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第 11 讲 角 （7 个知识点+5 种题型+过关检测）
知识点1．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条
边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在
顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用
一个希腊字母（如∠ ，∠ ，∠ 、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
α β γ
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，
当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
1
学科网（北京）股份有限公司（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
知识点2．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走 格，分针1分钟走1格．钟面
上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再
根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
知识点3．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般
先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
知识点4．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是 60进制，将高级单位化为低级单
位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以 60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进
位的方法．
知识点5．角的计算
（1）角的和差倍分
2
学科网（北京）股份有限公司①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC
＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝ ∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢 60要进
位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，
把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
知识点6．角的大小比较
（1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
（2）表示法：
①∠AOB＞∠A′O′B′，
②∠AOB＝∠A′O′B′，
③∠AOB＜∠A′O′B′．
知识点7．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
题型一、角的概念理解
3
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为 ，用10倍的放大镜观察这个角应是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】角的概念理解
【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30
度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短．
【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角，
故选：A．
2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角 内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，
可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出
个锐角．
【答案】2043231
【知识点】角的概念理解、图形类规律探索
【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．
【详解】解：∵在锐角 内部，画1条射线，可得 个锐角，
在锐角 内部，画2条射线，可得 个锐角，
在锐角 内部，画3条射线，可得 个锐角，
……
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
4
学科网（北京）股份有限公司∴画2020条不同的射线，可得锐角
故答案为：2043231．
3．（23-24七年级上·广西贵港·期末）如图，点O在直线 上， 为射线，且 平分 ， 平分 ．
(1)请你数一数，图中小于平角的角共有 个；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、角的概念理解
【分析】本题主要考查了角的定义以及角平分线的相关计算．
（1）根据角的定义进行求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到 ， ，再根据平角的定义进行求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个；
故答案为：9．
（2）∵ 平分 ， 平分 ．
∴ ，
∵点O在直线 上，
∴ ，
∴ ．
5
学科网（北京）股份有限公司题型二、角的表示方法
4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：
【答案】 ．
【知识点】角的表示方法
【分析】根据角的表示即可得．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示．
5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用 ， ， 三种方法表示同一个角的是
（ ）
A． B．
C． D．
6
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】角的表示方法
【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一
个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用
顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
【详解】解： 、因为顶点 处有四个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
、因为顶点 处只有一个角，所以这个角能用 ， ， 表示，故本选项正确；
、因为顶点 处有三个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
、因为顶点 处有两个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
故选： ．
6．（2023七年级上·全国·专题练习）观察思考：
(1)在 内部画2条射线 ，则图中有几个不同的角？
(2)3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？
【答案】(1)6
(2)10，有 个不同的角
【知识点】角的表示方法、图形类规律探索
【分析】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．
（1）根据图1直接数出即可；
（2）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在 内部画n条射线时角的个
数．
【详解】（1）解：在 内部画2条射线 ，如图1，
7
学科网（北京）股份有限公司则图中有
共 个不同的角；
（2）解：在 内部画3条射线 ，如图2，
在图1 的基础上增加了 和 ，
共有 个不同的角；
若在 内部画n条射线，则有 个不同的角．
题型三、角的分类
7．（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °．
【答案】180
【知识点】角的分类
【分析】本题考查了平角的定义，解题的关键是掌握平角等于180度．
【详解】解：1平角 ，
故答案为：180．
8．（22-23七年级上·江西南昌·期末）若 为锐角， 为直角， 为钝角，则 的值可能是（
）
8
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的分类
【分析】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出 的范围，选择合适的可
能值即可．
【详解】解：∵ 为锐角， 为直角， 为钝角，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴值可能是 ，
故选B．
9．（23-24七年级上·吉林·期末）已知如图：平面上有四个点A、B、C、D，按要求画图，并回答问题：
(1)画直线
(2)画射线
(3)画线段 、线段 、线段
(4)试写出图中以C为顶点的所有小于180度的角：有
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
9
学科网（北京）股份有限公司(4)
【知识点】角的分类、画出直线、射线、线段
【分析】本题考查的是基本作图，熟知射线及角的作法是解答此题的关键．
（1）根据直线没有端点，向两端无限延伸即可解答；
（2）根据射线只有一个端点，向一端无限延伸即可解答；
（3）根据线端有两个端点即可解答；
（4）依据小于平角的角有锐角，直角，钝角即可解答；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如上图所示；
（3）解：如上图所示；
（4）解：以C为顶点的所有小于180度的角：有 ，
故答案为：
题型四、角的度数大小比较
10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ， ， ，下列比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制
【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据 ，
， ，即可得到三个角的大小关系．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
10
学科网（北京）股份有限公司故选：A．
11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知 ， ，则 ．（填“ ”“ ”或“
”）
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较
【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1度=60分，即 ，1分=60秒，即 ．首先把：
化为 ，然后再比较即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
12．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到 、 、 在
吵架， 说：“我是 ，我应该最大！” 说：“我是37.2°，我应该最大！”． 也不甘示弱：“我是
37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知
道李老师是怎样评判的吗？
【答案】
【知识点】角的度数大小比较
【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1
度 分，即 ，1分 秒，即 ．将 ， ， 的单位统一，再进行大小的比较．
【详解】解：∵ ，
， ，
∴ ，即 最大，
题型五、与余角、补角有关的计算
13．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知 和 之和的补角等于 和 之差的余角，则 的度数为
（ ）
11
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查余角和补角的知识，根据题意可得 ，化简求解即可．
【详解】由题意得： ，
解得：
故选：C．
14．（23-24七年级上·全国·期末）已知 的余角是 ， 的补角是 ，则 和 的大小关系是
．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算、角的度数大小比较、角的单位与角度制
【分析】本题考查余角和补角的知识以及角的大小比较及角度的换算，需根据余角与补角的定义来解答；首先根据互
余两角之和为 ，互补两角之和为 ，由此求出 和 的值，再根据角度制换算，比较即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
，
，
，即 ，
，
故答案为： ．
15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， ．
12
学科网（北京）股份有限公司(1)图中除 外，还有哪些角是直角？
(2)图中有哪些相等的角？
(3)指出图中与 互余的角、与 互补的角．
【答案】(1)
(2) ；
(3)与 互余的角有： ；与 互补的角有：
【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据直角的定义即可求解；
（2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解；
（3）根据余角和补角的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴图中除 外，还有 是直角；
（2）解： ；
；
（3）解：∵ ，
∴与 互余的角有： ；
∵ ，
13
学科网（北京）股份有限公司又 ，
∴ ，
∴与 互补的角有： ．
一．选择题
1．（2023秋•楚雄州期末）若 ， ，则 的度数是
A． B． C． 或 D． 或
【分析】分两种情况：① 在 内部；② 在 外部．分别用 的度数减去或加上 的度数，
即可求出两种情况下 的度数．
【解答】解：①当 在 内部时，
；
②当 在 外部时，
．
的度数为 或 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握分类讨论思想是解决问题的关键．
2．（2023秋•甘德县校级期末）如图，用三角板比较 与 的大小，其中正确的是
A． B． C． D．不能确定
【分析】依据 ， ，即可得出 与 的大小关系．
【解答】解：由图可得， ， ，
14
学科网（北京）股份有限公司，
故选： ．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越
大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
3．（2024•广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为
A． B． C． D．
【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此
时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数 ．
【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数
．
故选： ．
【点评】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的知识：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转
6度，时针每分钟转0.5度．
4．（2024•黄石开学）钟面上分针走一圈，时针转动的角度是
A． B． C． D．
【分析】根据时钟上一大格是 即可解答．
【解答】解：钟面上分针走一圈，时针转动的角度是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是 是解题的关键．
15
学科网（北京）股份有限公司5．（2023秋•竹溪县期末）下列关于角的说法正确的个数是
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点 ；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
故选： ．
【点评】本题主要是对角的定义的考查，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．
6．（2023秋•文山市期末）如图，在灯塔 处观测到轮船 位于北偏西 的方向，同时轮船 在南偏东 的方向，
那么 的大小为
A． B． C． D．
【分析】利用方向角的定义求解即可．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义．
16
学科网（北京）股份有限公司7．（2023秋•成安县期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到 、 、 在吵架， 说：
“我是 ，我应该最大 ” 说：“我是 ，我应该最大 ”． 也不甘示弱：“我是 ，我应该和
一样大 ”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判 ”，杨老师评判的结果是
A． 最大 B． 最大 C． 最大 D．
【分析】根据度、分、秒的换算1度 分，即 ，1分 秒，即 ．将 ， ， 的单位
统一，再进行大小的比较．
【解答】解： ， ， ，
，即 最大，
故选： ．
【点评】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．
8．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了 ，作图痕迹中弧 是
A．以点 为圆心， 为半径的弧 B．以点 为圆心， 为半径的弧
C．以点 为圆心， 为半径的弧 D．以点 为圆心， 为半径的弧
【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧 是以点 为圆心， 为半径的弧．
故选： ．
【点评】本题主要考查了作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
9．（2023秋•岚山区期末）下列图形中，能用 和 表示同一个角的是
17
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【分析】要是能用 ， 表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合判断即可．
【解答】解：要是能用 ， 表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合．
选项 、 ， 中， 表示不明确，不符合题意；
选项 符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查了角的概念，表示同一个角，必须有共用的顶点，且角的两边重合是本题解答的关键．
10．（2023秋•东莞市期末）如图，已知 ， ， 平分 ， 平分 ，则 的
度数是
A． B． C． D．
【分析】求出 ，根据角平分线定义求出 和 ，相减即可求出答案．
【解答】解： ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出 和 的大小．
二．填空题
11．（2023秋•镇平县期末）如图所示的网格是正方形网格， ．（填“ ”，“ ”或“ ”
【分析】过点 向下作竖直线 ，根据网格线可得 ， ，即可比较 和 的
大小．
【解答】解：过点 向下作竖直线 ，
由网格线可得， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查角的大小比较，利用网格线得出 是解题的关键．
12．（2023秋•兴化市期末）如图，甲从 处出发沿北偏东 向走向 处，乙从 处出发沿南偏西 方向走
到 处，则 的度数是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】如图，利用 进行计算即可．
【解答】解：由题意，得： ， ，
；
故答案为： ．
【点评】本题考查方向角的计算．熟练掌握方向角的定义，正确地识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
13．（2024秋•岫岩县月考）如图，若 ，根据尺规作图的痕迹，则 的度数为 ．
【分析】由尺规作图的作法得到 ，然后利用 得到 的度数．
【解答】解：由尺规作图可知， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
14．（2023秋•临江市期末）时间为 时，钟面上时针与分针的夹角的度数为 ．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是 ，借助图形，找出时针和分针之间相差的大
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学科网（北京）股份有限公司格数，用大格数乘 即可．
【解答】解： 时钟面上时针从7开始，
转的度数为 ，
从7开始转到10的度数为 ，
时夹角的度数 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动 时针转
动 ，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
15．（2024秋•呼兰区校级月考） 是从 的顶点 引出的一条射线，若 ， ，则
的度数是 4 0 或 12 0 ．
【分析】分 在 内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可．
【解答】解：①如图所示：当 在 内部时，
， ，
，
；
②如图所示：当 在 外部时，
21
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
．
综上， 的度数是 或 ．
故答案为： 或120．
【点评】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，掌握数形结合以及分类讨论思想成为解题的关键．
16．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，某海域有三个小岛 ， ， ，在小岛 处观测到小岛 在它北偏东 的
方向上，观测到小岛 在它南偏东 的方向上，则 的度数是 ．
【分析】根据已知条件可直接确定 的度数．
【解答】解： 是表示北偏东 方向的一条射线， 是表示南偏东 方向的一条射线，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了方向角及角的计算．解题的关键是明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算．
17．（2022秋•锦州期末）如图，已知线段 ， ，射线 ．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线 上顺
次截取 ；②在射线 上截取 ，那么 的长为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到 ．
【解答】解：如图，当点 在点 的左侧，
；
当点 在点 的右侧，
；
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形
是解题的关键．
18．（2024•徐汇区校级三模）如图，已知 是 内部的一条射线，图中有三个角： ， 和 ，
当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线 为 的“巧分线”．如果 ， 是 的“巧分
线”，则 2 0 或 3 0 或 4 0 度．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】分3种情况，根据巧分线定义即可求解．
【解答】解：若 ， 是 的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
① ，此时 ；
② ，此时 ；
③ ，此时 ；
故答案为：20或30或40．
【点评】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键．
三．解答题
19．（2024春•张店区期末）已知：
求作： 使 （不写作法，保留作图痕迹）
【分析】先作射线 ，然后以点 为圆心，以任意长为半径，画弧分别与 、 相交于点 、 ，以 为圆心，
以相同的长度为半径画弧与 相交于点 ，再以点 为圆心，以 的长度为半径画弧，与前弧相交于点 ，
过点 、 作射 ，则 即为所求．
【解答】解：如图所示， 就是所要求作的角．
【点评】本题主要考查了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握．
20．（2023秋•西城区校级期末）计算：
24
学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ；
（3） （结果化成度、分、秒的形式）；
（4） （结果化成度、分、秒的形式）．
【分析】（1）利用加法结合律计算分数、小数的加法运算，然后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可；
（3）根据 ，计算求解即可；
（4）根据 ，计算求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
25
学科网（北京）股份有限公司（4）
．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的四则混合运算，角度的计算等知识．熟练掌握有理数
的加减混合运算，含乘方的有理数的四则混合运算，角度的计算是解题的关键．
21．（2024•长治开学）综合与实践
如图是某街区的平面示意图．
（1）老顶山在广场的 正东 方向大约 千米处．
（2）八一路小学位于广场南偏东 方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置．
（3）李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：
里程 收费
6.00元
以下（含
以上每增加 （不足 按 1.30元
算）
（注 本题中不考虑出租车等候时间费用）
【分析】（1）根据方向角的定义即可得到结论；
（2）根据方向角的定义即可得到结论；
（3）根据题意列式计算即可．
26
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）老顶山在广场的正东方向大约3千米处，
故答案为：正东，3；
（2）如图所示；
（3） （元 ，
答：李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费9.9元．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
22．（2023秋•天长市期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去
探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点 和点 表示，表盘与线段 交于点 、 ，
为表盘圆心．
（1）若 为 ， ， 是 中点，则手表全长 7 ．
（2）表盘上的点 对应数字“12”，点 对应数字“6”， 为时针， 为分针， 时表盘指针状态如图③
所示，分针 与 重合．
① 度；
②作射线 ，使 ，求此时 的度数．
【分析】（1）利用中点和 ，求出 和 ，求和即可得 ；
（2）①利用分针和时针每分钟走过得角度即可计算；②分两种情况计算即可．
27
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1） 是 中点．
；
；
；
；
；
（2）①分针的速度为 （每分）；
时针的速度为 （每分）；
30分钟时针走的路程为 ，即时针从8点到 走的路程为 ，
，
故答案为： ；
②当 在 内部时， ，
；
当 在 外部时， ．
【点评】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，掌握分类讨论的思想是解题关键．
23．（2023秋•漳州期末）点 ， 分别是长方形纸片 边 ， 上的点，沿 ， 翻折，点 落在点
处，点 落在点 处．
（1）如图1，当点 恰好落在线段 上时，求 的度数；
（2）如图2，当点 落在 的内部时，若 ， ，求 的度数；
28
学科网（北京）股份有限公司（3）当点 ， 落在 的内部时，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
【分析】（1）由折叠的性质，得到 ， ，根据 ，
即可求解；
（2）由折叠的性质，得到 ， ，根据 ，
，根据 即可求解；
（3）由折叠的性质，得到 ， ，分当点 在 内部时，当点 在 外部时，
两种情况得出结论．
【解答】解：（1）由折叠的性质，得到 ， ，
，
；
（2）由折叠的性质，得到 ， ，
， ，
， ，
；
（3） ，
，
由折叠的性质，得到 ， ．
①如图2，当点 在 内部时，
，
29
学科网（北京）股份有限公司；
②如图3，当点 在 外部时，
，
．
综上， 的度数为 或 ．
【点评】本题考查长方形的性质、翻折不变性，平角的定义，几何中角度的计算等知识，解题的关键是灵活应用翻折
不变性解决问题．
24．（2023秋•承德县期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
（1） （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板 绕点 逆时针旋转一周，请直接写出此时 为多少度时， 与 的大小是二倍关
系．
【分析】（1）由 ， ，可得 ；
（2） ， ，可得 的值，进而可求出 的度数；
30
学科网（北京）股份有限公司（3） ；由 ， ， ，可
证 ；
（ 4 ） 分 类 讨 论 ， 当 时 ， 由 ， 可 得 ， 进 而 可 得
；当 时， ，可求得
．
【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为：“ ”；
（2） ， ，
，
；
（3） ，理由如下：
， ，
，
，
；
（4）①当 时，
， ，
，
，
为 ， 与 的大小是二倍关系；
②当 时，
，
，
31
学科网（北京）股份有限公司，
，
， ，
，
为 ， 与 的大小是二倍关系；
综上所述，当 为 或 时， 与 的大小是二倍关系．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义以及角的相关计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
25．（2023秋•山亭区期末）问题提出：
某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比
赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如
下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，
两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外 4个
点都可连成一条线段，这样一共连成 条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条
线段，所以该校一共要安排 场比赛．
（2）根据以上规律，若学校有 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．
【类比迁移】
（3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角．
【实际应用】
（4）往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安 3个车站（每种车票票面都印有上车站
名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种？
32
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据提示进行列式，求出结果即可；
（2）利用规律列出代数式；
（3）根据规律性来求出结果；
（4）先求出去时要准备的车票数量，再乘2就是结果．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ，10．
（2）共要安排比赛场次： ，
故答案为： ．
（3） （个 ，
故答案为：15．
（4） （种 ，
答：要准备的车票为20种．
【点评】本题考查了角的概念、有理数乘法和列代数式，解题的关键是构建模型来找到规律进行解答．
26．（2024秋•雨花区校级月考）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图△ ．
求作：△ 边 上的高 ．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
33
学科网（北京）股份有限公司②以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ；
③分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 下方交于点 ；
④连接 ，交 于点 ．
如图所示，所以线段 就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
．（填推理的依据）
即 是△ 边 上的 线．
【分析】根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明即可．
【解答】解：如图，根据题中作法作图即可得；
由②可得： ，
由③可得： ，
是 的垂直平分线，
即 是△ 边 上的垂线．
故答案为： ； ； ； 是 的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
34
学科网（北京）股份有限公司垂．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的判定，基本作图，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
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