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第 10 讲 线段、射线、直线 （5 个知识点+5 种题型+过关检测）
知识点1．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注
意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段 a；用两个表示端点的字母表示，如：线段 AB（或线
段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
知识点2．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
1
学科网（北京）股份有限公司简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
知识点3．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字
“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，
但不能说画距离．
知识点4．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，
也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝ AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝ CB＝ AB，AB＝4CD，这就
是线段的和、差、倍、分．
知识点5．线段的和差
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
题型一、直线、射线、线段的联系与区别
1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．延长直线 B．延长射线
2
学科网（北京）股份有限公司C．反向延长射线 D．延长线段 到点 ，使
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，注意用两个字母表示射线时，端点的字母放在前边．根据直线、
射线、线段的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．延长直线 ，说法错误，不符合题意；
B．延长射线 ，说法错误，不符合题意；
C．反向延长射线 ，说法正确，符合题意；
D．延长线段 到点 ，则 ，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 是直线l上的三个点．
（1）图中共有 条线段；
（2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ；
（3）直线l还可以表示为 ．
【答案】 3 2 射线 、射线 直线 或直线 或直线 或直线 或直线 或直线
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义．
（1）根据线段概念即可求得答案；
（2）根据射线概念即可求得答案；
（3）根据直线的概念即可求得答案．
【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段 、线段 、线段 ；
3
学科网（北京）股份有限公司故答案为：3；
（2）图中以点B为端点的射线有2条，射线 、射线 ；
故答案为：2，射线 、射线 ；
（3）直线l还可以表示为：直线 或直线 或直线 或直线 或直线 或直线 ；
故答案为：直线 或直线 或直线 或直线 或直线 或直线 ．
3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，A，B，C是同一直线上的三个点．图中有几条射线？在不增加字母
的情况下，能表示出的射线共几条？是哪几条？
【答案】图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条，分别是：射线 ，射线 ，射线 ，
射线
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】本题考查了射线，根据射线的定义即可求解，熟练掌握射线的定义及表示方法是解题的关键．
【详解】解：图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条，
分别是：射线 、射线 、射线 、射线 ．
题型二、点与线的位置关系
4．（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果 ， ， ，那么下列说法正确
的是（ ）
A．点C在线段 上 B．点C在线段 的延长线上
C．点C在直线 外 D．点C的位置无法确定
【答案】A
【知识点】点与线的位置关系
【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据 ， ，
，有 进行判断即可．
【详解】解：如图，在平面内， ，
∵ ， ，
4
学科网（北京）股份有限公司∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点，
由于 ，
所以，点C在线段 上，
故选：A．
5．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图， 的位置是点 ， 的位置是点 ．
【答案】 ② ④
【知识点】点与线的位置关系
【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键．
通过分析点的位置即可解答．
【详解】解：∵ ，即点坐落在 到 的 处，
∴此点为②；
∵ ，则点坐落在 到 的 倍长度处，即在 与 的中间，
∴此点为④；
故答案为：②④．
6．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知直线l和点A、B、P．
(1)用适当的语句表述点A与直线l的位置关系：______；
5
学科网（北京）股份有限公司(2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）：
①画直线 ；
②画射线 ；
③在射线 上作线段 ，使得P为线段 的中点；
(3)连接 ，则 _____ （填“ ”“ ”“ ”）成立的理由是______．
【答案】(1)点A在直线l上
(2)见详解
(3) ，两点之间线段最短
【知识点】点与线的位置关系、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短
【分析】本题考查了点与直线的位置关系，作线段、射线、直线，有关线段的基本事实；
（1）由点与直线的位置关系，即可求解；
（2）按要求作出图形即可求解；
（3）由两点之间线段最短，即可求解；
理解点与直线的位置关系有“点在直线上和点在直线外”， 两点之间线段最短是解题的关键．
【详解】（1）解：点A在直线l上；
故答案：点A在直线l上．
（2）解：如图，
（3）解：如图，
6
学科网（北京）股份有限公司因为：两点之间线段最短，
所以： ；
故答案： ，两点之间线段最短．
题型三、线段的应用
7．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】D
【知识点】线段的应用
【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．本题考查了正方形的
性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键．
【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长， 的长度小于正方形的边长，
的长度大于正方形的边长但小于d的长度，
所以长度最长的是d．
故选：D．
8．（22-23七年级上·河北邢台·期中）图中所给出的线段中，最短的线段是
7
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /CA
【知识点】线段的应用
【分析】以 为圆心 为半径画圆，可得： ；以 为圆心 为半径画圆，可得： ，即可得出答
案．
【详解】解：以 为圆心 为半径画圆，可得： ；
以 为圆心 为半径画圆，可得： ；
∴ ,
∴图中所给出的线段中，最短的线段是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的比较大小，学会用线段的比较大小是解题的关键．
9．（21-22七年级上·江西吉安·阶段练习）观察图形，并回答下列问题：
(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；
(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？
【答案】(1)10条，见解析；
8
学科网（北京）股份有限公司(2)共握了105次；
(3)共送了210张．
【知识点】线段的应用、直线、线段、射线的数量问题
【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以 、 、 、 为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案；
（2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案；
（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下：
以 为端点的线段有： 、 、 、 ，共4条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： 、 、 ，共3条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： 、 ，共2条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： ，共1条；
答：图中共有 条线段；
（2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知，
握手的次数为： ，
答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次；
（3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，
，
答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张．
【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别．
题型四、线段的和与差
10．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线 上顺次取三点 、 、 ，使线段 ， ，则线段 的长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】线段的和与差
【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线 上顺次取三点 、 、 ，得出 ，再代数计算，即
可作答．
【详解】解： 在直线 上顺次取三点 、 、 ，
，
， ，
，
故选：D．
11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点 ， ， 是线段 上的三个点，已知 ， ，求
图中以 、 、 、 ， 这5个点为端点的所有线段的和为 ．
【答案】58
【知识点】线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以 、 、 、 ， 这5个点为端点线段数，再根据
线段的和差计算即可求解．
【详解】解：以 为端点的线段有： ， ， ， ，
以 为端点的线段有： ， ， ，
以 为端点的线段有： ， ，
以 为端点的线段有： ，
，
故答案为： ．
12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点 在直线l上，其中线段 ，且 ，若M是线段
10
学科网（北京）股份有限公司的中点，求线段 的长．
【答案】线段 的长为5或1．
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在点B的右侧时，当点C在点B的左侧时，两种
情况先求出 ，再根据线段的和差关系求出 的长，进而根据线段中点的定义求出 的长，再求出 的长
即可．
【详解】解：如图①，当点C在点B的右侧时，∵ ，且 ，
∴ ．
∴ ．
∵M是线段 的中点，
∴ ．
∴ ．
如图②，当点C在点B的左侧时，
∵ ，且 ，
∴ ．
∴ ．
∵M是线段 的中点，
∴ ．
∴ ，
11
学科网（北京）股份有限公司综上所述，线段 的长为5或1．
题型五、最短路径问题
13．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，小明从 处出发沿街道行走，先到 处与小红会合，再一起到位于
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）条．
A．18 B．16 C．12 D．9
【答案】A
【知识点】最短路径问题
【分析】根据图形，找到从 到 的最短路径（两长两短），再找到从 到 的最短路径（两长一短），综合起来即
可得到答案．
【详解】解：如图所示：
从 到 的最短路径有（两长两短）： ，共计6条；
从 到 的最短路径有（两长一短）： ，共计3条；
小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 ，
故选：A．
【点睛】本题考查数学图形解决实际问题，用列举法找到各个最短路径是解决问题的关键．
14．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为 ．
12
学科网（北京）股份有限公司【答案】两点之间线段最短
【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，理解并掌握最短线段的含义是解题的关键，根据实际问题中的修路可知运
用的是两点之间线段最短的原理，由此即可求解.
【详解】解：减少弯路是因为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短.
15．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）请按要求完成下列问题；
(1)在图1中作线段 ；
(2)在图1中作射线 ；
(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；
(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线 和 相交于点A，两条线交点个数为1；
过点B和点C作直线 ，与直线l 和l 相交，新增2个交点；过点D作直线 ，与直线 、 和 相交，新增3个交
1 2
点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)45
【知识点】直线相交的交点个数问题、画出直线、射线、线段、最短路径问题、两点之间线段最短
【分析】（1）根据题意，画出线段 即可；
（2）根据题意，画出射线 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）连接 交于点P，则点P即为所求；
（4）根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有
个交点，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作线段 即为所求；
（2）解：如图，射线 即为所求；
（3）解：如图，连接 交于点P，则点P即为所求；
理由：∵ ，
∴当 的值最小时，点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小，
此时点P位于线段 上；
（4）解：根据题意得：
2条直线相交最多有1个交点，
3条直线相交最多有 个交点，
4条直线相交最多有 个交点，
……，
14
学科网（北京）股份有限公司由此发现，n条直线相交最多有 个交点，
∴10条直线相交最多有 个交点，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了画线段，射线，最短距离问题，相交线的交点问题，明确题意，熟练掌握两点之间，线段最
短；（4）问中根据题意得到规律是解题的关键．
一、单选题
1．把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．点动成线 D．线动成面
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【分析】根据两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是两点之间，线段最短．
故选：A
【点睛】本题主要考查了线段，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
2．题目；已知：线段a，b．求作：线段AB，使得AB=a+2b．
小明给出了四个步骤
①在射线AM上画线段AP=a；
②则线段AB=a+2b；
③在射线PM上画PQ=b，QB=b；
④画射线AM．
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学科网（北京）股份有限公司你认为顺序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．④②①③
【答案】B
【知识点】作线段(尺规作图)
【分析】先作射线AM，再截取AP=a，然后截取PQ=b，QB=b，则线段AB的长为a+2b．
【详解】解：如图所示：
作法步骤：④画射线AM；
①在射线AM上画线段AP=a；
③在射线PM上画PQ=b，QB=b；
②则线段AB=a+2b；
故顺序正确的是④①③②．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质
和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
作图，逐步操作．
3．如图，开封市清明上河园的虹桥，横跨汴河，规模宏大，宛如飞虹，故名虹桥，这与建一座直的桥相比，增加了
游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风景，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】两点之间线段最短
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
【详解】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出虹桥增
加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．
4．如图，C是线段 上的点，D是线段 的中点，E是线段 的中点，若 ，则 长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】根据D是线段 的中点得到 ，根据E是线段 的中点得到 ，结合 即可得到答
案；
【详解】解：∵D是线段 的中点，
∴ ，
∵E是线段 的中点 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C；
【点睛】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义．
5．A、B、C三点在同一条直线上，AB的长为16，BC的长为6，M、N分别是AB，BC的中点，则MN = （ ）
A．11 B．5 C．.5或11 D．10
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算
【分析】根据线段中点的性质，可得MB，NB，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：由AB=16，BC=6，M、N分别为AB、BC中点，得
MB= AB=8，NB= BC=3．
①C在线段AB的延长线上，MN=MB+NB=8+3=11；
②C在线段AB上，MN=MB-NB=8-3=5；
③C在线段AB的反延长线上，AB＞BC，不成立，
综上所述：线段MN的长11或5．
故选C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
6．若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（ ）
A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm
【答案】C
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．
【详解】解∶∵C是线段AB的中点， AB= 18cm，
∴AC=BC= AB= ×18=9cm，
点D是线段AC的三等分点，
当点D离点A较近，即AD= AC时，如图1，
18
学科网（北京）股份有限公司∵AD= AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②当点D离点C较近，即CD= AC时，如图2，
∵CD= AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
7．如图，点C、D分别是线段AB上两点（ ， ），用圆规在线段CD上截取 ， ，
若点E与点F恰好重合， ，则 （ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】根据题意可得 ， ，再由 即可得到答案．
【详解】解：CE=AC，DF=BD，点E与点F恰好重合，
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学科网（北京）股份有限公司∴CE=AC，DE=BD，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到 ， ．
8．如图，点B在线段AC上， ， 分别是 的中点．对于结论：① ；②B是 的中
点；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】利用线段中点的性质，结合线段的和差逐一分析判定即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ，①正确；
∵ 是 的中点．
∴ ，
∴B是 的中点，②正确；
∵ 是 的中点
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，③正确；
∵ ，
∴ ，④正确；
综上分析可得，正确的有：①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差，结合图形找出线段之间的关系是解题的关键．
9．若线段 ，在线段 的延长线上取一点 ，使 是 的中点；在线段 的延长线上取一点 ，使
是 的中点，在线段 的延长线上取一点 ，使 是 的中点…，按这样操作下去，线段 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形类规律探索、线段中点的有关计算
【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论．
【详解】由题意可知：如图
写出线段的长，
， 是 的中点得 ，
， 是 的中点得 ，
， 是 的中点得 ，……
根据线段的长，找出规律，
∵ ，
，
，
21
学科网（北京）股份有限公司，
，
……，
∴线段 （ 为正整数）
∴线段
故选：A.
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键.
10．如图，点 在线段 的延长线上， ，记线段 和 的中点分别为 ， ；线段 和 的中点分别
为 ， ；线段 和 的中点分别为 和 ； ，依次进行这样的标记，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间
的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，
，
，
，
，
22
学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题
11．如图所示，图中共有 条直线， 条射线， 线段．
【答案】 1 8 6
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】利用直线、射线、线段的定义，结合图形即可得出答案，注意做到不重不漏．
【详解】解：直线的条数为：1；
直线上有4个端点，射线的条数为：2×4=8；
线段的条数为：3+2+1=6．
【点睛】本题重点考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握其计数方法是解题的关键．
12．如图，从A地到B地有三条路线，分别记为路线 ，则从A地到B地的最短路线是 ，其中蕴含的数学原理
是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．
【详解】解：从A地到B地的最短路线是 ，其中蕴含的数学原理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
13．下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩
短路程；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一
个扇面；⑤工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直，其中可用
“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③⑤
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、两点确定一条直线、两点之间线段最短
【分析】根据直线的性质分析即可．
【详解】①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释；
④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，可用线动成面来解释；
⑤工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直，可用“两点确定一条
直线”来解释．
故答案为：①③⑤
【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线，两点之间线段最短是解答本题的关键．
14．有两根木条，一根长为 ，一根长为 ．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，那么这
两根木条的中点间的距离是 ．
【答案】 或
24
学科网（北京）股份有限公司【知识点】线段中点的有关计算
【分析】分两种情况讨论：①两条线段同向放置，首端点重合，或②两线段顺次拼接，第一条线段的末端点与第二条
线段的首端点重合，再根据线段中点的性质及线段的和差解题.
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图，AB=100cm，DC=60cm，
，
当线段AB与线段DC如图放置，则
为线段 中点，
为线段 中点，
②如图，AB=100cm，DC=60cm，
当线段AB与线段DC如图放置，则
为线段 中点，
为线段 中点，
综上所述，这两根木条的中点间的距离是 或 ，
25
学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或 .
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
15．点 是直线 上三点，如果点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，若 ， ，则
．
【答案】4或8
【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段的和差与线段中点的定义，解题的关键是掌握线段的和差与线段中点的定义．利用线段的和
差与线段中点的定义计算．
【详解】解：如图， 点 为线段 的中点，点 为线段 的中点． ， ，
， ，
；
如图， 点 为线段 的中点，点 为线段 的中点． ， ，
， ，
．
的长为8或4．
故答案为：4或8
16．如图，点P是线段 上一点，点Q为线段 的中点， ，则 ．
【答案】12
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段中点的有关计算．
根据线段中点的定义得到 ，由 ，则 ，
26
学科网（北京）股份有限公司然后把 代入计算即可．
【详解】解： 点Q为线段 的中点，
，
,
,
，
，
．
故答案为12．
17．点CD都在线段AB上，且AB＝30，CD＝12，E，F分别为AC和BD的中点，则线段EF的长为 ．
【答案】21或9/9或12
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】根据线段的和差，可得（AC+DB），根据线段中点的性质，可得（AE+BF），再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：如图，
AC+DB＝AB﹣CD＝30﹣12＝18．
由点E是AC的中点，点F是BD的中点，得
∴AE+BF＝ （AC+DB）＝9．
EF＝AB﹣（AE+BF）＝30﹣9＝21．
如图，
AC+DB＝AB+CD＝30+12＝42．
27
学科网（北京）股份有限公司由点E是AC的中点，点F是BD的中点，得
∴AE+BF＝ （AC+DB）＝21．
EF＝AB﹣（AE+BF）＝30﹣21＝9．
故答案为：21或9．
【点睛】本题考查了求线段长，利用线段的和差得出（AE+BF）是解题关键．
18．如图，已知C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若 ， ，则图中所有线段的和是
．
【答案】
【知识点】线段的和与差
【分析】先根据线段的和差关系得出AC=3，再根据中点的意义得出AD=CD= ，最后计算出所有线段长度和即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵D是线段AC的中点，
∴
∴
=
=
=
=
28
学科网（北京）股份有限公司故答案为
【点睛】本题考查了线段和求两点之间的距离等知识点，能写出所有的线段和求出线段CD的长是解此题的关键．
三、解答题
19．已知：如图，B，C两点把线段 分成 三部分，M是 的中点，若 ，求：线段 的长．
【答案】3
【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算
【分析】可设 ， ， ，再根据 求出k的值，故可得出线段 的长度，再根据M是 的
中点可求出 的长，由 即可得出结论
【详解】解：如图， ，
可设 ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系．
20．如图，点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ．若 ，求线段 的长．
【答案】
【知识点】线段的和与差
29
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了两点间的距离的求法，解题的关键是数形结合．根据 ， ，求出线段 的
长度，再利用点 是线段 的中点，求出 ，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解： ， ，
，
又 点 是线段 的中点，
，
．
21．如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空：
(1)图中共有线段_______条；
(2)若C是 的中点， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)6；
(2)12cm．
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查线段的和差和中点有关的计算，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．
（1）根据线段定义数出线段即可；
（2）根据图形，由线段和差和线段中点求解即可．
【详解】（1）解：图中线段有 ，共6条线段，
故答案为：6；
（2）解：∵C是 中点，
∴ ，
∵ ，
30
学科网（北京）股份有限公司又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
22．如图，平面上不共线的三点A、B、C，请按如下要求作图：
(1)画射线 ；
(2)画直线 ；
(3)①延长线段 至D，使 ；
②在①的条件下，若 ，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；②
【知识点】画出直线、射线、线段、线段中点的有关计算
【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；
（2）根据直线的定义画出图形即可；
（3）①根据线段的定义以及题目要求画出图形即可；②根据线段中点的定义求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图，射线 即为所求；
31
学科网（北京）股份有限公司（2）（2）如图，直线 即为所求；
（3）①如图，线段 即为所求；
② ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义．
23．已知火车从苏州火车站到南京火车站，途中要停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那么请你想一
想：
(1)在这些站点之中，要制作多少种不同的车票？
32
学科网（北京）股份有限公司(2)一共有多少种不同的票价？
【答案】(1)在这些站点之中，要制作 种不同的车票
(2)一共有 种不同的票价
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查了线段的计数，做题的关键是分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
（1）两站之间的往返车票有两种， 个车站每两站之间有两种，则 个车站的票的种类数为 种，把 代入
上式，即可求得票的种数．
（2）根据票价只有票数的一半，即可解答．
【详解】（1）解：∵两站点之间的往返车票各有一种，即每个站点到另外三个站点各有一种车票，一共四个站点，
∴不同的车票共有 （种）．
答：在这些站点之中，要制作 种不同的车票．
（2）两站点之间往返车票的票价是相同的，所以票价种数应该是车票种数的一半，即 （种）．
答：一共有 种不同的票价．
24．如图，点 是线段 上一点， ，点 是线段 上一点，且 ．
(1)若 ，求线段 的长；
(2)若 ，请问点 是否是线段 的中点吗，若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 是线段 的中点，见解析
【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系
【分析】（1）根据 ，可得 的长，再由 ，可求出 的长，即可求解；
（2）根据 ，可得 的长，再由 ，可求出 的长，继而得到 的长，即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
；
（2）解：点 是线段 的中点，
证明： ， ，
，
，
，
，
，
点 是线段 的中点．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，准确得到线段之间的数量是解题的关键．
25．点Ａ， 在数轴上的位置如图所示，点 是数轴上的一动点．
(1)若 ，则点 表示的是什么数？
(2)若 ，且点 是 的中点，求线段 的长．
(3)是否存在点 ，使 的值最小？若存在，则点 在数轴上的什么位置？ 的最小值是多少？
【答案】(1)3或9
(2) 或
(3)存在，P在A、B两点之间，8
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可；
（2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别 的长，再根据点Q是 的中点，求得线段 的长即可；
（3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时， 的值最小，据此判断并求解即可．
【详解】（1）解：①点P在点B的左边时，
∵ ， ，
∴点P表示的是3．
②点P在点B的右边时，
∵ ， ，
∴点P表示的是9．
综上，可得点P表示的是3或9．
（2）解：∵ ，
∴线段 的长度是8．
①点P在点B的左边时，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴线段 的长是 ．
②点P在点B的右边时，
∵ ，
35
学科网（北京）股份有限公司∵点 是 的中点，
∴ ，
∴线段 的长是 ．
综上，可得线段 的长是2.5或5.5．
（3）解：如图：当点P在A、B两点之间时， 的值最小，
此时 ，
所以 的最小值是8．
26．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断．
情境一：从教室 到图书馆 ，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这
个问题．
情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识
是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二）
【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二
【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短
【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两
个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可．
【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存
的生态环境，所以赞同情景二．
故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二．
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