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第 65 讲 双曲线的标准方程与性质
一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的 (小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的
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，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是 ；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是 ；
(3)当a＞c时，点P ．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
对称性
顶点
性 渐近线
质
离心率
a，b，c的关系
实虚轴
一、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
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1、（2023•乙卷（文））设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是A． B． C． D．
2、（2021•甲卷（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
3、（2023•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的
垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
4、（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
5、（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
6、（2021•乙卷（理））已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
．
7、（2021•乙卷（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
8、【2020年新课标1卷文科】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
9、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心
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率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．81、双曲线－＝1的焦距为( )
A. 5 B.
C. 2 D. 1
2、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为 2，点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，则双曲线C的方
程为( )
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D. －＝1
3、设P是双曲线－＝1上一点，F，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|等于( )
1 2 1 2
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
4、已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 与双曲线C 共焦点，双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴
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三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C 的离心率为________．
2
考向一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F(－2,0)，F(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F 关于点N的对称点为M，线
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段FM的中垂线与直线FM相交于点P，则点P的轨迹是( )
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A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
变式、已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆
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心M的轨迹方程为________________.
方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝2a，运用平方的方法，
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建立为|PF |·|PF |的关系．
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(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双
曲线的一支．
考向二 双曲线的标准方程
例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3) 经过点P(－3，2)和点Q(－6，－7)；
(4) 焦点在x轴上，焦距为10，与双曲线－x2＝1有相同的渐近线．
变式、(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲
线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，
c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
考向三 双曲线的性质
例3、已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程是y＝x，两准线间的距离为18，求双曲
线的方程．变式1、（1）(2022·江苏第一次百校联考)双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲
线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
（2）(2022·江苏海安中学期初)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，
篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O
的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
A
B
O
C
D
图1 图2
变式2、（1）已知F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段FF 为边作正三角形MF F ，若
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边MF 的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
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（2）(2022·苏州期初考试)已知点P为双曲线C：(a＞0，b＞0)右支上一点，F ，F 分别为C的左，右焦点
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直线PF 与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若PF＝4HF，则该双曲线的离心率为
1 1 1
A． B． C． D．
（3）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
（4）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲线的右支上，且PF ＝4PF ，则
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双曲线的离心率e的最大值为________．
方法总结：求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
1、(2022·江苏如皋期初考试)双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点P到 的距离为
11，则点P到 的距离为（ ）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
2、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点
在 上，则 的方程为( )
A． B．
C． D．
3、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)设双曲线的左右焦点为F，F，左顶点为A，点M是双曲线E在
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第一象限内的一点，直线MF 交双曲线E的左支于点N，若NA∥MF，则|MF|＝
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A． B． C． D．
4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，|，则C的离心率为
A． B． C． D．
5、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为
F ，F ，过F 且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，FQ与y轴的交点为R，FQ⊥PR，则C的离心率
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为
A． B． C．2 D．
6、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线 右支上存在点P使得 到左焦点的距离
等于 到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 .
