文档内容
第 03 讲 圆的方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：圆的定义和圆的方程.........................................................................................................4
知识点2：点与圆的位置关系判断.....................................................................................................5
题型一：求圆多种方程的形式............................................................................................................5
题型二：直线系方程和圆系方程........................................................................................................8
题型三：与圆有关的轨迹问题..........................................................................................................11
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件..............................................................17
题型五：点与圆的位置关系判断......................................................................................................19
题型六：数形结合思想的应用..........................................................................................................21
题型七：与圆有关的对称问题..........................................................................................................25
题型八：圆过定点问题......................................................................................................................28
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................31
05课本典例·高考素材........................................................................................................................34
06易错分析·答题模板........................................................................................................................36
易错点：忽视圆的一般方程成立的条件..........................................................................................36
答题模板：求圆的方程......................................................................................................................37考点要求 考题统计 考情分析
2024年北京卷第3题，5分 高考对圆的方程的考查比较稳定，考
(1)圆的方程 2023年乙卷（文）第11题，5分 查内容、频率、题型难度均变化不大，备
(2)点与圆的位置 2023年上海卷第7题，5分 考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程
关系 2022年甲卷（文）第14题，5分 的求法，除了待定系数法外，要特别要重
2022年乙卷（文）第15题，5分 视利用几何性质求解圆的方程．
复习目标：
（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1：圆的定义和圆的方程
1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
2、圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）．
【诊断自测】已知点 ， ， ，则 外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题
得 是直角三角形，且 ，
所以圆的半径为 ，圆心为 ，
所以 外接圆的方程为 .
故选：B.知识点2：点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点 在圆 （ 为常数）外，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，
故 ，
又由圆的一般方程 ，
可得 ，即 ，
即 或 ，
所以实数 的范围为 .
故选：C.
题型一：求圆多种方程的形式
【典例1-1】已知直线 与圆 相切于点 ，圆心 在直线 上，则圆 的方程
为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设 （ ），圆 的半径为 ，
，解得 ，
所以圆心 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .
故选：D.
【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为 ，且与 轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，圆心坐标为 ，可知AB错误；
设圆心半径为 ，且圆心 到 轴的距离为 ，
则由圆与 轴相切可得 ，
故圆的方程为： .
故选：C.
【方法技巧】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，
b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，
半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
【变式1-1】过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则 的外接圆方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆 ，得到圆心 ，由题意知O、A、B、P四点共圆， 的外接圆即四边形
的外接圆， 又 ，从而 的中点坐标 为所求圆的圆心， 为所求圆的半径，
所以所求圆的方程为 .故选：A
【变式1-2】圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】圆经过点 和 ， ，AB中点为 ，
所以线段AB的垂直平分线的方程是 ．
联立方程组 ，解得 ．
所以，圆心坐标为 ，半径 ，
所以，此圆的标准方程是 ．
故答案为： .
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线 与 均与 相切，
点 在 上，则 的方程为 .
【答案】
【解析】由于直线 与 平行，且均与 相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即 ，
又 在 上，所以 为切点，
故过 且与 垂直的直线方程为 ，
联立 ，
所以 与 相切于点 ，
故圆心为 与 的中点，即圆心为(0，1)，
故圆的方程为 ，
故答案为：
【变式1-4】与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】
如图，过圆 的圆心 作直线 的垂线 ，垂足为 ，
则以 为直径的圆 (设其半径为 )即为所求圆.理由如下：
另作一个圆 ，与圆 相切，与直线 切于点 ，设其半径为 ，
由图知 ，即 ，即 ，即圆 是符合要求的最小圆.
由点 到直线 的距离为 ，则 ，
设点 ，由 可得， ，即 ①，
由点 到直线 的距离等于 可得 ②，
联立①②可解得， 或 ，由图知仅 符合题意，
即得 ，故所求圆的方程为 .
故选：C.
题型二：直线系方程和圆系方程
【典例2-1】过圆 ： 和圆 ： 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】经过圆 ： 和圆 ： 交点的圆可设为
，即 ，
圆心 在直线 上，故 ，解得 ，所以圆的方程为 .
故选：A.
【典例2-2】圆 经过点 ，且经过两圆 和圆 的交点，
则圆 的方程为 ．
【答案】
【解析】设圆 的方程为： ，
整理得到： ，
因为圆 过 ，代入该点得到： 即 ，
故圆 的方程为： 即 ，
故答案为： .
【方法技巧】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用
它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线 与直线 相交于点P，则过点P的直
线系方程为：
简记为：
当 时，简记为： （不含 ）
（2）圆系方程：若圆 与圆 相交于A，B
两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为： ，不含
当 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
【变式2-1】经过直线 与圆 的交点，且过点 的圆的方程为 .
【答案】
【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得所以圆的方程为 ，化简得 .
故答案为： .
【变式2-2】曲线 与 的四个交点所在圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据题意得到： ，化简得到答案. ， ，故
，
化简整理得到： ，即 .
故答案为： .
【变式2-3】过圆 和 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程
为（ ）
A． B． ．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意设所求圆的方程为 ，
即 ，
圆心坐标为 ，代入 中，
即 ，解得 ，
将 代入 中，即 ，
满足 ，
故所求圆的方程为 ，
故选：A
题型三：与圆有关的轨迹问题
【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，
则点M的轨迹方程是 ．
【答案】 ．【解析】设 ，则 ，
设 ，
由 为 的角平分线，
可得 ，
即有 ，
可得 ， ，
即 ， ，
可得 ， ，
则 ，
即为 ．
故答案为： ．
【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）已知直线 ，直线 ， 与 相交于
点A，则点A的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以直线 过点 ，
直线 过点 ，
因为 ，所以 ，设 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，化简可得： .
故答案为： .
【方法技巧】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或
转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）已知 ， ，C为平面内的一个动点，且满足
，则点C的轨迹方程为 ．
【答案】【解析】依题意，设 ，由 ，得 ，
即 ，整得得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
【变式3-2】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系 中放置着一个边长为1的等边三角形
，且满足 与 轴平行，点 在 轴上.现将三角形 沿 轴在平面直角坐标系 内滚动，设顶点
的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图象与 轴
所围区域的面积为 .
【答案】
【解析】设 ，
如图，当三角形 沿 轴在平面直角坐标系 内滚动时，
开始时， 先绕 旋转，当 旋转到 时， 旋转到 ，此时 ，
然后再以 为圆心旋转，旋转后 旋转到 ，此时 ，
当三角形再旋转时， 不旋转，此时 旋转到 ，
当三角形再旋转后，必以 为圆心旋转，旋转后 旋转到 ，
点 从开始到 时是一个周期，故 的周期为 ，
如图， 为 相邻两个零点，
在 上的图像与 轴围成的图形的面积为：
.故答案为： .
【变式3-3】已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是 的中点，
则 点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】圆 ，所以圆心为 ，半径为2，设 ，
由线段 的中点为 ，可得 ，即有 ，
即 ，所以点 的轨迹方程为 ．
故答案为：
【变式3-4】如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过
点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为 ．
【答案】 ，
【解析】设 ， ，连结 ， ，
则 ， ， 是切线 ，
， ， ，
四边形 是菱形．
，得 ，
又 ，满足 ，
所以 ， 即是所求轨迹方程．故答案为： ，
【变式3-5】点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设点 的坐标为 ，因为 点是线段 的中点，
可得 ，点 在圆上，
则 ，即 .
故选：A.
【变式3-6】已知动点 与两个定点 ， 的距离之比为 ，则动点 的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】设点 ，则 ，整理得 ，所以动点 的轨迹方
程为 .
故答案为： .
【变式3-7】已知 是圆 内的一点 是圆上两动点，且满足 ，求矩形
顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得 ①
又在 中，
有 ②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得 ，即为所求点Q的轨迹方程．
【变式3-8】在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且 ．求
直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点 、 、 、 ，设动点 ， ，
由 知： ，则 ．
当 时，直线AR： ①，直线DQ： ，则 ②，
①×②得： ，化简得 ．
当 时，点P与原点重合，坐标 也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为 ．
【变式3-9】如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC
并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x，y)，则D(2x-1，2y)，
0 0 0 0
由重心坐标公式得 ，
则 代入 ，
整理得
故所求轨迹方程为 .
【变式3-10】已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
【解析】（1）设 中点为 ，由中点坐标公式可知， 点坐标为
∵ 点在圆 上，∴ ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
（2）设 的中点为 ，在 中， ，
设 为坐标原点，则 ，所以 ，
所以 ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
【典例4-1】若方程 表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由方程 分别对 进行配方得： ，
依题意它表示一个圆，须使 ，解得： 或 ，在选项中只有D项满足.
故选：D.
【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
【答案】D
【解析】关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
，即 ，且 ， .
故选：D
【方法技巧】
方程 表示圆的充要条件是 ，故在解决圆的一般式方程的有关
问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为 ，半径
【变式4-1】若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】若方程 表示圆，则 ，
解得： 或 .
故选：C
【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线 的方程 ，则“ ”是
“曲线 是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，即 ，
∴曲线 是圆 ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A.【变式4-3】已知方程 表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为方程 表示圆，
所以 ，解得 .
故选：D
题型五：点与圆的位置关系判断
【典例5-1】（2024·高三·广东·开学考试）“ ”是“点 在圆
内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】点 在圆 内 ，
所以“ ”是“点 在圆 内”的充分不必要条件.
故选：A.
【典例5-2】（2024·江西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 可化为 ，则 ，所以 ．
又点 在圆 的外部，所以 ，故 ，
综上， ．
故选：A.
【方法技巧】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其
他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【变式5-1】（2024·贵州黔南·二模）已知直线 与直线 的交点在圆 的内部，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立 ，解得 ，即点 在圆 的内部，
即有 ，解得 .
故选：D.
【变式5-2】（2024·陕西西安·三模）若过点 可作圆 的两条切线，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆 ，即圆 ，则 ，解得 ．
过点 有两条切线，则点P在圆外， ，即 ，解得 ．
故 ．
故选：C
【变式5-3】点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点 ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如图所示：
设 ，因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
因为点P在圆 上，
所以 ，
令 ，得 ，
，即 ，
解得 ，
所以 的最大值为2，
故选：C
【变式5-4】（2024·高三·全国·课后作业）已知两直线 与 的交点在圆
的内部，则实数k的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
由 得 ，则两直线 与 的交点为 ，
依题意得 ，解得 .
故选：B
题型六：数形结合思想的应用
【典例6-1】已知曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】曲线 整理得 ，
则该曲线表示圆心为 ，半径为1的圆的上半部分，直线 ，即 ，则令 ，解得 ，则其过定点 ，
如图，当 时，曲线与直线有两个不同的交点，
由 ，得 或 ，所以 ，
，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C．
【典例6-2】若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 恒过定点 ，
曲线 表示以点 为圆心，半径为1，且位于直线 右侧的半圆（包括点 ，
）．
当直线 经过点 时， 与曲线 有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ；
当 与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 ．
分析可知当 时， 与曲线 有两个不同的交点，
故选：A．【方法技巧】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意
需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
【变式6-1】（多选题）关于曲线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 围成图形的面积为
B．曲线 所表示的图形有且仅有 条对称轴
C．曲线 所表示的图形是中心对称图形
D．曲线 是以 为圆心， 为半径的圆
【答案】AC
【解析】曲线 ： 如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以 为圆心， 为半径的圆的一半加
一个直角三角形所得， ，所以曲线 围成图形的面积为 ，
故A正确；
对于B，由图可知，曲线 所表示的图形对称轴有 轴， 轴，直线 ，直线 四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线 所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线 的图形不是一个圆，故D错误.
故选：AC
【变式6-2】已知直线l： 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围为 .
【答案】【解析】直线l： ，得 ，可知直线l过定点 ，
如图，曲线 表示以O为圆心，1为半径的上半圆，
当直线l与半圆相切时， ，解得 ，
曲线 与x轴负半轴交于点 ， ，
因为直线l与曲线 有两个交点，所以 .
故答案为： .
【变式6-3】直线 与曲线 的交点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为曲线 就是 或 ，表示一条直线与一个圆，
联立 ，解得 ，即直线 与直线 有一个交点 ；此时，
没有意义.
联立 ，解得 或 ，所以直线 与 有两个交点.
所以直线 与曲线 的交点个数为2个.
故选：B
【变式6-4】若两条直线 ： ， ： 与圆 的四个交点能构成矩
形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意直线 平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，由圆 的圆心为： ，
圆心到 的距离为：
，
圆心到 的距离为：
，
所以 ，
由题意 ，
所以 ，
故选：A.
题型七：与圆有关的对称问题
【典例7-1】圆 关于直线 对称的圆的方程为 .
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，
则 关于 对称的点设为： ，故 .
与 的中点为： ，
中点在 直线上，所以 .
解得： ，所以对称圆的圆心为： .
所以圆 关于直线 对称的圆的方程为：
.
故答案为： .
【典例7-2】已知圆 关于直线l对称的圆为圆 ，则直线l的方程
为 .
【答案】
【解析】由题意可知圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 与圆 关于直线 对称，可得两圆心 和 关于直线 对称，
又由 ，可得 ，且 的中点为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
【方法技巧】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
【变式7-1】（2024·辽宁·二模）已知圆 与圆 关于直线 对称，则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
由题意知， 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，
， ， 的中点 ，
圆心 连线的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故 的方程： ，即 ，故C正确．
故选：C．
【变式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆 上，且A，B两点关
于直线 对称，则圆 的半径的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为 ，化为标准方程为 ，设圆 的半径为 ，由题可知圆心 在直线 上，于是有 ，
则 ，当 时，
取得最小值2，故 的最小值为 .
故选：B
【变式7-3】已知直线 ，圆 ，若圆C上存在两点关于直线l对
称，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
【答案】D
【解析】圆 的圆心坐标为 ，
圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即 ，有 ，
，
当 时， 有最小值20.
故选：D
【变式7-4】如果圆 关于直线 对称，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为圆 的圆心为 ，
由圆的对称性知，圆心在直线 上，故有 ，即 .
故选：B.
【变式7-5】圆 关于直线 对称后的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心 半径为 ，由 得 ，
设圆心关于直线对称点的坐标为 ，则
，解得 ，所以对称圆的方程为 .
故选：A.
题型八：圆过定点问题
【典例8-1】点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点
（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【解析】设点 ，则线段 的中点为 ，
圆 的半径为 ，
所以，以 为直径为圆的方程为 ，
即 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
因此，以 为直径的圆经过定点坐标为 、 .
故选：D.
【典例8-2】圆 恒过的定点是 .
【答案】
【解析】圆方程化为 ，
由 解得 故圆恒过 点.
故答案为：
【方法技巧】
特殊值法
【变式8-1】已知圆 ，点 ，平面内一定点 （异于点 ），对于圆 上的任意
动点 ，都有 为定值，定点 的坐标为 ．【答案】
【解析】设 ，且 ，
，
因为 为定值，设 ，
化简得： ，与 点位置无关，
所以 ，
解得： 或 ，
因为异于点 ，所以定点N为 .
故答案为： .
【变式8-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、
、 ，则 的外接圆恒过的定点坐标为 ．
【答案】
【解析】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，
由题意可知 ，由韦达定理可得 ， ，
所以，线段 的中点为 ，设圆心为 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，则 ，
所以，圆 的方程为 ，
整理可得 ，
方程组 的解为 .
因此， 的外接圆恒过的定点坐标为 .
故答案为： .【变式8-3】对任意实数 ，圆 恒过定点，则其坐标为 .
【答案】 、
【解析】由 由得 ，故 ，解得
或 .
故填： 、 .
【变式8-4】设有一组圆 ： ．下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【解析】根据题意得：圆心坐标为 ，
圆心在直线 上，故存在直线 与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆 ：圆心 ，半径为 ，
圆 ：圆心 ，即 ，半径为 ，
两圆的圆心距 ，
两圆的半径之差 ，
任取 或 时，（ ）， 含于 之中，选项①错误；
若 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将 带入圆的方程，则有 ，即 （ ），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.1．（2024年北京高考数学真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为： .
故选：B.
4．（2022年高考全国甲卷数学真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则
的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1，-1).
， 的方程为 .
故答案为：
5．（2022年高考全国乙卷数学真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或 ．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．1．平面直角坐标系中有 ， ， ， 四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？
【解析】设过 三点的圆的一般方程为 .
将 三点代入得： .
所以圆的一般方程为 .
将点 代入得： ，满足方程.
所以四点在同一个圆上.
2．已知圆的一条直径的端点分别是A（x，y），B（x，y）．求证：此圆的方程是（x–x）（x–x）+
1 1 2 2 1 2
（y–y）（y–y）=0．
1 2
【解析】∵圆的一条直径的端点分别是A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
∴圆心为C（ ， ），半径为 ，
∴此圆的方程是 + ，
即x2–（x+x）x+ +y2–（y+y）y+ ，
1 2 1 2
即x2–（x+x）x+x•x+y2–（y+y）y+y•y=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
即（x–x）（x–x）+（y–y）（y–y）=0．
1 2 1 2
3．如图，在四边形ABCD中， ， ，且 ， ，AB与CD间的距离为3．求等
腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【解析】由题意可知A (-3，0)，B (3，0)，C
设所求圆的方程为 ，
则 .
解得 ，故所求圆的方程为 ，
其圆心坐标为 ，半径长为 .
4．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标 满足 ，其中 为参数．证明：点P的轨迹
是圆心为 ，半径为r的圆．
【解析】由 可得 ，又因为 ，所以 ，即
，所以点 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆.
5．已知动点M与两个定点 ， 的距离的比为 ，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】设点 .
则 ，化简得：
为以 为圆心2为半径的圆.
6．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明
轨迹的形状．
【解析】设线段AB的中点P（x，y），若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角，
则OP AB，而AB＝2a，
∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，
方程为x2+y2＝a2（a＞0）；
若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）．
故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为 的圆.易错点：忽视圆的一般方程成立的条件
易错分析： 易忽视圆的一般方程： 表示圆的条件 而导致错
误.
【易错题1】已知点 为圆 外一点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因 在圆外，则 ，得 .
又 表示圆，则 ，得 .
综上： .
故选：D
【易错题2】已知圆 的方程为 ，若点 在圆外，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，圆 的标准方程为 ，
故 ， ，
又点 在圆外，所以 ，
， 或 ，
所以m的取值范围为 ．
故选：D.答题模板：求圆的方程
1、模板解决思路
求圆的方程，首先确定圆的类型。若已知圆心坐标和半径，直接代入标准方程；若已知圆上三点，通
过构造方程组求解圆心坐标和半径；若已知直径，则先求圆心，再计算半径后代入方程。
2、模板解决步骤
第一步：根据题意，设出圆的方程或圆心、半径.
第二步：根据条件列出关于 a，b，r或 D，E，F的方程组， 并求解。
第三步：根据第二步所得结果，写出圆的方程.
【典型例题1】写出与直线 和 轴都相切，半径为 的一个圆的方程： ．
【答案】 （答案不唯一）.
【解析】因为直线 和 轴都相切，所以圆心为 ，
当圆心为 时， ，解得 或 ；
当圆心为 时， ，解得 或 ．
所以圆的方程为 或
或 或 ．
故答案为： （答案不唯一）.
【典型例题2】已知点 ，其中一点在圆 内，一点在圆 上，一点在圆 外，则
圆 的方程可能是 ．（答案不唯一，写出一个正确答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，所以 ，
， ，
所以 ，以点 为圆心，以 为半径，得到圆 ，满足题意；
（或以点 为圆心，以 为半径，作圆 ，满足题意；或以点为圆心，以 为半径，
作圆 ，满足题意等）
故答案为： （答案不唯一）
