文档内容
专题18 一次函数与代数综合（图像变换、与方程综合、与不等式综合）
第一部分 知识导航及方法指引
考点一：一次函数 图像的变换及特殊位置关系：
1．平移：上加下减，左加右减；
2．对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数；
3．关于原点对称：x和y值都变成相反数．
4．三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，再确定解析式．
5．特殊位置关系：
（1）若两直线平行：k（斜率）相等（b值不等）．
（2）若两直线垂直：两直线k（斜率）互为负倒数，即 ．
考点二：一次函数和方程（组）综合
解一元一次方程
一次函数 确定直线
与 轴交点的横坐标
当 时，求 的值
解二元一次方程组
求一次函数 两条直线
与 图 象 的 与 相交
交点坐标
考点三：一次函数和不等式综合
解一元一次不等式
一次函数 当 时，直线上的
求当 或 时 点在 轴上方 时，
或
的取值范围 点在 轴下方
解一元一次不等式 以交点为界限，直线
一次函数 与
位于直线 上方的
， 求 当
那部分
时 的取值范围
第二部分 典例剖析及变式训练
考点一：一次函数图像的变换
【典例1】（2024•海南区一模）将直线l ：y＝ax﹣2（a≠0）向上平移1个单位长度后得到直线l ，将直
1 2
线l 向左平移1个单位长度后得到直线l ，若直线l 和直线l 恰好重合，则a的值为（ ）
1 3 2 3
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．﹣3
【变式训练】1
1．（2024•临潼区一模）在平面直角坐标系中，将直线y=− x+2沿x轴向左平移5个单位长度后，得到
2
一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
1 1
A．( ，0) B．（0，﹣3） C．(0，− ) D．（0，7）
2 2
2．（2024•碑林区二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣2的图象向右平移2个单位长度后经
过原点，则一次函数y＝x+m的图象不经过第（ ）象限．
A．﹣ B．二 C．三 D．四
3．（2024•雁塔区三模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，
得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
4．（2024•碑林区二模）将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位，若平移后一次函数经过点（﹣6，
a），则a的值为（ ）
A．13 B．7 C．﹣8 D．﹣11
典例2（2024•子洲县二模）在平面直角坐标系中，直线l ：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于
1
点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，则△ABA′的
2 1 2
面积是（ ）
A．18 B．27 C．54 D．81
变式训练
1．（2023 秋•西湖区期末）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）与 y＝﹣x+2 的图象关于 y 轴对称，则 k＝
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024•韩城市模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，
则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）
1 1
A．y=− x+1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．y= x+1
2 2
2
3．（2023秋•宝应县期末）如图，直线y=− x+4交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐
3
13
标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 ．
34．直线y＝x+2关于点（0，1）对称的直线的解析式为 ．
5．直线y＝﹣2x﹣4关于原点对称的直线解析式为 ．
6．（2023秋•广陵区期末）如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l 的表达式为 ；
1
（2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l 的表达式为 ；
2
（3）点P在直线l上，若S△OAP ＝2S△OBP ，求P点坐标．
考点二 一次函数两直线平行或垂直
【典例3】（2023秋•兰州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且
经过点A，则一次函数y＝kx+b的解析式为 ．
【变式训练】
1．（2023•鄂州模拟）如图，A（0，1），M（3，2），N（5，5）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个
单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之平行移动，设移动时间为t秒，当M，N
位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（ ）A．3＜t＜6 B．4＜t＜9 C．3＜t＜7 D．❑√5＜t＜7
2．（2023春•石景山区期末）请写出一个图象平行于直线 y＝﹣5x，且过第一、二、四象限的一次函数的
表达式 ．
4．（2023春•荣成市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点
A，与y轴交于点B，线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则点C的坐标为（ ）
3 4 4
A．（0，1） B．(0， ) C．(0， ) D．(0， )
4 3 5
3
3．（2024•碑林区自主招生）平面直角坐标系中，已知直线AB：y=− x+3，过A作AC垂直于AB，并
4
使AC＝AB，求直线BC的解析式．
考点三 一次函数与方程（组）
【典例3】（2023秋•峡江县期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x
的方程x+5＝ax+b的解是（ ）A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【变式训练】
1．（2023秋•岱岳区期末）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
那么方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
2．（2023秋•沂源县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点
（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0 D．不能确定
3．（2022秋•运城期末）已知直线 l ：y＝kx+b与直线l ：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组
1 2
{ y=kx+b )
的解是（ ）
y=−2x+4
{x=1) {x=−1) {x=2) { x=2 )
A． B． C． D．
y=2 y=2 y=1 y=−1
4．（2023秋•碑林区期末）若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝1，则直线y＝2x+b一定经过点 ．
{ x+ y=2 ) 3
5．（2022秋•太平区期末）若方程组 没有解，则一次函数y＝2﹣x与y= −x的图象必定（
2x+2y=3 2
）
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定6．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y
{x+ y−4=0，)
的方程组 的解为（ ）
2x−y+m=0
{x=−1，) {x=1，) {x=3，) {x=9，)
A． B． C． D．
y=5 y=3 y=1 y=−5
7．（2023秋•萧县期末）已知一次函数y＝kx﹣2k+1（k为常数，且k≠0），无论k取何值，该函数的图象
总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，2）
考点四 一次函数一次不等式（组）
【典例4】（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．
（1）该函数图象经过定点 ．
（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是 ．
【变式训练】
1．（2024•凌河区一模）如图是一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；
1 2
③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024•沈阳模拟）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点（﹣3，0），则不等式x+m＜0的解集
为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
3．（2024•雁塔区二模）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解
集是（ ）A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1
2
4．（2023秋•固镇县期末）如图，直线y= x+b和y＝kx+3分别与x轴交于点A（﹣3，0），点B（2，
3
{2
x+b＜0)
0），则不等式组 3 的解集为（ ）
kx+3＞0
A．x＞2 B．x＜﹣3 C．x＜﹣3或x＞2 D．﹣3＜x＜2
5．（2024•陕西二模）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b
的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
6．（2024•大庆一模）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，有y ＜y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2
1 1
A．m＜9 B．m＜ C．m＞0 D．m＞
9 9
7．（2023秋•福田区期末）已知A（x ，y ），B（x ，y ）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，
1 1 2 2
当x ＜x 时，y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
8．（2023秋•裕安区期中）对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min
{ a(a≤−1) )．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为 ．
{−1，2，a}=
−1(a＞−1)9．（2024春•碑林区月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 y＝k x+b 和y＝kx+b的图象，分别与x
1 1
轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回
答下列问题：
（1）关于x的方程k x+b ＝0的解是 x ＝ 1 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ；
1 1
（2）直接写出关于x的不等式组{ kx+b＞0 )解集是 ；
k x+b ＞0
1 1
（3）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式k x+b ＞kx+b的解集是 ．
1 1
1
9．（2023秋•庐阳区期末）已知一次函数y=− x+b经过点B（0，1），与x轴交于点A．
2
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图象；
1
（3）观察图象，当−1＜− x+b＜1时，x的取值范围是 ．
2第三部分 专题提优训练
1．（2024•陕西模拟）将一次函数y＝﹣x﹣3的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点（﹣2，6），
则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2024•灞桥区二模）已知直线n：y＝2x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、点B，将直线n绕点B逆时针
旋转90°得到新的直线m，则直线m与x轴的交点坐标是（ ）
3 3
A．（ ，0） B．（﹣6，0） C．（6，0） D．（− ，0）
4 4
3．（2024•榆阳区一模）在平面直角坐标系中，将直线 y＝2x+b沿x轴向左平移1个单位后恰好经过原点，
则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．（2023秋•莱州市期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4
5．（2023秋•东平县期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，①函数的图象不经过第三象限，②函数的图象与x
轴的交点坐标是（2，0），③函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，④若两点A（x ，
1
y ），B（x ，y ）在该函数图象上，且x ＜x ，则y ＜y ．以上结论，正确的个数为（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1
6．（2023秋•宿豫区期末）将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象
2
的对应的函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=− x−2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y= x−2
2 2 2 27．（2023秋•大渡口区期末）如图，一次函数y＝kx+2和y＝2x﹣1的图象相交于点P，根据图象可知关于
x的方程kx+2＝2x﹣1的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝5 C．y＝3 D．y＝5
8．（2023秋•金凤区期末）如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax+b＝1的解x＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．4 D．0
9．（2023•武侯期末）若直线y＝ax+5与y＝2x+b的交点的坐标为（2，3），则方程ax+5＝2x+b的解为
．
10．（2023秋•九原区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（1，2），则关于x的方程kx+b＝2x
的解是 ．
11．（2024•大石桥市一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1 B．b＝2 C．y随x的增大而减小 D．当x＞2时，kx+b＜0
12．（2023秋•仪征市期末）若点（﹣3，m）、（2，n）都在直线y＝﹣4x+1图象上，则m与n的大小关
系是（ ）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
13．（2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点A（a，m），B（c，n），若a＞
c，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
14．（2023秋•吉州区期末）一次函数 y ＝kx+b于y ＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，
1 2
②ab＞0；③y 随x的增大而增大；④当x＜3时，y ＜y ；⑤3k+b＝3+a其中正确的个数是（ ）
2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知函数y ＝2x+b和y ＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这
1 2
两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．16．（2023秋•长清区期中）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴
交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 x ＝ 2 ；
（3）求△AOB的面积．
17．（2023春•清原县期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝
x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对
“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 与 ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ；
（3）若点A的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
