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专题 39 导数与三角函数结合必刷 100 题
一、单选题1-25题
1．以下使得函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数 ，若对于任意的 都成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．5．若函数 （其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于函数 ， ，下列说法错误的是（ ）
A．当 时，函数 在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恰有两个零点
C．若函数 在 上恰有一个极值，则
D．对任意 ， 恒成立
7．已知函数 对于任意的 满足 （其中 是函数 的导
函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 对任意的 满足 （其中 为函数 的导函数），
则下列不等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
9．已知函数 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 ，则函数 与 的图象的交点（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知 ，函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A．存在 使 B．存在 使
C．对任意 ，都有 D．对任意 ，都有
13．函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 有且只有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
15．已知函数 ， ，关于函数 的性质的以下结论中错误的是
（ ）
A．函数 的值域是
B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 在 内有唯一极小值
D．函数 向左平移 个单位后所得函数 的一个对称中心为
16．已知函数 为 上的偶函数，且对于任意的 满足 ，则下列不
等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数， 下列结论正确的个数是（ ）
①曲线 上存在垂直于 轴的切线；
②函数 有四个零点；③函数 有三个极值点；
④方程 有四个根．
A．1 B．2 C．3 D．4
18．关于函数 ， ，下列四个结论中正确的个数为（ ）个
① 在 上单调递减，在 上单调递增；
② 有两个零点；
③ 存在唯一极小值点 ，且 ；
④ 有两个极值点.
A．0 B．1 C．2 D．3
19．已知在定义在 上的函数 满足 ，且 时， 恒成
立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
20．已知当 时， 恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 ， ，当 ，且 时，方程 根的个数一
定不少于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．1222．已知函数 ，若存在 ， ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
23．设函数 ，下列命题中真命题的个数为（ ）
① 是奇函数；
②当 时， ；
③ 是周期函数；
④ 存在无数个零点；
⑤ ， ，使得 且
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．已知函数 是函数 的导函数，对任意 ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于x的不等
式 的解集为（ ）A． B． C． D．
二、填空题26-50题
26．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为______．
27．已知函数 ，则 的最小值是______．
28．已知定义在R上的奇函数 的导为数为 ，若 ，则实数t的取值
范围为_________．
29．若函数 在区间 内不存在极值点，则实数 的取值范围是__________.
30．已知函数 .若 是 的极大值点，则正实数a的取值范围为
_________________.
31．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围
____________________．32．若命题 ， 为真命题，则实数a的取值范围是_________.
33．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是______.
34．设函数 ， ，若方程 有解，则实数 的最大值是________．
35．设 是函数 的一个极值点，则 ______.
36．已知函数 ，则 的最大值为________.
38．已知函数 ，当 时，函数 在区间 上有唯一零点，则实
数 的取值范围是______________．
39．若函数 在区间 是增函数，则 的取值范围是_________．
40．已知函数 ，对于任意 都有 恒成立，则实数
的取值范围为__________．
41．函数 在R上单调增，则a的取值范围为____________．
42．已知函数 的定义域为R，导函数为 ，若 ，且 ，则满足的x的取值范围为__________．
43．若函数 在R上是增函数.则实数a的最小值是__________.
44．函数 定义在 上， ，其导函数是 ，且 恒成立，则
不等式 的解集为_____________.
45．已知函数 ，若 、 ，使得 ，则实数 的
取值范围为________.
46．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为________．
47． 在 处取得极值，则 ______.
48．若函数 在 上递增，则 的取值范围___________.
49．已知函数 存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.
50．若不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围为__________.
三、解答题50-100题
51．已知函数 .（1）设 且 ，求函数 的最小值；
（2）当 ，证明： .
52．已知函数 ．
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）求函数 的最值．
53．已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
（2）当 时，试判断函数 的零点个数，并说明理由．
54．已知函数 ， ， .
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，证明： 在 上恒成立.55．已知函数 .
（1）若 在 上有零点，求实数 的取值范围；
（2）若 ，记 在 上的最小值为 ，求 的取值范围.
56．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调性及零点的个数；
（2）当 时，求 的零点的个数.
57．已知函数 ．
（1）当 时，求 在区间 上的最值；
（2）当 时， ，求 的取值范围．58．已知函数 在原点处的切线方程为 .
（1）求 的值及 的单调区间；
（2）记 ， ，证明： 在 上至少有一个零点.
（参考数据： ）.
59．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.
60．已知函数 ，
（1）证明：当 时， ；
（2）试讨论函数 在 上的零点个数.
61．已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的导数 ；（Ⅱ）当 时，求证： 在 上恒成立；
（Ⅲ）若 在 上恒成立，求 的最大值.
注：以下不等式可参考使用：对任意 ， ， ，恒有 ，当且仅当 时
“=”成立.
62．已知函数 ， （其中 ）.
（1）证明：当 时， ；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
63．已知函数 ， .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.
64．已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调递减区间；（Ⅱ）若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
65．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
66．已知 是自然对数的底数，函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的最小值；
（2）若当 时， 有解，求实数 的取值范围.
67．已知 .
（1）判断函数 是否存在极值，并说明理由；
（2）求证：当 时， 在 恒成立.68．已知函数 .
（1）证明：当 时，函数 在区间 没有零点；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
69．函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
70．已知函数 ， .
（1）求 的单调性；
（2）若对于任意x∈[0，+∞)， 恒成立，求实数a的取值范围.
71．已知函数 .
（1）当 时，求 零点的个数；
（2）当 时， 恒成立，求实数a的取值范围.72．已知函数 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
73．已知函数 ， ．
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）证明：对任意的实数 ， 在 上恒成立．
74．已知：函数 .
（1）求 ；
（2）求证：当 时， ；
（3）若 对 恒成立，求实数 的最大值.
75．设函数 （其中 ，m，n为常数）（1）当 时，对 有 恒成立，求实数n的取值范围；
（2）若曲线 在 处的切线方程为 ，函数 的零点为 ，求所有满
足 的整数k的和．
76．已知 .
（1）当 时，求证： 在 上单调递减；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
77．已知函数 .
（1）当 时，求 在 上的单调性；
（2）若 ， ，求 的取值范围.
78．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程；
（2）若对任意 ∈[ ， ]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
𝑥 𝜋
（3）试探究当 ∈[0， ]时，方程g（x）＝x•f（x）的解的个数，并说明理由．
𝑥79．已知点 ， ， 为坐标原点，设函数 .
（1）当 时，判断函数 在 上的单调性；
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
80．已知 .
（1）若函数 ，求 的单调区间;
（2）若过点 能作函数 的两条切线，求实数 的取值范围;
（3）设 ，且 ，求证:
81．设 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）证明：对一切正整数n，都有 ．
82．已知函数 ， .
（1）求证：当 时， ；（2）求函数 的最小值.
83．已知函数 ， ， 为自然对数的底数.
（1）证明： ；
（2）若 恒成立，求实数 的范围.
84．设函数 .
（1）当 时，判断 的单调性；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围.
85．已知e是自然对数的底数，函数 的导函数记为 ，曲线 在点
处的切线l与y轴交于点 ．（1）当 时，求实数b的取值范围；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数m的最大值．
86．已知函数 ， 是函数 的导函数.
（1）证明： 在 上没有零点；
（2）证明：当 ， .
87．已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 在 上的单调性；
（2）存在 ， ， ，求证： .
88．已知函数 ， 为 的导函数．
（1）证明：当 时，函数 在区间 内存在唯一的极值点 ，且 ；
（2）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围．（参考数据： ）
89．已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
90．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
91．已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）若存在 ， ，且当 时， ，当 时，求证： .92．已知函数 ， .
（1）当 时，设 ，求证： ；
（2）若 恰有两个零点，求 的最小整数值.
93．已知 ， ， ．
（1）若 ，证明： ；
（2）对任意 都有 ，求整数 的最大值．
94．已知：
（1）若 在 上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若 ，试分析 ， 的根的个数.
95．已知 .
（1）当 时，求证：函数 在 上单调递增；
（2）若 只有一个零点，求 的取值范围.96．已知函数 ， .
（1）讨论 在 内的零点个数.
（2）若存在 ，使得 成立，证明： .
97．已知函数 ．
（1）设 是 的导函数，求 在 上的最小值；
（2）令 （ ），若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
98．已知函数 （其中 为实数）的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的最小值；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实 数的取值范围､
99．已知函数 ， ，其中 .（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
100．已知函数 ， ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 的值．
