不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算
1、(2022·江苏第一次百校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为点F，点A(－1，0)，抛物线上点P满足PA＝
PO，O为坐标原点，则PF的长等于
A．1 B． C．2 D．
2、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该
三角形的边长为______．
3、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，
若M为FN的中点，则|FN|＝ ．
4、（2022·河北唐山·高三期末）已知抛物线C： 的焦点为F， ， 是C上两点，若，则 （ ）
A． B． C． D．2
5、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是拋物线 上一点， 是 的焦点，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6、（2022·广东东莞·高三期末）已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于
两点.若线段 的长为16， 的中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，
且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
