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第 15 讲 一元一次方程的应用（2 个知识点+8 种题型+过关检测）
知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含x的式子表示
相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，
然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通
过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
知识点2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
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学科网（北京）股份有限公司（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或
间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、
解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
题型一、行程问题(一元一次方程的应用)
1．（2024七年级上·全国·专题练习）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——
洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，
逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时 ，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码
头间距离为 ，则所列方程为（ ）
2
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）小明和爷爷去操场上散步．小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟．
如果两人同时从同一个地方出发，同向而行，他们第一次相遇时都走了 分钟．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为 ，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，
途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰 ，若水流速度为 ．
(1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？
(2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为 ，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救
生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？
题型二、工程问题(一元一次方程的应用)
4．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）一项工作，甲单独做8小时完成，已单独做6小时完成，现在由甲单独做2
小时，剩下的由甲、乙合作，还需几小时完成？若设剩下的工作还需 小时完成，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间
每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件
任务为x个，则可列方程为 ．
6．（21-22七年级上·云南玉溪·期末）整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，
需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？
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学科网（北京）股份有限公司题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用)
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商人一次卖出两件商品，一件赚了 ，一件赔了 ，卖价都是
480元，在这次买卖过程中，商人（ ）
A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔
8．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）一件服装的标价为400元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本
价是 元．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打
七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？
题型四、方案选择(一元一次方程的应用)
10．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊
价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将某班的学生分成 组，若每组 人，则多 人，若每组 人，则差
人．则 ．
12．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，
T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
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学科网（北京）股份有限公司方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的 付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（ ）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
题型五、数字问题(一元一次方程的应用)
13．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列
及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ．
15．（24-25七年级上·全国·期中）设一个六位数 的3倍为 ，求这个六位数．
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学科网（北京）股份有限公司题型六、几何问题(一元一次方程的应用)
16．（2024七年级上·全国·专题练习）把一个用铁丝围成的三角形改制成一个长方形，则这个长方形与原来的三角形
相比，（ ）
A．面积与周长都不变化 B．面积相等但周长发生变化
C．周长相等但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化
17．（2024七年级上·全国·专题练习）一个长方形的周长为60，长为x，宽比长的一半多2．求这个长方形的长．根
据题意，可列方程为 ．
18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为 ，点 为数轴上任意点，
其对应的数为 ，
(1)如果点 到点 、点 的距离相等，那么 的值是：______；
(2)如果点 以每分钟2个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个
单位长度的速度也向左运动．设 分钟时点 到点 、点 的距离相等，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司题型七、其他问题(一元一次方程的应用)
19．（2024七年级上·全国·专题练习）甲厂的年产值为 万元，比乙厂的年产值的5倍还多 万元，若设乙厂的
年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只，有 的狗错认为自己是
猫；有 的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 认为自己是猫，那么狗有 只．
21．（2024七年级上·全国·专题练习）在浓度为 的一杯盐水中，加入 盐后，盐水浓度为 ，那么原来那
杯浓度为 的盐水的质量为多少克？
题型八、古代问题(一元一次方程的应用)
22．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、
羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2
头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
A． B． C． D．
23．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，
问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一
车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ．
24．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，
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学科网（北京）股份有限公司众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
一、单选题
1．一个角的余角的度数是这个角的补角的度数的 ，那么这个角的度数等于（ ）
A． B． C． D．
2．某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店
（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．亏损9.6元
3．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用4小时，已知步行速度为每小时5千米，公交车的速度为每小时40千米，
设甲乙两地相距 千米，可列方程（ ）
A． B． C． D．
4．某学校要把2000元分给15名学生（包含一等奖与二等奖），其中一等奖每人200元，二等奖每人100元，设一等
奖有 名学生，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度是120千米/时，乙
车的速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2或 B．2或0 C．10或 D．2或
6．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺
栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．为了抗击新冠疫情，某地向疫情高风险区捐赠一批物资，若每辆货车装运8吨，则有4吨物资无法装运；若每辆
货车装运10吨，则可以少用2辆货车，则这次捐赠的物资共多少吨？设这次捐赠的物资共 吨，则下面所列方程正确
的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段 ， ， ，现有点P绕着点O以每秒 的速度顺时针旋转一周后
停止，同时点Q沿直线 自B点向A点运动，假若P，Q两点能相遇，则点Q运动的速度是每秒（ ） ．
A．8 B． C．8或 D．9
9．若代数式 （a、b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式 的值为
（ ）
A．1 B． C．5 D．
10．有一组非负整数： ， ，…， ．从 开始，满足 ， ， ，…，
．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， ， 时， ；
④当 ， （ ， 为整数）时， ．
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学科网（北京）股份有限公司其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．一项工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程，则
甲一共做了 天．
12．一项工程，A组独做需要10天完成，B组独做需要15天完成．若A组先做5天，再由 两组合做，共要完成
全部工程的三分之二， 两组需合做 天．
13．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个
三阶幻方（图2），三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，如图3，这是另一个三阶幻方，则
的值为 ．
14．如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为8，则称该数为“发数”.已知一个“发数”的十位数字是其个位数
字的3倍，则这个“发数”是 ；如果一个“发数”的十位数字的2倍与个位数字的和能被3整除，则满足
条件的最大“发数”是 .
15．现有一把无刻度的直尺和四块完全一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示
的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是 ．
16．《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，
则还差八两，请问：这一群人共有 人．
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学科网（北京）股份有限公司17．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为
20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为
cm3．
18．如图，正方形 的边长为4cm，Q点以3cm/秒的速度从点C出发，点P以1cm/秒速度从点B同时出发，都
沿正方形 四边做逆时针运动．则经过 秒点P与点Q实现第一次相遇？
三、解答题
19．东湖小学六年级举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，没有做一题或做错一题倒扣3分．刘刚得了60
分，则他做对了几题？
20．020年10月份，晋中市政府开展的 “晋情来消费”家电专用消费券暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交
易满600元立减100元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客
购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金620元．求该电饭煲的进价．
21．某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有 道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了 位参赛者的得分情况，
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学科网（北京）股份有限公司根据表中信息回答下列问题：
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者 得分为 分，求他答错了几道题？
(3)参赛者 说他的得分为 分，你认为可能吗？请说明理由．
22．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛
者的得分情况．
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学科网（北京）股份有限公司答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A 20 0 120
B ① 2 106
C ② ③ 78
D 10 ④ 50
(1)选错一道题得分情况；
(2)补全表格；
①______；②______；③______；④______．
(3)参赛者E说他得分是60分，请你判断可能吗？并说明理由；
23．如图， 在直线 上，射线 平分 ，射线 在 内．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求证：射线 是 的平分线；
(2)若 ， ，求 的度数．
24．列方程解应用题：
如图，小区规划在一个长 米，宽 米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与 平行，第三条与
平行，场地的其余部分种草，并使每一块草坪的形状相同．若每一块草坪的长比宽多 米，求甬道的宽是多少米．
25．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点 ， ， 所对应的数依次为 ， ， ，乙数轴上的三点 ， ，
所对应的数依次为 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)计算 ， ， 三点所对应的数的和，并求 的值；
(2)若 ，求x的值．
26．某品牌电脑及电脑配件旗舰店，为促销，推出两种优惠方式，并规定购物时只能选择其中一种方式付款．
方式一：所购商品按原价打八折；
方式二：所购商品按原价每满400元减90元．（如：所购商品原价为400元，可减90元，需付款310元；所购商品
原价为950元，可减180元，需付款770元）
(1)购买1件原价为1000元的商品时，选择哪种方式更合算？请说明理由；
(2)购买1件原价在1000元以下的商品时，若选择方式一和选择方式二的付款金额相等，求这种商品1件的原价；
(3)设1件 商品的原价为 元，且 ．原价 在什么范围内，选择方式二比选择方式一更合算？请直接
写出满足条件的 的范围．
15
学科网（北京）股份有限公司
