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第 12 讲 多边形和圆的初步认识（4 个知识点+6 种题型+过关检测）
知识点1．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形
都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者
悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边
形．
知识点2．多边形的对角线
1
学科网（北京）股份有限公司（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边
形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，
故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
知识点3．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点
O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
⊙
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的
两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点4．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
π
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
2
学科网（北京）股份有限公司③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
题型一、平面图形形状的识别
1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任
一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用
“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面图形形状的识别
【分析】本题考查长方形的性质，根据长方形的对角线把长方形的面积平分求解即可．
【详解】解：∵ 是长方形 的对角线，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
由题意，四边形 和四边形 均为长方形，
∵ 、 分别是长方形 、长方形 的对角线，
∴ ， ，故选项D正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
3
学科网（北京）股份有限公司不能证明 ，故选项C错误，符合题意，
故选：C．
2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 去掉 后，剩下的新图形是 边形．
【答案】三、四、五
【知识点】平面图形形状的识别
【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键．
设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），分三种
情况讨论：沿直线 切割；沿直线 切割；沿直线 或 切割．
【详解】设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合）．
①如图所示，沿直线 切割，得到 ，新图形为三角形．
②如图所示，沿直线 切割，得到五边形 ，新图形为五边形．
4
学科网（北京）股份有限公司③如图所示，沿直线 或 切割，得到四边形 或四边形 ，新图形为四边形．
综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形．
故答案为：三、四、五．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计
数的方法并解答下面的问题．
图形 ① ② ③ ④
顶点数V 7
边数E 9
区域数F 3
(1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表；
(2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有 个顶点和 个区域，那么这个平面图形有几条边？
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 条边
【知识点】图形类规律探索、平面图形形状的识别
5
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平面图形，图形的规律探究．根据图形推导一般性规律是解题的关键．
（1）根据顶点，边长的定义，作答即可；
（2）推导一般性规律即可；
（3）根据 ， ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，填表如下；
图形 ① ② ③ ④
顶点数V 4 7 8
边数E 6 9
区域数F 3 3 5 6
（2）解：由题意知， ； ； ；
∴可推导一般性规律为 ；
（3）解：由题意知， ，
∴ ，
∴这个平面图形有 条边．
题型二、多边形的概念与分类
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ．
【答案】对角线
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查多边形对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，据此解答即可
【详解】解：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，
故答案为：对角线．
5．（22-23·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（ ）
①等腰三角形是正多边形；
6
学科网（北京）股份有限公司②等边三角形是正多边形；
③长方形是正多边形；
④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意，
等边三角形是正多边形，故②符合题意，
长方形不是正多边形，故③错误不符合题意，
正方形是正多边形，故④符合题意，
故选：B．
6．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？
【答案】27
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，
6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案．
【详解】解：单个的四边形：一共有9个，
由2个四边形组成的四边形有6个，
由3个四边形组成的四边形有4个，
7
学科网（北京）股份有限公司由4个四边形组成的四边形有1个，
由5个四边形组成的四边形有4个，
由6个四边形组成的四边形有2个，
由7个四边形组成的四边形有1个，
故一共有27个四边形．
【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键．
题型三、平面镶嵌
7．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，有两块形状大小完全相同的三角板，把它们相等的边靠在一起，可以拼
出许多图形，其中形状不同的四边形的种数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】平面镶嵌
【分析】本题考查了多边形的拼接，把相等的边重合，然后进行不同的排列拼出图形即可得解．
【详解】解：如图所示，把它们相等的边靠在一起拼成形状不同的四边形共有4种可能，
故选：B．
8．（22-23七年级上·河南南阳·期末）若一个正多边形的每个外角都等于 ，则用这种多边形能铺满地面吗？写出
一种铺满地面的方法 ．
【答案】不能
【知识点】平面镶嵌
8
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正多边形的每个外角都等于 ，得出这个正多边形的内角，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正多边形的每个外角是 ，
∴该正多边形的内角为 ，
∵ ，不是整数，
∴用这种多边形不能铺满地面．
故答案为：不能．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解一种正多边形镶嵌的条件是能被360°整除．
9．（22-23七年级·山西吕梁·阶段练习）下面是小明设计的由大小相同的正六边形、正方形、正三角形三种地砖铺满
小路地面的图案，请观察图案，根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第6个图案中有正六边形 个，正方形 个，正三角形 个．
(2)若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为 ．（用含n的代数式表
示）
(3)若这条小路计划铺2021块正方形地砖，问该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各多少块？
【答案】(1)6；31；26
(2) ；
(3)该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各404块，1618块
【知识点】平面镶嵌、图形类规律探索
【分析】（1）根据图形规律可得答案；
（2）由（1）的规律可得答案；
（3）由（1）（2）的规律代入数值计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知：第1个图案有：正六边形地砖有1个，正方形地砖有6个，正三角形 有 6个，
第2个图案有：正六边形地砖有2个，正方形地砖有 （个），正三角形 有 （个），
9
学科网（北京）股份有限公司第3个图案有：正六边形地砖有3个，正方形地砖有 （个），正三角形 有 （个），
第4个图案有：正六边形地砖有4个，正方形地砖有 （个），正三角形 有 （个），
第6个图案有：正六边形地砖有6个，正方形地砖有 （个），正三角形 有 （个），
故答案为： 6，31，26；
（2）由（1）可得：若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则是第n个图案，
第n个图案有：正六边形地砖有n个，正方形地砖有 块，正三角形有 块，
若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为 ；
故答案为： ， ；
（3）根据题意得 ，解得 ，
小路需要铺正六边形地砖404块，
，
小路需要铺正三角形地砖1618块，
该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各404块，1618块．
【点睛】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律．
题型四、圆的基本概念辨析
10．（2022七年级·全国·专题练习）我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它
们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
【答案】 不在同一直线上 封闭平面
【知识点】圆的基本概念辨析、多边形的概念与分类
【解析】略
11．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
10
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直
径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
12．（21-22七年级上·全国·单元测试）学过圆之后，我们知道了圆有很多的优点，比如在相等周长的情况下，圆形的
物体面积最大．其实自然界的很多植物都很好地利用了这种优点，比如树干都是圆柱形的，说说你的理由？
【答案】圆柱形可以减小阻力，可以预防大风等优点
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】根据圆柱的特点作答即可．
【详解】圆柱形可以减小阻力，可以预防大风等优点．
【点睛】本题考查圆的特性，掌握该知识点是本题关键．
题型五、圆的周长和面积问题
13．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）在一个半径为 的大圆上，挖去9个半径为 的小圆，当 ，
时，剩余部分的面积为 （结果保留 ．
【答案】
【知识点】圆的周长和面积问题
【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键．
根据剩余部分的面积为： ，计算求解即可．
【详解】解：由题知，剩余部分的面积为： ，
11
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
14．（22-23七年级上·山东临沂·开学考试）周长是 的圆，面积是（ ）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
【答案】D
【知识点】圆的周长和面积问题
【分析】根据圆的周长公式， ，得出 ，将周长18.84厘米代入，由此即可求出圆的半径，根据圆的
面积公式， ，将半径代入，即可求出圆的面积．
此题主要考查了圆的周长公式 的灵活应用与圆的面积公式 的实际应用．熟练掌握圆的周长公式和面积
公式是解题的关键．
【详解】解： （厘米），
（平方厘米）
故选：D．
15．（22-23七年级·陕西榆林·阶段练习）将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），其表
面积增加了多少平方厘米？（ 取3.14）
【答案】314平方厘米
【知识点】圆的周长和面积问题
【分析】将圆柱体木料锯成三段表面积增加了4个圆柱的底面圆面积，据此列式计算即可．
【详解】解：圆柱截成三段后，表面积增加了4个圆柱的底面圆面积．
所以 （平方厘米）．
答：表面积增加了314平方匣米．
【点睛】本题主要考查了圆的面积，明确将圆柱体木料锯成三段表面积增加了4个圆柱的底面圆面积是解答本题的关
键．
题型六、圆心角概念辨析
12
学科网（北京）股份有限公司16．（22-23七年级上·四川达州·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．顶点在圆心的角叫做圆心角
B． 等于
C．各边相等的多边形叫做正多边形
D．在数轴上，与表示 的点的距离为3的数有2和 ．
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离、角的单位与角度制、多边形的概念与分类、圆心角概念辨析
【分析】分别利用圆心角的定义以及正多边形的定义和角度的换算、数轴上的点的特征，分别分析得出答案．
【详解】解：A、顶点在圆心上的角叫圆心角，正确，不符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确，符合题意；
D、在数轴上，与表示 的点的距离为3的数有2和 ，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形的定义和圆周角定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
17．（20-21七年级上·河南郑州·期末）若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ．
【答案】120
【知识点】圆心角概念辨析
【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为：
故答案为：120．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解．
18．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
13
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【知识点】圆心角概念辨析、圆的基本概念辨析
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴ ，
，
．
【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆
心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．
一、单选题
1．已知 是 的弦， 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】根据“直径是最长的弦”进行解答即可．
【详解】解：若 是 的直径时， ，
若AB不是 的直径时 ，无法判定AB与 的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
14
学科网（北京）股份有限公司故选D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握“直径是圆中最长的弦” ．
2．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】根据从 边形的一个顶点可以作出 条对角线，求出边数即可．
【详解】解：多边形的边数为 ，
由题意可得： ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，解题的关键是掌握 边形从一个顶点可以作出 条对角线．
3．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】用七巧板拼图形
【分析】本题主要考查七巧板中的面积计算，根据阴影部分面积 正方形面积的一半，求解即可．
【详解】解： ，
故选B．
4．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．
则此重物移动路径的形状为（ ）
15
学科网（北京）股份有限公司A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，
故选：C．
5．在学校“文明学生”表彰会上，6名获奖者每两位都相互握手祝贺，则他们一共握了多少次手（ ）
A．6 B．8 C．13 D．15
【答案】D
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题主要考查了的是多边形对角线，这类握手问题相当于求多边形的对角线的条数与边数之和．根据 边形
有 条对角线，求出六边形的对角线数量，再加上边数，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，握手相当于求多边形的对角线的条数与边数之和，
六边形的对角线条数为 ，
六边形的边数为6，
六边形的对角线的条数与边的条数之和为 ，
即6名获奖者每两位都相互握手祝贺，则他们一共握了15次手，
故选：D．
6．用形状相同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺成一片，这就是一种密铺平面图形．下列图形中
不能进行密铺的是（ ）
16
学科网（北京）股份有限公司A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为 ，因此我们只需验证 是不是上面所给
的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解： 、正六边形能进行密铺，因为正六边形的每一个内角等于 ， ；
、正五边形不能进行密铺，因为正五边形的每一个内角等于 ， 的整数倍不等于 ；
、正方形能进行密铺，因为正方形的每一个内角等于 ， ；
、等边三角形能进行密铺，因为等边三角形的每一个内角等于 ， ．
故选： ．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起
恰好组成一个周角．
7．小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，若在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，
则还需一个正（ ）边形瓷砖才能铺成平整无缝隙的地面．
A．十二 B．十三 C．十四 D．十五
【答案】D
【知识点】平面镶嵌
【分析】根据正三角形的每个内角为60°，正十边形的每个内角为144°，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角
为360°-60°-144°=156°，据此即可求解．
【详解】解：∵正三角形的每个内角为180°÷3=60°，
正十边形的每个内角为180°- =144°，
∴还需正多边形的每个内角为360°-60°-144°=156°，
其每个外角为180°-156°=24°，
17
学科网（北京）股份有限公司其边数为 =15．
故选D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，欲解答此题，要熟悉平面镶嵌的定义还要熟悉正多边形内角和外角的求法．
8．下列说法正确的有（ ）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接 、 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线
最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤ 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出
条对角线，这些对角线把这个 边形分成了 个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】对角线分成的三角形个数问题、直线、射线、线段的联系与区别、两点之间线段最短
【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；
②连接 、 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
⑤ 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成了 个
三角形，此说法正确．
所以，正确的说法只有1个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题
关键．
9．如图，在 中， ， ，若以点 为圆心， 的长为半径的圆恰好经过 的中点 ，则
的长等于（ ）
18
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的基本概念辨析、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜
边中线定理及勾股定理是解题的关键．
连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得 ，然后可得 是等边三角形，则有 ，进而根
据勾股定理可求解．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点 是AB的中点， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
故选：D．
10．为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少
需要绳子（ ）cm．（π取3.14）
19
学科网（北京）股份有限公司A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325
【答案】B
【知识点】圆的周长和面积问题
【分析】根据一圈绳子长=一个圆周长+一个正方形周长，列出算式，进而即可求解．
【详解】解：一圈的长度为： （cm），
5圈的长度为： ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查几何图形的周长问题，掌握圆周长公式是关键．
二、填空题
11．一个八边形的对角线共有 条．
【答案】20
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】根据 边形对角线有 条即可解答．
【详解】八边形的对角线条数是： ，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查多边形对角线，掌握 边形对角线有 条可得答案．
12．一根绳子长 ，用这根绳子在操场上围出一块地，则所围地的最大面积是 ．
【答案】
【知识点】圆的基本概念辨析
20
学科网（北京）股份有限公司【分析】围成的地的面积最大是圆形地块，通过圆的周长为 ，求出圆的半径，再求出圆的面积．
【详解】解：要使所围地的面积最大，地的形状应该为圆形，圆形地的周长为 ，
∴圆的半径为 ，
圆的面积为 （ ）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，圆的周长和圆的面积，解题的关键是掌握有理数的混合运算，圆的周长和圆
的面积．
13．下图中，长方形有 个．
【答案】21
【知识点】平面图形形状的识别、图形类规律探索
【分析】根据图形，可知是由六个小长方形构成的，除了这六个小长方形，再依次将两个、三个、四个、五个、六个
组合，求和，即可解决问题．
【详解】解：∵单个的长方形有6个，两个小长方形组成的长方形有5个，三个小长方形组成的长方形有4个，四个
小长方形组成的长方形有3个，五个小长方形组成的长方形有2个，六个小长方形组成的长方形有1个，
∴ （个），
∴图中长方形有15个,
故答案为：21．
【点睛】本题考查了长方形的概念，熟练掌握长方形的概念是解决本题的关键．
14．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ．
【答案】六/
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案．
【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是 ，
21
学科网（北京）股份有限公司故答案为：六．
15．如图，四边形 去掉 后，剩下的新图形是 边形．
【答案】三、四、五
【知识点】平面图形形状的识别
【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键．
设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），分三种
情况讨论：沿直线 切割；沿直线 切割；沿直线 或 切割．
【详解】设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合）．
①如图所示，沿直线 切割，得到 ，新图形为三角形．
②如图所示，沿直线 切割，得到五边形 ，新图形为五边形．
③如图所示，沿直线 或 切割，得到四边形 或四边形 ，新图形为四边形．
22
学科网（北京）股份有限公司综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形．
故答案为：三、四、五．
16．如图，直线DE将 ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则 ABC的周长为 ．
△ △
【答案】4
【知识点】多边形的周长
【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解．
【详解】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC．
∵AD+AE＝2，
∴BD+CE+BC＝2．
∴C ABC＝AB+AC+BC
△
＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC
＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）
＝2+2
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的周长，解题的关键是正确理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分．
17．如图，CD是 的直径，A为 延长线上一点，点E在 上， ， 交 于点B，且 ，
23
学科网（北京）股份有限公司则 的度数是 ．
【答案】 /27度
【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由 得到 ，
则 ，而 ，因此 ，即可求出 ．
【详解】
解：连 ，如图，
， ，
，
，
而 ，
，
，
，
，
而 ，
，
所以 ．
24
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
18．小于半圆的弧（如图中的 ）叫做 ；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做 ．
【注意】
1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．
2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．
【答案】 劣弧 优弧
【知识点】圆的基本概念辨析
【解析】略
三、解答题
19．计算阴影部分的面积．
【答案】
【知识点】平面图形形状的识别
【分析】用长为 、宽为 的长方形面积减去两直角边为 、 的直角三角形面积即可．
【详解】解：
答：阴影部分的面积是 ．
25
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查阴影图形面积，把阴影部分的面积转化为规则图形的面积差是解题的关键．
20． 中， ．求证： 三点在同一个圆上．
【答案】见解析．
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】取AB的中点O，根据直角三角形的性质得到CO＝AO＝BO，故可求解．
【详解】如图所示，取AB的中点O，连接CO
在Rt△ABC中，
∵AO= BO，∠ACB= 90°，
∴CO＝ AB，即CO＝AO＝BO．
∴A，B，C三点在同一个圆上，圆心为点O．
【点睛】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．
21．学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）积分制，那么一共需要进行
多少场比赛？
【答案】15场
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数．
【详解】解：如图所示，由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，即共需比赛
（场）．
26
学科网（北京）股份有限公司【点睛】体育比赛中的单循环赛、打电话、握手等问题，都是多边形对角线公式在实际问题中的应用．需要注意的是
一班与二班比赛一场和二班与一班比赛一场，只能算一场，不能重复计算．
22．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规，按下列要求作图：
（1）在射线 上作线段 ，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段 ，使 与线段b相等；
（3）连接 ．
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．
【答案】见解析；四边形（筝形）
【知识点】多边形的概念与分类、作线段(尺规作图)
【分析】（1）根据尺规作图的方法作出线段即可；
（2）根据尺规作图的方法作出线段即可；
（3）根据（1）（2）作出的线段围成的图形即可判断．
【详解】解：（1）如图所示，根据题意作出线段 ；
（2）如图所示，根据题意作出线段 ；
（3）如图所示，多边形 是一个四边形（筝形）．
27
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了尺规作图的方法，四边形的概念，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法．
23．如图，长方形 的长 厘米，宽 厘米．
(1)如图 ，一个半径为 的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；
(2)如图2，E，F 分别为 ， 上的点，且 ， ，一个半径为 厘米的圆在长方形外侧连续地
从 经过点 ， 滚动到点 ，求圆滚过的面积．（结果保留 ）
【答案】(1)
(2)
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】（1）如图所示，圆滚过的面积=长方形的面积一中间白色长方形的面积−四个直角处的面积和；四个直角处
的面积和=边长为2厘米的正方形的面积-半径为l的圆的面积，据此解答即可；
（1）如图把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为2厘米的圆；
起点、终点加起来正好是一个半径长为1厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即
可．
【详解】（1）解：如图1中，
28
学科网（北京）股份有限公司空白部分的长 ，宽 ，
∴阴影部分的面积 ；
（2）解：如图2中，
由题意 ， ，
，
∴阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以
它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以 、 为圆心，以1为半径作 圆，剪去图1中阴影部分，得到图2．
29
学科网（北京）股份有限公司(1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形：
(2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用七巧板拼图形
【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．
（1）可求得 个图 的面积为 ，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法；
（2）可求得 个图 的面积为 ，可知拼成的正方形的边长为 ，由此可得到剪拼方法．
【详解】（1）由题意可知， 个图 的面积为 ，可知拼成的正方形的边长为√2，因此按如图虚线剪 刀，再将剪下
的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形；
（2）由题意可知， 个图 的面积为 ，可知拼成的正方形的边长为 ，因此按如图虚线各剪 刀，再将剪下的部分
拼如图相应的位置，得到一个正方形．
25．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以
AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）．已知直径AC为4，直径BC为3，直径AB为5．
（1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）；
（2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明．
30
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） π，2π， π；（2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积，理由见解析
【知识点】平面图形形状的识别
【分析】（1）由圆的直径可得圆的半径，根据圆的面积公式求解即可；
（2）可设四个月牙的面积依次为S，S，S，S，则半圆的面积可用月牙形的面积之和表示出来，由（1）又可得S
1 2 3 4 AB
＝S ＋S ＝ π，将半圆的面积代入整理可得结论；
为直径 AC为直径 BC为直径
【详解】解：（1）以AB为直径的半圆：
S ＝ π×（ ）2＝ π，
AB为直径
以AC为直径的半圆：
S ＝ π×22＝2π，
AC为直径
以BC为直径的半圆：
S ＝ π×（ ）2＝ π，
BC为直径
（2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积．
设四个月牙的面积依次为S，S，S，S，如图，
1 2 3 4
于是，S＋S＝S ＝ π，S＋S＝S ＝2π，
1 2 BC为直径 3 4 BC为直径
31
学科网（北京）股份有限公司∴S＋S＋S＋S＝S ＋S
1 2 3 4 BC为直径 BC为直径
S ＝S＋S＋S ，
AB为直径 2 4 ABC
△
又由（1）可得：∴S ＝S ＋S ＝ π，
AB为直径 AC为直径 BC为直径
S＋S＋S＋S＝S＋S＋S
1 2 3 4 2 4 ABC
△
∴S＋S＝S ，
1 3 ABC
△
即：两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积．
【点睛】本题主要考查圆的面积计算公式，熟练运用数形结合的思想进行图形面积之间的转化是解题的关键．
26．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最
后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两
个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，他做了1天后，
发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了 ，结果正好按时完成任务，
若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
【答案】(1) 米
(2)不能省材料，理由见解析
32
学科网（北京）股份有限公司(3)甲得到280元，乙得到320元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、圆的周长和面积问题
【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题．
（1）根据圆的周长公式： ，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可；
（2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可；
（3）根据甲每天能完成工程的 可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱
数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数．
【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米，
∴两个小圆花坛的直径为 （米），
∴修两个花坛的周长为 （米）．
故答案为： 米
（2）解：不能省材料，理由如下：
根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为：
（米），
（米），
它们的周长之和为 （米）
∴方案B与方案A修的花坛的周长相等，
∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料．
（3）解：整项工程为 （米），
甲原来每天可以修 （米），
甲总共修了 （米），
甲得到的工资为 （元）；
33
学科网（北京）股份有限公司乙总共修了 （米），
乙得到的工资为 （元），
答：甲得到280元，乙得到320元．
34
学科网（北京）股份有限公司
