文档内容
第 13 讲 认识方程（3 个知识点+3 种题型+过关检测）
知识点1．方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．
在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立．
知识点2．方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是
求方程解的过程，具有动词性．
1
学科网（北京）股份有限公司（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方
法．
知识点3．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含
有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，
并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的
解代入计算的方法．
题型一、判断各式是否是方程
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在 ； ； ； ； 中，方程有
（ ）个．
A．2 B．3 C．4
【答案】A
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键．
含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可．
【详解】解：方程有： ， ，共2个，
故选：A．
2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知下列各式：
2
学科网（北京）股份有限公司① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
其中方程有 ，一元一次方程有
【答案】 ①②③⑤⑦ ②⑦
【知识点】一元一次方程的定义、判断各式是否是方程
【分析】此题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题
的关键；
根据方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案；根据一元一次方程的定义对题目中给出的式子逐一进
行判断可得出答案．
【详解】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程，
根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程，
故答案为：①②③⑤⑦；②⑦．
3．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列各式中，是方程的是 （填序号）．
① ② ③ ④
【答案】①④
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【详解】解：①是方程；
②不含未知数，故不是方程；
③不是等式，故不是方程；
④是方程．
综上，是方程的是①④．
故答案是：①④．
【点睛】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必
须含有字母（未知数）．
题型二、列方程
3
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）请列举一个方程，使它满足未知数系数为−2，未知数的解为3，这个方程
可以为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】方程的解、列方程
【分析】本题主要考查方程的定义，方程的解等知识，理解并掌握方程的定义是 解题的关键．
根据含有未知数的等式是方程的概念，系数是含未知数项的数字因数等知识，即可求解．
【详解】解：根据题意得， （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
5．（23-24七年级上·山东日照·阶段练习）根据“ 的2倍与4的和比 的一半少1”可以列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的性质、列方程
【分析】本题考查了根据等式基本性质列出一元一次方程，根据等量关系列出方程是解题的关键．
根据已知表示出等式两边，左边表示x的2倍，然后在加上4,右边表示x的 减1，然后依据等式基本性质整理判断即
可.
【详解】解根据题意列方程得： ，
A、 ，表示 的2倍与4的差，故不符合题意；
B、 ，是根据等式基本性质方程两边同时加1，故符合题意；
C、 ，表示 的一半多1，故不符合题意；
D、 ，表示 的2倍与4的差比 的一半多1，故不符合题意；
故选：B
6．（2022七年级上·江苏·专题练习）根据条件列方程：
(1)正方形的边长为2x，周长为50厘米；
(2)x的相反数减去3的差是x的2倍．
4
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)4×2x＝50；
(2)﹣x﹣3＝2x．
【知识点】一元一次方程的定义、列方程
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程；
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
【详解】（1）根据题意得到：4×2x＝50；
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
题型三、等式的性质
7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知： ，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是
（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【答案】B
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、等式的性质
【分析】本题考查了有理数乘除的应用，等式的性质，根据等式的性质可知：乘积相等，一个因数越大，另一个因数
越小；先把除法化成乘法，比较数字因数的大小，再根据乘积相等，一个因数越大，另一个因数越小判断字母因数的
大小即可．
【详解】解： ，
，
，
，
a，b，c中最小的数是b，
故选： ．
5
学科网（北京）股份有限公司8．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小明将等式 进行变形的过程：
，
，（第一步）
．（第二步）
小明第一步变形是等式两边都 ，第二步变形得出了错误的结论，其原因是 ．
【答案】 加上 （或减去 ） x可能为0
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两
边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变，进行作答即可．
【详解】解：小明第一步的变形是等式两边都加上 （或减去 ）；
第二步变形得出了结论的错误是因为x可能为0；
故答案为：加上 （或减去 ）；x可能为0
9．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为 的形式
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程．
（1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解；
（2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答．
【详解】（1）解： ，
6
学科网（北京）股份有限公司去括号得： ，
方程两边同时加上6，得： ，
即： ，
方程两边同时减去x，得： ，
即 ；
（2）解： ．
方程两边同时乘以12，得： ，
去括号得： ，
化简，得： ，
方程两边同时减去7，得 ，
方程两边同时除以7，得： ．
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，
并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、 所含未知数的项的最高次数是2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
7
学科网（北京）股份有限公司C、 是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、 含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．若x，y，c是有理数，则下列判断错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若 ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
B.若 ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
C.若 ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
D.若 ，当 时， ，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
3．能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．若 ，那么 （ ， ， 均不为 ）
B．若 ，那么 （ ， ， 均不为 ）
C．若 ，那么 （ ， ， 均不为 ）
D．若 ，那么 （ ， ， 均不为 ）
【答案】A
8
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据图象分析可知，再天秤两边同时去掉重量相等的砝码，天秤仍然平衡，由此找出符合题意的选项即可．
【详解】解：根据图象分析可知，再天秤两边同时去掉重量相等的砝码，天秤仍然平衡，
相等于等式两边同时减去相同的数，等式仍然成立，
故若 ，那么 （ ， ， 均不为 ）符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查等式的性质，能够根据实际分析出符合的等式的性质是解决本题的关键．
4．下列是关于x的一元一次方程的是（ ）
A．x（x－1）＝x B．x＋ ＝2 C．x＝1 D．x＋2
【答案】C
【分析】一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，系数不为0，的整式方程，根据一
元次方程的定义对选项进行一一分析判定即可．
【详解】解：A．x（x－1）＝x，不是一元一次方程，故选项A不合题意；
B．x＋ ＝2，不是整式方程，故选项B不合题意；
C．x＝1是一元一次方程，故选项C符合题意；
D．x＋2不是等式，不是一元一次方程，故选项D不合题意．
故选择C．
【点睛】本题考查一元一次方程，掌握一元一次方程的定义是解题关键．
5．下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】根据等式的性质依次判断．
9
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由 ，得x=4-3，故选项A不符合题意；
由 ，得 ，故选项B不符合题意；
由 ，得x=0，故选项C不符合题意；
由 ，得 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了方程变形的依据：等式的性质，熟记等式的性质并熟练应用是解题的关键．
6．若 ，根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．
【详解】A、两边都乘以 得， ，故该选项不正确，不符合题意；
B、两边都除以2得， ，故该选项正确，符合题意；
C、当 时，两边都乘以 得, ，故该选项不正确，不符合题意；
D、两边都减去3得, ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两
边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
7．若 是一元一次方程则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
10
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查一元一次方程的定义，需注意的是含未知数的项的系数中含有未知数时必须满足系数不等于0．含
有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
∴ ，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，解本题的关键在熟练掌握等式的基本性质．等式的基本性质：等式的两边同时
加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等
式的基本性质判断即可．
【详解】解：A．当 时， 不一定等于 ，故该选项错误，不符合题意；
B．如果 ，那么 ，故该选项错误，不符合题意；
C．如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；
D．如果 ，那么 ，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．下列方程① ② ③ ④ ⑤ ：其中是一元一次方程的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：① ，含有一个未知数，但 是分式，故①不是一元一次方程；
② ，是一元一次方程；
11
学科网（北京）股份有限公司③ ，是一元一次方程；
④ ，是一元二次方程，故④不是一元一次方程；
⑤ ，含有两个未知数，故⑤不是一元一次方程．
所以是一元一次方程的有2个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数（元 ，且未知数的次数是1，这
样的整式方程叫一元一次方程．
10．运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘（或除以）同一个的
数（除数不为0）（或字母），等式仍成立，据此判断即可．
【详解】A．根据等式性质2， 两边同乘以c，可得到 ，故本选项不合题意；
B．根据等式性质2， 两边同乘以 ，得到 ，根据等式性质1， 两边加上3，可得到
，故本选项不合题意；
C．根据等式性质2， ，需条件 才可得出 ，故本选项符合题意；
D．根据等式性质2， 两边同乘以12，可得到 ，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的基本性质是解题的关键．
二、填空题
11． 方程 的解．（填“是”或“不是”）
【答案】是
12
学科网（北京）股份有限公司【分析】把 代入 看能否使方程左右两边相等，即可得出答案．
【详解】解：把 代入 ，
左边 ，右边 ，
∴左边 右边，
∴ 是方程 的解．
故答案为：是．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．
12．（1）若 ，则 ，根据 ，等式的两边同时 ；
（2）若 ，则 ，根据 ，等式的两边同时 ；
（3）若 ，则 ，根据 ，等式的两边同时 .
【答案】 5 等式的性质1 减去5（或加 ） / 等式的性质2 除以 （或同
乘 ） 等式的性质1 加上
【分析】（1）根据等式的性质1，等式两边同时减去5（或加 ）；
（2）根据等式的性质2，等式两边同除以 （或同乘 ）；
（3）根据等式的性质1，等式两边同时加 ．
【详解】解：（1）若 ，则 ，根据等式的性质1，等式的两边同时减去5（或加 ）；
故答案为：5，等式的性质1，减去5（或加 ）；
（2）若 ，则 ，根据等式的性质2，等式的两边同时除以 （或同乘 ）；
故答案为： ，等式的性质2，除以 （或同乘 ）；
（3）若 ，则 ，根据等式的性质1，等式的两边同时加上 ．
13
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，等式的性质1，加上 ．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．
13．已知2x﹣3y﹣5＝0，则9y﹣6x＋16＝ ．
【答案】1
【分析】用等式的性质1求得 ，再利用等式的基本性质2来求解.
【详解】解：∵2x﹣3y﹣5＝0，
∴2x﹣3y＝5，
∴9y﹣6x+16
＝﹣3（2x﹣3y）+16
＝﹣3×5+16
＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质：性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；性质2：等式两边
同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立.理解等式的基本性质是解答关键.
14．在 中，若用 表示 ，则 ．
【答案】
【分析】考查了等式的性质，正确变形是解题的关键．根据等式的性质，变形计算即可．
【详解】解：根据 ，
得 ，
故答案为： ．
15．若方程 是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】1
14
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫一元
一次方程．根据一元一次方程的定义得到 ，即可求出 ．
【详解】解：因为方程 是关于x的一元一次方程，
所以 ，
所以 ．
故答案为：1
16．若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方
程，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元一次方程
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．关于 的方程 的解为 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把 代入方程计算即
可求出m的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为： ．
18．已知a，b为定值，关于x的方程 ，无论k为何值，它的解总是1，则 ．
15
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把
代入已知等式，得到 ，整理为 的形式，令 ，由此求得 ，
进而求得a、b的值，代入求值即可．
【详解】解：把 代入方程 ，得：
，即 ，
整理得： ，
无论k为何值，它的解总是1，
， ，
解得： ， ，
则 ，
故答案为： ．
三、解答题
19． 已知关于x的方程 是一元一次方程，求k的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值．熟练掌握一元一次方程的定义，绝对值是解题的关键．
由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元一次方程，
∴ ，
解得， ，
16
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴k的值为 ．
20．若 是关于x的一元一次方程，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值，根据一元一次方程的定义，得到 ，求出 的
值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解： 是关于x的一元一次方程，
，
，
．
21．冉冉解方程 时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是 ，求★处的数字．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程即可求解．
【详解】解：将 代入方程得：
，
解得★ ，
即★处的数字是1．
22．回答下列问题，并说明变形的根据：
(1)怎样从等式 得到等式 ？
(2)怎样从等式 得到等式 ？
(3)怎样从等式 得到等式 ？
17
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)两边同时减去 ，
(2)两边同时除以5；
(3)见解析
【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一
个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（1）根据等式的性质1可得到答案；
（2）根据等式的性质2可得到答案；
（3）根据等式的性质2可得到答案；
【详解】（1）解：两边同时减去 ，
等式 得到 ；
（2）解：两边同时除以5，
等式 得到 ；
（3）解：两边同时乘以8，
等式 得到 ．
23．已知 是非零整数，关于 的方程 是一元一次方程，求 的值．
【答案】4或 或1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这
是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1） ， ，（2） ， ，根据一元一次方程的定义求得 、
的值．
【详解】解：分两种情况：
（1） ， ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
18
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ，
解得， ， ；
当 时， ，即 ；
当 时，由原方程，得 ，不符合题意．
24．下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由 ，得 ．
(2)由 ，得 ．
(3)由 ，得 ．
(4)由 ，得 ．
【答案】(1)不正确，理由见解析
(2)不正确，理由见解析
(3)不正确，理由见解析
(4)不正确，理由见解析
【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；
（2）根据左边除以7，右边乘 ，可得变形不正确；
（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；
（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．
【详解】（1）解：由 ，得 ，不是 ，故原变形不正确，
∵方程左边减3，右边加3，
∴变形不正确；
（2）解：由 ，得 ，不是 ，故原变形不正确，
19
学科网（北京）股份有限公司∵左边除以7，右边乘 ，
∴变形不正确；
（3）解：由 ，得 ，不是 ，故原变形不正确，
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）解：由 ，得 ，不是 ，故原变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是
都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化．
25．已知 是关于 的方程 的解．
（1）求 的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段 ，点 是直线 上一点，且 ，若点 是 的中点，求线段
的长．（注意：先画出对应的图形再求解）
【答案】（1）k=2；（2）图见解析，2或6．
【分析】（1）将 ，代入 ，即可求得k；
（2）分点 在线段 外和点 在线段 内两种情况，分别先求出BC,再求出AB，然后求得AC，最后根据中点的
定义即可解答．
【详解】（1）将 ，代入 ，得 ；解得 ；
（2）情况 ：点 在线段 外，如图
由（1）知 ，即 ，
又 ，
20
学科网（北京）股份有限公司，
又 点 是 的中点，
；
情况 ：点 在线段 内，如图
， ，
，
点 是 的中点，
．
综上：线段 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了方程的解、中点的定义、线段的和差以及分类讨论思想，灵活运用相关知识并掌握分类讨论
思想是解答本题的关键．
26．已知关于 的方程 的两个解是 ；
又已知关于 的方程 的两个解是 ；
又已知关于 的方程 的两个解是 ；
，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于 的方程 的两个解是 ；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小
王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于 的方程 的两个解是 和 ；
(2)已知关于 的方程 ，则 的两个解是多少？
21
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)11，
(2) ，
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成 即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于 的方程 的两个解是 ，
∴方程 的两个解是 ， ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．
22
学科网（北京）股份有限公司
