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第 15 讲 一元一次方程的应用（2 个知识点+8 种题型+过关检测）
知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含x的式子表示
相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，
然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通
过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
知识点2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
1
学科网（北京）股份有限公司（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或
间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、
解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
题型一、行程问题(一元一次方程的应用)
1．（2024七年级上·全国·专题练习）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——
洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，
逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时 ，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码
头间距离为 ，则所列方程为（ ）
2
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出顺水、逆水行驶时候的速度，难度一般．
设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，然后利用静水速度相同列出方程即可求解．
【详解】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，
根据题意得： ．
故选：C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）小明和爷爷去操场上散步．小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟．
如果两人同时从同一个地方出发，同向而行，他们第一次相遇时都走了 分钟．
【答案】40
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，设他们第一次相遇时都走了 分钟，利用走的圈数 走的时间 走
一圈所需时间，结合小明比爷爷多走了一圈，可列出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设他们第一次相遇时都走了 分钟．
根据题意，得
1
解得
所以，他们第一次相遇时都走了 分钟．
故答案为：
3．（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为 ，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，
途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰 ，若水流速度为 ．
3
学科网（北京）股份有限公司(1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？
(2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为 ，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救
生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？
【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了 ；
(2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 ．
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流
速度）．
（1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解；
（2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 ，根据时间的等量关系列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ．
答：从救生圈落水到被发现用了 ；
（2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 ，依题意有
，
解得 ,
答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 ．
题型二、工程问题(一元一次方程的应用)
4．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）一项工作，甲单独做8小时完成，已单独做6小时完成，现在由甲单独做2
小时，剩下的由甲、乙合作，还需几小时完成？若设剩下的工作还需 小时完成，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程即可得到答案，熟记工程问题常用公式：
工作总量 工作效率 工作时间是解决问题的关键．
4
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设剩下的工作还需 小时完成，则
，
故选：A．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间
每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件
任务为x个，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够用含有未知数的代数式表示相关的量，再根
据题中的等量关系列方程，根据“实际生产所用时间比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件”列方程即
可．
【详解】解：利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务，
依题意，得 ．
6．（21-22七年级上·云南玉溪·期末）整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，
需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？
【答案】女生单独完成还需要工作 小时
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生单独完成还需要工作 小时．根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设女生单独完成还需要工作 小时．根据题意得，
解得：
答：女生单独完成还需要工作 小时．
5
学科网（北京）股份有限公司题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用)
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商人一次卖出两件商品，一件赚了 ，一件赔了 ，卖价都是
480元，在这次买卖过程中，商人（ ）
A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔
【答案】B
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了 的商品进价为 元，赔
了 的商品进价为 元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案．
【详解】解：设赚了 的商品进价为 元，
则 ，解得： ；
设赔了 的商品进价为 元，
则 ，解得： ，
，
即这次买卖过程中，商人赔了40元，
故选：B．
8．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）一件服装的标价为400元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本
价是 元．
【答案】260
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．设该件服装的
成本价是x元．根据“利润 标价 折扣 进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设该件服装的成本价是x元，
依题意得： ，
解得： ．
∴该件服装的成本价是260元．
6
学科网（北京）股份有限公司故答案为260．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打
七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？
【答案】120元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
设裤子的标价为 元．根据题意可得 ，解方程即可．
【详解】解：设裤子的标价为 元．
依题意，得 ，解得 ．
故裤子的标价为120元．
题型四、方案选择(一元一次方程的应用)
10．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊
价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将某班的学生分成 组，若每组 人，则多 人，若每组 人，则差
人．则 ．
【答案】
7
学科网（北京）股份有限公司【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】将学生分成 组，根据题意，列出方程，即可．
【详解】将学生分成 组，
∵每组 人，则多 人，若每组 人，则差 人，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是根据人数不变，找到等量关系，列出方程．
12．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，
T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的 付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（ ）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
【答案】(1)
(2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样
(3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
（1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可；
（2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案；
（3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤．
8
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：根据题意得 ，
故按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ；
（2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ，
根据题意得， ，
解得 ，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款
（元），
共需付款3400元．
题型五、数字问题(一元一次方程的应用)
13．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
故选：C．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列
及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ．
9
学科网（北京）股份有限公司【答案】16
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设左下角方格中的数是x，
∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：16．
15．（24-25七年级上·全国·期中）设一个六位数 的3倍为 ，求这个六位数．
【答案】
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设 ，根
据“六位数 的3倍为 ”列方程求解即可．
【详解】解：设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：这个六位数为 ．
题型六、几何问题(一元一次方程的应用)
16．（2024七年级上·全国·专题练习）把一个用铁丝围成的三角形改制成一个长方形，则这个长方形与原来的三角形
相比，（ ）
A．面积与周长都不变化 B．面积相等但周长发生变化
10
学科网（北京）股份有限公司C．周长相等但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据铁丝的长度保持不变，但铁丝围成区域的面积发生了改变，可得答案．
【详解】解：把一个用铁丝围成的三角形改制成一个长方形，铁丝的长度保持不变，铁丝围成区域的面积发生了改变，
因此这个长方形与原来的三角形相比，周长相等但面积发生变化．
故选C．
17．（2024七年级上·全国·专题练习）一个长方形的周长为60，长为x，宽比长的一半多2．求这个长方形的长．根
据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】长为 ，则宽为 ，根据周长公式列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程， 解答本题
的关键是根据题意表示出长方形的长和宽， 要求同学们熟练掌握长方形的周长公式 ．
【详解】解：∵一个长方形的周长为60，长为x，宽比长的一半多2．
则宽为 ，
由题意得， ．
故答案为： ．
18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为 ，点 为数轴上任意点，
其对应的数为 ，
(1)如果点 到点 、点 的距离相等，那么 的值是：______；
11
学科网（北京）股份有限公司(2)如果点 以每分钟2个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个
单位长度的速度也向左运动．设 分钟时点 到点 、点 的距离相等，求 的值．
【答案】(1)1
(2)2或4
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题
【分析】主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．
（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）分两种情况：①点 是点 和点 的中点；②点 和点 相遇；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解： ．
故答案为：1；
（2）解：①点 是点 和点 的中点．
根据题意得： ，
解得： ；
②点 和点 相遇．
根据题意得： ，
解得： ．
故 的值为2或4．
题型七、其他问题(一元一次方程的应用)
19．（2024七年级上·全国·专题练习）甲厂的年产值为 万元，比乙厂的年产值的5倍还多 万元，若设乙厂的
年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
12
学科网（北京）股份有限公司【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据甲厂的年产值为 万元，比乙厂的年产值的5倍还多 万元，
可以列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只，有 的狗错认为自己是
猫；有 的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 认为自己是猫，那么狗有 只．
【答案】240
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设狗有x只，则猫有 只，根据有 的狗错认为自己是猫；有 的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有
认为自己是猫，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设狗有x只，则猫有 只，
由题意得： ，
解得： ，
即狗有240只，
故答案为：240．
21．（2024七年级上·全国·专题练习）在浓度为 的一杯盐水中，加入 盐后，盐水浓度为 ，那么原来那
杯浓度为 的盐水的质量为多少克？
【答案】
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
13
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原来那杯浓度为 的盐水的质量为 ，利用溶液的质量不变，再
建立方程求解即可．
【详解】解：设原来那杯浓度为 的盐水的质量为 ，则其中盐的质量为 ，加人 盐后，盐水的质量为
．
依题意，得 ，
解得 ．
故原来那杯浓度为 的盐水的质量为 ．
题型八、古代问题(一元一次方程的应用)
22．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、
羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2
头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查列一元一次方程解决问题，设一头牛值金 两，根据“有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2
头，羊5头，价值金8两”，利用羊的价钱不变列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设一头牛值金 两．
答：一头牛值金 两．
故选：D．
23．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，
14
学科网（北京）股份有限公司问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一
车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ．
【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于 的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得： ．
故答案为： ．
24．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，
众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
【答案】(1)房客中大人有 人，小孩有 人
(2)方案二
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费
用比较大小是解决问题的关键．
（1）设房客中小孩有 人，则大人有 人，由总人数为 人列一元一次方程求解即可得到答案；
（2）设每人收费相同，为 元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：设房客中小孩有 人，则大人有 人，
，解得 ，
则 ，
15
学科网（北京）股份有限公司答：房客中大人有 人，小孩有 人；
（2）解：设每人收费相同，为 元，
方案一费用： 元；
方案二费用： 元；
，
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算．
一、单选题
1．一个角的余角的度数是这个角的补角的度数的 ，那么这个角的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查余角定义，补角定义，角度计算，一元一次方程实际应用等．根据题意设这个角的度数为x，则这
个角余角的度数为 ，补角为 ，再根据题意列式即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角余角的度数为 ，补角为 ，
，
解得： ，
故选：A．
2．某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店
（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．亏损9.6元
【答案】B
16
学科网（北京）股份有限公司【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】设盈利的进价是 元，亏损的是 元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了120元，其中一个盈利
，另一个亏损 ，可列方程求解．
【详解】解：设盈利的进价是 元．
，解得 ．
设亏本的进价是 元．
，
解得 ．
元．
故亏损了10元．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润 售价 进价，求出两个商品的进价，从而得
解．
3．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用4小时，已知步行速度为每小时5千米，公交车的速度为每小时40千米，
设甲乙两地相距 千米，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题意：从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用4小时，列出方程即可．
【详解】解：设甲乙两地相距 千米，
根据题意，可得： ．
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，正确列出方程．
4．某学校要把2000元分给15名学生（包含一等奖与二等奖），其中一等奖每人200元，二等奖每人100元，设一等
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学科网（北京）股份有限公司奖有 名学生，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】若设一等奖有x人，则二等奖有 人，根据“把2000元分给15名学生（包含一等奖与二等奖）”列出
方程即可．
【详解】若设一等奖有x人，则二等奖有 人，根据题意，得
．
故选：A
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
5．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度是120千米/时，乙
车的速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
A．2或 B．2或0 C．10或 D．2或
【答案】A
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】分两种情况讨论：①两车相遇之前相距50千米；②两车相遇之后又相距50千米，根据路程=速度×时间，列
方程求解即可得到答案．
【详解】解：①当两车相遇之前相距50千米时，
根据题意， ，
解得： ；
②当两车相遇之后又相距50千米时，
根据题意， ，
18
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
综上可知，经过t小时两车相距50千米，则t的值是2或 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，根据题意找出等量关系是解题关键．
6．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺
栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排
名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排 名工人生产螺母，
由题意得： ，
故选：C．
7．为了抗击新冠疫情，某地向疫情高风险区捐赠一批物资，若每辆货车装运8吨，则有4吨物资无法装运；若每辆
货车装运10吨，则可以少用2辆货车，则这次捐赠的物资共多少吨？设这次捐赠的物资共 吨，则下面所列方程正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设这次捐赠的物资共 吨，根据每辆货车装运8吨，则有4吨物资无法装运可知需要货车 辆，根据每辆
货车装运10吨，则可以少用2辆货车可知需要货车 辆，据此列出方程即可．
19
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设这次捐赠的物资共 吨，
由题意得， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．如图，线段 ， ， ，现有点P绕着点O以每秒 的速度顺时针旋转一周后
停止，同时点Q沿直线 自B点向A点运动，假若P，Q两点能相遇，则点Q运动的速度是每秒（ ） ．
A．8 B． C．8或 D．9
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题意，点P，Q只能在直线 上相遇，先求得点P旋转到直线AB上的时间，设点Q的速度为 ，
然后根据题意且结合图形列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，点P，Q只能在直线 上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为： 或 ，
设点Q的速度为 ，
则有 ，解得 ；
或 ，解 ，
答：点Q的速度为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，掌握速度、时间、路程间的关系是解答的关键．
9．若代数式 （a、b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式 的值为
（ ）
20
学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】整式加减中的无关型问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的
加减，然后根据代数式的值与字母 的取值无关可得含字母 的项的系数等于0，由此建立方程，解方程可得 的值，
最后代入计算即可得．
【详解】解：
，
∵代数式 （ 为常数）的值与字母 的取值无关，
， ，
解得 ，
则 ，
故选：D．
10．有一组非负整数： ， ，…， ．从 开始，满足 ， ， ，…，
．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， ， 时， ；
④当 ， （ ， 为整数）时， ．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据运算法则，分别先求出前面的几个数值，再观察发现其规律，再判定结论错误与否即可．
【详解】解：当 ， 时，
∴ ，
，故①不符合题意；
当 ， 时，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
∴
故②符合题意，
当 ， ， 时，
∴ ，
22
学科网（北京）股份有限公司，
，
解得： 或 ；故③不符合题意，
当 ， （ ， 为整数）时，
∴ ，
，
，
，
，
，
∴
∴ ．故④符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大．
二、填空题
11．一项工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程，则
甲一共做了 天．
【答案】5
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】设甲共做了x天，则乙做了（x﹣1）天，然后根据“工作效率×工作时间＝工作总量”列方程求解．
【详解】解：设甲共做了x天，则乙做了（x﹣1）天，由题意，可得：
23
学科网（北京）股份有限公司＝1，
解得：x＝5，
答，甲一共做了5天，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系（工作总量=工作效率×工作时间）列出关于x的一元一次方
程是解题的关键．
12．一项工程，A组独做需要10天完成，B组独做需要15天完成．若A组先做5天，再由 两组合做，共要完成
全部工程的三分之二， 两组需合做 天．
【答案】1
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A独做的加上A、B合做的是总工程的 ，此题可以分段考虑，A独做了
5天，合作了（x-5）天，利用等量关系列方程即可解得．
【详解】解：设共需x天．
根据题意得： ，
解得：x=6．
则x-5=6-5=1（天）
故答案是：1．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程，再求解．
13．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个
三阶幻方（图2），三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，如图3，这是另一个三阶幻方，则
的值为 ．
24
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a，b的一元一次方程，解之即可．
【详解】如图所示．
∵三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍
∴
解得
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
14．如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为8，则称该数为“发数”.已知一个“发数”的十位数字是其个位数
字的3倍，则这个“发数”是 ；如果一个“发数”的十位数字的2倍与个位数字的和能被3整除，则满足
条件的最大“发数”是 .
【答案】 62 71
25
学科网（北京）股份有限公司【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程 ，解这个方程即可得解；设这个
发数十位数字为 ，则个位数字为 ，依题意得 能被3整除，进一步分析即可．
【详解】解：设这个“发数“十位数字为 ，由题意得；
，
解得： ，
则个位数为 ，
这个发数为62．
设这个发数十位数字为 ，则个位数字为 ，
“发数”的十位数字的2倍与个位数字的和能被3整除，
即 能被3整除，
或4或7，
故满足条件的最大“发数”是71，
故答案为：62；71．
15．现有一把无刻度的直尺和四块完全一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示
的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是 ．
【答案】 /15厘米
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法与步骤，抓住图形直尺的长度不变
26
学科网（北京）股份有限公司列方程是解题关键．设长方形的宽为 ，则长为 ，根据直尺的长度列方程，然后解方程即可．
【详解】解：设长方形的宽为 ，则长为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
∴直尺的长度是 ．
故答案为： ．
16．《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，
则还差八两，请问：这一群人共有 人．
【答案】6
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设有x人，用含有x的代数式分别表示两种情况下的银子两数，根据两数相等，建立等式求解即可．
【详解】设有x人，根据题意，得
7x+4=9x-8，
解得x=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了古籍中一元一次方程，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
17．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为
20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为
cm3．
【答案】2000
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后的体积不变列出方程求解．
【详解】设铁块沉入水底后水面高为hcm，由题意得：
50×40×12+20×20×h＝50×40×h，
解得h＝15．
27
学科网（北京）股份有限公司则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣15＝5（cm）．
∴水箱中露在水面外的铁块的体积为：20×20×5＝2000（cm3）．
故答案为：2000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
18．如图，正方形 的边长为4cm，Q点以3cm/秒的速度从点C出发，点P以1cm/秒速度从点B同时出发，都
沿正方形 四边做逆时针运动．则经过 秒点P与点Q实现第一次相遇？
【答案】
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设经过 秒点P与点Q实现第一次相遇，根据点所走的路程等于点所走的路程加上 的长度即可得到答
案．
【详解】解：设经过 秒点P与点Q实现第一次相遇，
第一次相遇前点 所走的路程为点 ， 所走的路程为
由题意可知 ，
解得 ，
故设经过6秒点P与点Q实现第一次相遇．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，正确的得到等量关系是解题的关键．
三、解答题
19．东湖小学六年级举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，没有做一题或做错一题倒扣3分．刘刚得了60
分，则他做对了几题？
【答案】15
28
学科网（北京）股份有限公司【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设做对了x道题，则没有做一题或做错一题得题数为 ，列方程解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设做对了x道题，则没有做一题或做错一题得题数为 ，
根据题意， ，
解得 ．
答：他做对了15题．
20．020年10月份，晋中市政府开展的 “晋情来消费”家电专用消费券暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交
易满600元立减100元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客
购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金620元．求该电饭煲的进价．
【答案】600元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】设该电饭煲的进价为x元，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】设该电饭煲的进价为x元，根据题意得，
，
解得 ，
∴该电饭煲的进价为600元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
21．某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有 道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了 位参赛者的得分情况，
根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题 得分
29
学科网（北京）股份有限公司数
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者 得分为 分，求他答错了几道题？
(3)参赛者 说他的得分为 分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)参赛者 答错了3道题
(3)不可能，理由见解析
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分 答错题所扣分 总得分”是关键．
（1）先由选手 算出答对一题所得分数，再由选手 算出答错一题扣分即可；
（2）设答对了 道题，答错了 道题，根据题意构造方程，解方程即可；
（3）设答对了 道题，答错了 道题，根据“答对的得分 答错的得分 分”列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
答对一题的得分是： （分），
答错一题的得分是： （分），
故答案为： ， ；
30
学科网（北京）股份有限公司（2）设参赛者 答对了 道题，答错了 道题，由题意得：
参赛者 答错了3道题；
（3）不可能，理由如下：
假设参赛者 得 分，设答对了 道题，答错了 道题，由题意得：
，
，
，
为整数，
参赛者 说他的得分为 分，是不可能的．
22．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛
者的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A 20 0 120
B ① 2 106
C ② ③ 78
D 10 ④ 50
31
学科网（北京）股份有限公司(1)选错一道题得分情况；
(2)补全表格；
①______；②______；③______；④______．
(3)参赛者E说他得分是60分，请你判断可能吗？并说明理由；
【答案】(1)答错一题扣1分．
(2)①18；②14；③6；④10；
(3)不可能．
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据A的数据可计算出答对一题所得的分数，由B的数据可知答错一题扣的分；
（2）根据数据和（1）中的结论可计算出①④的值，设 答对了 道题，则答错了 道题，可列方程
，解之即可；
（3）设E答对了x道题，则他答错了 道题，根据题意可列方程： ，解之即可．
【详解】（1）由A可知，答对一题得分为 ，
由表格可知，B答对了 题，
．
答：答错一题扣1分．
（2）解：①： ，
②③：设 答对了 道题，则答错了 道题；
∴ ，
解得： ，
，
④ ，
故答案为：①18；②14；③6；④10；
32
学科网（北京）股份有限公司（3）解：不可能．
设E答对了x道题，则他答错了 道题，
根据题意， ，
解得， ，
∵题数是整数，
∴ 不合题意，舍去．
答：参赛者E不可能得60分．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，能够根据题意列出方程式解决本题的关键．
23．如图， 在直线 上，射线 平分 ，射线 在 内．
(1)若 ，求证：射线 是 的平分线；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】实际问题中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据 ， 平分 ， 即可证明；
（2）设 ，则 ，根据 列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ．
∴ ，
33
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
∵射线 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴射线 是 的平分线；
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵射线 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分运算，运用方
程思想求解，是解题的关键．
24．列方程解应用题：
如图，小区规划在一个长 米，宽 米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与 平行，第三条与
平行，场地的其余部分种草，并使每一块草坪的形状相同．若每一块草坪的长比宽多 米，求甬道的宽是多少米．
34
学科网（北京）股份有限公司【答案】 米．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，甬道的宽是 米，则草坪的长为 ，草坪的宽为 ，根据数量关
系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设甬道的宽是 米，则草坪的长为 ，草坪的宽为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
答：甬道的宽是 米．
25．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点 ， ， 所对应的数依次为 ， ， ，乙数轴上的三点 ， ，
所对应的数依次为 ， ， ．
(1)计算 ， ， 三点所对应的数的和，并求 的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
35
学科网（北京）股份有限公司（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算 ， ，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解： ，
26．某品牌电脑及电脑配件旗舰店，为促销，推出两种优惠方式，并规定购物时只能选择其中一种方式付款．
方式一：所购商品按原价打八折；
方式二：所购商品按原价每满400元减90元．（如：所购商品原价为400元，可减90元，需付款310元；所购商品
原价为950元，可减180元，需付款770元）
(1)购买1件原价为1000元的商品时，选择哪种方式更合算？请说明理由；
(2)购买1件原价在1000元以下的商品时，若选择方式一和选择方式二的付款金额相等，求这种商品1件的原价；
(3)设1件 商品的原价为 元，且 ．原价 在什么范围内，选择方式二比选择方式一更合算？请直接
写出满足条件的 的范围．
【答案】(1)方式一更合算，理由见解析
(2)一件这种商品的原价为450元或900元；
(3) 或
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意理解题目中的数量关系是解题
的关键．
（1）根据“方式一：所购商品按原价打八折；方式一：所购商品按原价每满400元减90元”即可解答；
（2）设一件这种健身器材的原价为 元，根据题意分 和 两种情况列方程即可解答；
36
学科网（北京）股份有限公司（3）设一件 商品的原价为 元，根据题意分 和 两种情况列不等式即可解答．
【详解】（1）解：∵方式一：所购商品按原价打八折；方式二：所购商品按原价每满400元减90元，
∴当购买一件原价为1000元的健身器材时，
方式一需付款： （元），
方式二需付款： （元），
∴选择方式一更合算；
（2）解：设一件这种商品的原价为 元，
当 时，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∴ ，
解得 ；
综上所述，一件这种商品的原价为450元或900元；
（3）解：设一件 商品的原价为 元，
∴方式一需付款： 元，
方式二：当 时，所需付款 （元），
∴
解得
∴ ；
当 时，所需付款 （元），
∴
解得
37
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
综上，当 或 时，方式二更合算．
38
学科网（北京）股份有限公司
