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第 11 讲 角 （7 个知识点+5 种题型+过关检测）
知识点1．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条
边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在
顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用
一个希腊字母（如∠ ，∠ ，∠ 、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
α β γ
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，
当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
1
学科网（北京）股份有限公司（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
知识点2．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走 格，分针1分钟走1格．钟面
上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再
根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
知识点3．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般
先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
知识点4．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是 60进制，将高级单位化为低级单
位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以 60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进
位的方法．
知识点5．角的计算
（1）角的和差倍分
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学科网（北京）股份有限公司①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC
＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝ ∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢 60要进
位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，
把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
知识点6．角的大小比较
（1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
（2）表示法：
①∠AOB＞∠A′O′B′，
②∠AOB＝∠A′O′B′，
③∠AOB＜∠A′O′B′．
知识点7．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
题型一、角的概念理解
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学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为 ，用10倍的放大镜观察这个角应是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角 内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，
可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出
个锐角．
3．（23-24七年级上·广西贵港·期末）如图，点O在直线 上， 为射线，且 平分 ， 平分 ．
(1)请你数一数，图中小于平角的角共有 个；
(2)求 的度数．
题型二、角的表示方法
4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：
5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用 ， ， 三种方法表示同一个角的是
（ ）
4
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
6．（2023七年级上·全国·专题练习）观察思考：
(1)在 内部画2条射线 ，则图中有几个不同的角？
(2)3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？
题型三、角的分类
7．（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °．
8．（22-23七年级上·江西南昌·期末）若 为锐角， 为直角， 为钝角，则 的值可能是（
）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·吉林·期末）已知如图：平面上有四个点A、B、C、D，按要求画图，并回答问题：
(1)画直线
(2)画射线
(3)画线段 、线段 、线段
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学科网（北京）股份有限公司(4)试写出图中以C为顶点的所有小于180度的角：有
题型四、角的度数大小比较
10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ， ， ，下列比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知 ， ，则 ．（填“ ”“ ”或“
”）
12．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到 、 、 在
吵架， 说：“我是 ，我应该最大！” 说：“我是37.2°，我应该最大！”． 也不甘示弱：“我是
37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知
道李老师是怎样评判的吗？
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学科网（北京）股份有限公司题型五、与余角、补角有关的计算
13．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知 和 之和的补角等于 和 之差的余角，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24七年级上·全国·期末）已知 的余角是 ， 的补角是 ，则 和 的大小关系是
．
15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， ．
(1)图中除 外，还有哪些角是直角？
(2)图中有哪些相等的角？
(3)指出图中与 互余的角、与 互补的角．
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学科网（北京）股份有限公司一．选择题
1．（2023秋•楚雄州期末）若 ， ，则 的度数是
A． B． C． 或 D． 或
2．（2023秋•甘德县校级期末）如图，用三角板比较 与 的大小，其中正确的是
A． B． C． D．不能确定
3．（2024•广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为
8
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（2024•黄石开学）钟面上分针走一圈，时针转动的角度是
A． B． C． D．
5．（2023秋•竹溪县期末）下列关于角的说法正确的个数是
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点 ；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋•文山市期末）如图，在灯塔 处观测到轮船 位于北偏西 的方向，同时轮船 在南偏东 的方向，
那么 的大小为
A． B． C． D．
7．（2023秋•成安县期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到 、 、 在吵架， 说：
“我是 ，我应该最大 ” 说：“我是 ，我应该最大 ”． 也不甘示弱：“我是 ，我应该和
一样大 ”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判 ”，杨老师评判的结果是
A． 最大 B． 最大 C． 最大 D．
8．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了 ，作图痕迹中弧 是
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学科网（北京）股份有限公司A．以点 为圆心， 为半径的弧 B．以点 为圆心， 为半径的弧
C．以点 为圆心， 为半径的弧 D．以点 为圆心， 为半径的弧
9．（2023秋•岚山区期末）下列图形中，能用 和 表示同一个角的是
A． B．
C． D．
10．（2023秋•东莞市期末）如图，已知 ， ， 平分 ， 平分 ，则 的
度数是
A． B． C． D．
二．填空题
11．（2023秋•镇平县期末）如图所示的网格是正方形网格， ．（填“ ”，“ ”或“ ”
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学科网（北京）股份有限公司12．（2023秋•兴化市期末）如图，甲从 处出发沿北偏东 向走向 处，乙从 处出发沿南偏西 方向走
到 处，则 的度数是 ．
13．（2024秋•岫岩县月考）如图，若 ，根据尺规作图的痕迹，则 的度数为 ．
14．（2023秋•临江市期末）时间为 时，钟面上时针与分针的夹角的度数为 ．
15．（2024秋•呼兰区校级月考） 是从 的顶点 引出的一条射线，若 ， ，则
的度数是 ．
16．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，某海域有三个小岛 ， ， ，在小岛 处观测到小岛 在它北偏东 的
方向上，观测到小岛 在它南偏东 的方向上，则 的度数是 ．
17．（2022秋•锦州期末）如图，已知线段 ， ，射线 ．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线 上顺次
截取 ；②在射线 上截取 ，那么 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司18．（2024•徐汇区校级三模）如图，已知 是 内部的一条射线，图中有三个角： ， 和 ，
当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线 为 的“巧分线”．如果 ， 是 的“巧分
线”，则 度．
三．解答题
19．（2024春•张店区期末）已知：
求作： 使 （不写作法，保留作图痕迹）
20．（2023秋•西城区校级期末）计算：
（1） ；
（2） ；
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学科网（北京）股份有限公司（3） （结果化成度、分、秒的形式）；
（4） （结果化成度、分、秒的形式）．
21．（2024•长治开学）综合与实践
如图是某街区的平面示意图．
（1）老顶山在广场的 方向大约 千米处．
（2）八一路小学位于广场南偏东 方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置．
（3）李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：
里程 收费
6.00元
以下（含
以上每增加 （不足 按 1.30元
算）
（注 本题中不考虑出租车等候时间费用）
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学科网（北京）股份有限公司22．（2023秋•天长市期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去
探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点 和点 表示，表盘与线段 交于点 、 ，
为表盘圆心．
（1）若 为 ， ， 是 中点，则手表全长 ．
（2）表盘上的点 对应数字“12”，点 对应数字“6”， 为时针， 为分针， 时表盘指针状态如图③
所示，分针 与 重合．
① 度；
②作射线 ，使 ，求此时 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司23．（2023秋•漳州期末）点 ， 分别是长方形纸片 边 ， 上的点，沿 ， 翻折，点 落在点
处，点 落在点 处．
（1）如图1，当点 恰好落在线段 上时，求 的度数；
（2）如图2，当点 落在 的内部时，若 ， ，求 的度数；
（3）当点 ， 落在 的内部时，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
24．（2023秋•承德县期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
（1） （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板 绕点 逆时针旋转一周，请直接写出此时 为多少度时， 与 的大小是二倍关
系．
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学科网（北京）股份有限公司25．（2023秋•山亭区期末）问题提出：
某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比
赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如
下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，
两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外 4个
点都可连成一条线段，这样一共连成 条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条
线段，所以该校一共要安排 场比赛．
（2）根据以上规律，若学校有 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．
【类比迁移】
（3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角．
【实际应用】
（4）往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安 3个车站（每种车票票面都印有上车站
名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种？
26．（2024秋•雨花区校级月考）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图△ ．
求作：△ 边 上的高 ．
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学科网（北京）股份有限公司下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ；
③分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 下方交于点 ；
④连接 ，交 于点 ．
如图所示，所以线段 就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
．（填推理的依据）
即 是△ 边 上的 线．
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