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第 14 讲 一元一次方程的解法（3 个知识点+4 种题型+过关检测）
知识点1．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
知识点2．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，
1
学科网（北京）股份有限公司各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在
乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转
化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还
是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
知识点3．同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程
叫做同解方程．）
题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（ ）
A．由 变形为
B．由 变形为
C．由 变形为
D．由 变形为
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如果 与 是同类项，则 ．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程的过程回答问题．
解方程： ．
解：移项，得 ．（A）
合并同类项，得 ．（B）
2
学科网（北京）股份有限公司系数化为1， ． （C）
(1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________；
(2)错误的原因：___________；
(3)请写出正确的解题过程．
题型二、解一元一次方程（二）——去括号
4．（24-25七年级上·云南昆明·期中）若 且 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C． D．−2
5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 是关于 的方程 的解，那么关于 的方程
的解是 ．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：
步骤如下：①去括号，得： ；
②移项，得： ；
③合并同类项，得： ；
④系数化为1，得：x=1．
其中错误的是第 步，原因是 ．
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学科网（北京）股份有限公司正确的解法为：
题型三、解一元一次方程（三）——去分母
7．（22-23七年级上·河北唐山·阶段练习）把方程 的分母化为整数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）小娟在对方程 去分母时，错误地得到了方程
，因而求得的解是 ，则m的值为 ，原方程的正确解为 ．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算和解方程
(1)计算： ；
(2)解方程： ．
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学科网（北京）股份有限公司题型四、解一元一次方程——拓展
10．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）已知关于x的方程 的解是整数，且k是正整数，则满足条件的
所有k值的和为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于 的绝对值方程 有三个解，则 ．
12．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上 ， ， 三点对应的数分别为 、1、5，点 为数轴上任意一
点，其对应的数为 ．点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ．
(1)若 ，则 ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点 以每秒1个单位的速度向左运动，点 以每秒3个单位
的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各
是多少？
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．若关于 的方程 的解是-7，则 的值为（ ）
A．-4 B．4 C．2 D．-2
2．已知 是关于 的方程 的解，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．把方程 去分母，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，当 时， 恒成立，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
6
学科网（北京）股份有限公司C．由 ，得 D．由 ，得
6．某同学解方程5y﹣1＝口y＋4时，把“口”处的系数看错了，解得y＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（ ）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
7．下列变形中正确的是（）
A．如果 ，移项得 B．如果 ，去括号得
C．如果 ，合并同类项得 D．如果 ，去分母得
8．若关于x的方程 与关于x的方程 的解互为相反数，则m的值为（）
A．0 B．4 C．5 D．6
9．小南在解关于x的一元一次方程 时，由于粗心大意，去分母时出现漏乘错误，把原方程化为 ，
并计算得解为 ．则原方程正确的解为（ ）
A． B．x＝1 C． D．
10．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如 表
示在数轴上数 ， 对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差
的绝对值进行求和．例如：对 ，1，2进行“F运算”，得 ．下列说法：
①对m， 进行“F运算”的结果是3，则m的值是2；
②若 ，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8；
③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．关于x的方程（3﹣m）x2|m|﹣5+7＝2是一元一次方程，则m＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司12．若 是方程 的解，则 ．
13．如果关于x的方程 是一元一次方程，那么 ．
14．若多项式 是关于 ， 的三次多项式，则 ．
15．若代数式 与 互为相反数，则x的值为 .
16．关于x的方程 的解和方程 的解互为相反数，则m＝ ．
17．已知关于 的方程 的解与关于 的方程 的解互为相反数，则 ．
18．若 是关于 的一元一次方程，则 ，此时方程的解为 ．
三、解答题
19．解方程
(1)5x﹣2（x﹣5）＝4；
(2) ＝1 ．
20．已知a是3的相反数，且 是关于x的方程 的解．
(1)求a的值；
(2)求m的值．
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学科网（北京）股份有限公司21．补全解方程 的过程：
解：移项，得 ___ ______．
合并同类项，得________________ ____________．
系数化为 ，得 ________________．
22．若方程 的解与关于x的方程 的解互为相反数，求k的值．
23．若方程 的解与关于x的方程 的解互为相反数，求k的值．
24．已知关于x的方程 是一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程的解与关于x的方程 的解相同，求n的值．
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学科网（北京）股份有限公司25．观察下列式子，定义一种新运算：
； ； ；
(1)这种新运算是： ______（用含a，b的代数式表示）；
(2)如果 ，求a的值；
(3)若a，b为整数，试判断 是否能被3整除．
26．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义 为数a、b的中点数，定义 为点
A、B之间的距离，其中 表示数a、b的差的绝对值．例如：数 和3的中点数是 ，数轴上表
示数 和3的点之间的距离是 ．请阅读以上材料，完成下列问题：
(1) ______， ______；
(2)已知 ，求 的值；
(3)当 时，求 的值．
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